Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 2

Exercice 1 Soit G:=ℂ \ [0, 1], et soit f : G → ℂ la fonction f(z) = \frac{1}{z(z−1)}. Montrer que pour tout lacet γ dans G on a

∫_{γ} f(w)dw = 0.

Exercice 2 Soit U ⊂ ℂ un domaine et f : U → ℂ une fonction continue. Montrer que les deux assertions suivantes concernant une fonction F : U → ℂ sont équivalentes :

1. F est holomorphe dans U et satisfait F′ = f;

2. pour tous w, z ∈ U et tout chemin γ d’origine w et d’extrémité z on a ∫_{γ} fdζ = F (z) − F (w).

En déduire que si F est holomorphe dans U et F′ = 0 sur U alors F est localement constante sur U. Exercice 3 Calculer les intégrales suivantes (par ∂D_{(z,r[} on désigne le bord du disque de centre z et de rayon r orienté positivement) :

a) ∫_{∂D_{(0,2[}} \frac{e^{z}dz}{(z + 1)(z − 3)^{2}} ,  c) ∫_{∂D_{(−2i,2[}} \frac{dz}{z^{2} + 1},
b) ∫_{∂D_{(0,2[}} \frac{sin z}{z + i}dz,  d) ∫_{∂D_{(0,1[}} \frac{e^{z}}{(z − 2)^{3}} .

Exercice 4

1) Soit g une fonction holomorphe sur un voisinage du cercle unité 𝕊^{1}. On note Γ la courbe image de 𝕊^{1} par exp ∘ g. Calculer

∫_{Γ} \frac{dz}{z} .

2) Déduire de 1) qu’il n’existe pas de fonction holomorphe g définie sur un voisinage de 𝕊^{1} qui vérifie exp ∘ g_{|_{𝕊^{1}}} = id_{|_{𝕊^{1}}}.

Exercice 5

Le but de cet exercice est de montrer qu’il n’existe pas de fonction entière f telle que f ∘ f = exp. On raisonne par l’absurde : soit donc f une telle fonction.

1. Montrer que l’image de f est ℂ^{∗}.

2. Montrer qu’il existe une fonction entière g telle que f = exp ∘g.

3. Montrer qu’il existe une constante C telle que g ∘ f = Id +C.

4. Conclure

Exercice 6

On note 𝔻 le disque unité (ouvert) de ℂ. Soit f une fonction continue sur \overline{𝔻} et holomorphe sur 𝔻. Montrer que pour tout z ∈ 𝔻,

f(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{|ζ|=1} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ.

Exercice 7 la fonction Γ

Rappelons que l’intégrale

Γ(z) = ∫_{0}^{∞} t^{z−1}e^{−t}dt

définit une fonction holomorphe Γ sur le demi-plan {z ∈ ℂ; ℜ𝔢(z) > 0}, que l’on peut prolonger en une fonction holomorphe sur ℂ \ {0, −1, −2, ⋯}. Soit k ∈ ℤ, k ≤ 0. Calculer

∫_{∂D_{(k,1/2[}} Γ(z)dz.