Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 1

Exercice 1 Soient U ⊂ ℂ un ouvert connexe et f : U → ℂ une fonction holomorphe. Montrer que f est constante si elle vérifie l’une des conditions suivantes :

1. f(z) = f(z̄),

2. ℜ𝔢(f) = cste,

3. ℑ𝔪(f) = cste,

4. |f| = cste,

5. Arg(f) = cste. Exercice 2 Soient U un ouvert de ℂ et f : U → ℂ une application C^{1} au sens réel. On définit

\frac{∂}{∂z} = \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x} − i\frac{∂}{∂y} )

\frac{∂}{∂z̄} = \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x} + i\frac{∂}{∂y} )

1. Montrer que f est holomorphe si et seulement si \frac{∂f}{∂z̄} = 0.

2. Soient V un ouvert de ℂ et g : V → U une application C^{1}. Calculer \frac{∂}{∂z} (f ∘ g) et \frac{∂}{∂z̄}(f ∘ g).

3. En déduire que \frac{∂f̄}{∂z} = \overline{(\frac{∂f}{∂z̄})} et que \frac{∂f̄}{∂z̄} = \overline{(\frac{∂f}{∂z} )}.

4. Pour f de classe C^{2} au sens réel, calculer l’expression \frac{∂^{2}f}{∂z∂z̄}. Exercice 3 Il existe un domaine U (i.e. un ouvert connexe non vide) tel que exp(U) = D_{(1,1[}. Montrer que exp est bijective dans U, mais qu’il existe plusieurs tels U. Fixons un tel domaine, et définissons Log z, pour |z − 1| < 1, comme étant le nombre w ∈ U tel que exp w = z. Démontrer que Log′(z) = 1/z. Déterminer les coefficients a_{n} du développement

\frac{1}{z} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − 1)^{n}

puis les coefficients c_{n} du développement

Log z = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − 1)^{n}.

Peut-on faire ceci dans n’importe quel disque du plan ?

Exercice 4

Soit U ⊂ ℂ un domaine muni d’une fonction logarithme l : U → ℂ (i.e. exp(l(z)) = z pour tout z ∈ U). Que peut-on dire de U ? Montrer que les deux assertions suivantes concernant une fonction l̃: U → ℂ sont équivalentes :

1. l̃ est une fonction logarithme sur U;

2. l̃= l + 2iπn pour un certain n ∈ ℕ.

Exercice 5

Soit U un domaine, montrer que les deux assertions suivantes concernant une fonction l : U → ℂ sont équivalentes :

1. l est une fonction logarithme sur U;

2. l′(z) = 1/z sur U et exp(l(a)) = a pour un certain a ∈ U.

Exercice 6

Soit ∑_{n≥0} a_{n}(z − z_{0})^{n} une série entière (a_{n} ∈ ℂ). Rappelons que son rayon de convergence est le nombre R ∈ [0, +∞] tel que la série converge absolument et uniformément dans D_{(z_{0},r]} pour tout r < R et diverge si z ∉ D_{(z_{0},R]}. On peut calculer R à l’aide de la formule

\frac{1}{R} = lim sup_{n→∞} |a_{n}|^{1/n} = lim_{n→∞} sup_{k≥n} |a_{n}|^{1/n}.

1. Soit P un polynôme (non nul) et k ∈ ℕ. Montrer que ∑_{n≥k} P (n)a_{n}(z − z_{0})^{n−k} a le même rayon de convergence que ∑_{n≥0} a_{n}(z − z_{0})^{n}.

2. Supposons que R > 0. Pour tout z ∈ D_{(z_{0},R[} on pose

f(z) = ∑_{n≥0} a_{n}(z − z_{0})^{n} et g(z) = ∑_{n≥1} na_{n}(z − z_{0})^{n−1}.

Montrer que pour tout w ∈ D_{(z_{0},R[} on a

lim_{z→w} \frac{f(z) − f(w)}{z − w} − g(w) = 0.

(Indication : pour 0 ≤ q < 1 la série ∑ n^{2}q^{n} converge.)

Exercice 7 la fonction ζ

Montrer que la série ∑_{n=1}^{∞} n^{−z} converge uniformément sur les compacts du demi-plan {z ∈ ℂ; ℜ𝔢z > 1}. La fonction ζ(z) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−z} est appelée “fonction zeta de Riemann”.