STRUCTURES MEMBRANAIRES

Vadim Schechtman^{1}

TABLE DE MATIÈRES

Introduction 2 §1. Complexes tordus 7 §2. Rappels sur le complexe de de Rham 9 §3. Formes de Chern - Simons 12 §4. Bicomplexe de Hochschild - de Rham 16 §5. Structures de Calabi - Yau 19 §6. Deuxième Hochschild - Koszul - de Rham 22 §7. Structures vertex 29 §8. Structures prémembranaires 32 §9. Troisième cocycle de Chern - Hodge raffiné 39 §10. Troisième Koszul - de Rham 52 §11. Troisième cocycle de Chern - Simons raffiné 56 §12. Construction du troisième Koszul - de Rham 58 §13. Construction du cocycle intéressant 67 §14. Construction de l’élément h′_{𝔟𝔟′} 79 §15. Construction de la forme β^{12} 92 §16. Vérification de la relation d_{DR}h′_{𝔟𝔟′} + Rh_{𝔟𝔟′} + d_{c}c_{𝔟𝔟′} = ιβ^{21}(ϕ) 110 Bibliographie 134 � ������ ��������� � ���� ������� ����������

1Laboratoire Émile Picard, Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse

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Introduction

Dans cette note on généralise quelques formules de [GMS] au cas de la troisième classe de Chern - Simons.

0.1. Soit X un schéma lisse sur un anneau commutatif k ⊃ ℚ. La théorie de classes de Chern ”style de Rham” associe à chaque fibré vectoriel E sur X des classes de cohomologie

c_{i}^{DR}(E) ∈ H^{2i}(X, Ω_{X}^{·}), i ≥ 1,

qui satisfont aux propriétés usuelles, cf. [Gr], §6. Ici Ω_{X}^{·} est le complexe de de Rham de X sur k. Par contre, on sait (cf. par exemple [BD], 2.8) que ces classes admettent une version plus fine: les classes de Chern-Simons

c_{i}^{CS}(E) ∈ H^{i}(X, Ω_{X}^{[i,2i−1⟩})

Ici

Ω_{X}^{[i,2i−1⟩} = σ_{≥i}τ_{≤2i−1}Ω_{X}[i] : Ω_{X}^{i} ⟶ … ⟶ Ω_{X}^{2i−1,fer},

où Ω_{X}^{j,fer} ⊂ Ω_{X}^{j} est le sous-faisceau des formes fermées. L’image de c_{i}^{CS}(E) par le morphisme canonique

H^{i}(X, Ω_{X}^{[i,2i−1⟩}) ⟶ H^{2i}(X, Ω_{X}^{·})

est égale à c_{i}^{DR}(E).

Les images des c_{i}^{CS}(E) par les morphismes évidents

H^{i}(X, Ω_{X}^{[i,2i−1⟩}) ⟶ H^{i}(X, Ω_{X}^{i})

sont les classes de Chern ”style Hodge” c_{i}^{Hdg}(E), cf. [Gr], §6.

Il est très facile à décrire explicitement la première classe de Chern-Simons c_{1}^{CS}(E) ∈ H^{1}(X, Ω_{X}^{1,fer}). En effet, si r = rk(E), choisissons un 1-cocycle de Čech définissant E, ϕ = {ϕ_{ij}} ∈ Ž^{1}(𝔘, GL_{r}(O_{X})) sur un récouvrement ouvert 𝔘 = {U_{i}} de X convenable; ϕ_{ij} ∈ Γ(U_{ij}, GL_{r}(O_{X})), U_{ij} = U_{i} ∩U_{j}. Alors c_{1}^{CS}(E) est la classe de cohomologie du 1-cocycle de Čech

z_{1}^{CS}(E) = {tr(ϕ_{ij}^{−1}dϕ_{ij})} ∈ Ž^{1}(𝔘, Ω_{X}^{1,fer})

Il est clair que z_{1}^{CS}(E) = z_{1}^{CS}(det(E)), où det(E) = Λ_{O_{X}}^{r} (E) est le fibré en droites la puissance exterieure maximal de E.

Soit L un fibré en droites. Considérons le faisceau ConnInt(L) de connexions intégrables sur L; ceci est un torseur sous Ω_{X}^{1,fer}, dont la classe caractéristique c(ConnInt(L)) (l’obstruction à l’existence d’une section globale) est égale à c_{1}^{CS}(L).

Donc, pour E arbitraire, c_{1}^{CS}(E) est la classe du Ω_{X}^{1,fer}-torseur ConnInt(det(E)). On peut dire que ce torseur est ”une raison d’être” de la première classe de Chern-Simons.

Désormais nous ne nous serons interessés que par le cas E = T_{X}, le fibré tangent de X. Au lieu des classes de Chern c_{i} on va considerer les ”caractères de Chern” ch_{i}, donnés par les polynômes de Newton usuels, i.e. ch_{1} = c_{1}, ch_{2} = c_{1}^{2} − c_{2}/2, etc. D’ailleurs, dans cette note on ne discutera que les cas i = 1, 2, 3.

Dans le §3 on décrit explicitement des cocycles qui représentent les caractères ch_{i}^{CS}(T_{X}) pour i = 2, 3.

Il est facile à voir (cf. par exemple [GMS], §11) que la donnée d’une connexion intégrable sur det(T_{X}) équivaut à celle d’une application k-linéaire c : T_{X} ⟶ O_{X} vérifiant deux propriétés

c(aτ) = ac(τ) + τ(a)  (CY 1)

et

c([τ, τ′]) = τc(τ′) − τ′c(τ)  (CY 2)

(a ∈ O_{X}, τ, τ′ ∈ T_{X}). Ces axiomes entraînent d’ailleurs que c est un opérateur différentiel (d’ordre 1). On appelle un tel opérateur une structure de Calabi-Yau sur T_{X}.

0.2. Les structures semblables, mais correspondant au deuxième caractère de Chern-Simons, sont liées aux algèbres vertex. Une algèbre vertex est l’algèbre des symétries fondamentale de la théorie des cordes quantiques. Dans [GMS] on a étudié une classe particulière de ces algèbres: les algèbres vertex des opérateurs differentiels (VDO).

Définir un faisceau de VDO sur X revient à définir une structure vertex sur T_{X}, c’est à dire: trois opérateurs différentiels

γ : O_{X} ⊗_{k} T_{X} ⟶ Ω_{X}^{1}, ⟨, ⟩ : S^{2}T_{X} ⟶ O_{X} et c : Λ^{2}T_{X} ⟶ Ω_{X}^{1},

vérifiants cinq axiomes analogues aux (CY_{1}), (CY_{2}), cf. op. cit. 1.4, où 7.3 cidessous. Le théorème principal de op. cit. dit que toutes les structures vertex sur T_{X} forment une gerbe sous le complexe Ω_{X}^{[1,2⟩}, dont la classe caractéristique est égale à ch_{2}^{CS}(T_{X}). Cette gerbe est donc ”la raison d’être” de la classe ch_{2}^{CS}(T_{X}).

Les axiomes d’une structure vertex ont l’air assez mystérieux; dans [GMS] ils se déduisent des axiomes de Borcherds pour une algèbre vertex. Par contre, dans [S] on a donné une interprétation de ces axiomes qui ne fait aucune référence aux algèbres vertex. On a introduit un complexe naturel de faisceaux sur X, HKR(2)_{X}^{·}, dit le deuxième complexe de Hochschild - Koszul - de Rham, muni d’une inclusion de complexes

σ_{≥2}σ_{≤5}Ω_{X}[2] ↪ HKR(2)_{X}^{·}  (0.2.1)

et d’un 2-cocycle canonique

ϵ_{X}^{(2)} ∈ Z^{2} Γ(X, HKR(2)_{X}^{·})

Pour expliquer la structure de HKR(2)_{X}^{·} on utilise la notion d’un tricomplexe tordu (de k-modules). Un tel objet est un k-module ℤ^{3}-gradué C^{···} = {C^{pqr}}_{p,q,r∈ℤ} munie d’une collection d’endomorphismes {d_{ij}}_{i,j∈ℤ} où d_{ij} est de degré (i, j, −i − j + 1), c’est à dire que d_{ij} est une collection d_{ij} = {d_{ij}^{pqr}}_{p,q,r∈ℤ} où

d_{ij}^{pqr} ∈ Hom(C^{pqr}, C^{p+i,q+j,r−i−j+1}). On exige les deux propriétés (a) et (b) si-dessous.

(a) (Finitude.) Pour chaque p, q, r et chaque x ∈ C^{pqr} il n’y a qu’un nombre fini de d_{ij}(x) qui sont différents de 0.

Définissons un k-module ℤ-gradué C^{·} par

C^{i} = ⊕_{p+q+r=i} C^{pqr}

Posons d = ∑_{ij} d_{ij}; ceci est un endomorphisme de degré 1 de C^{·}, bien défini grace à (a).

(b) d^{2} = 0.

(Cette définition est plus générale que celle donnée dans §1.)

Le couple (C^{·}, d) est appelé le complexe simple associé à C^{···}.

Par exemple, si que d′ = d_{10}, d′′ = d_{01} et d′′′ = d_{00} sont différents de zéro, on retrouve la notion usuelle d’un complexe triple.

Notre complexe HKR(2)_{X}^{·} est le complexe simple associé à un fasceau de tricomplexes tordus {HKR(2)_{X}^{pqr}}, qui est une structure de dimension 3, p étant la dimension ”de de Rham”, q étant la dimension ”de Koszul” et r étant la dimension ”de Hochschild”. Les seuls composantes d_{ij} nontriviales sont: d_{10} (”de de Rham”), d_{01} (”de Koszul”), d_{00} (”de Hochschild”) et deux flèches complémentaires, d_{2,−1} et d_{1,−1}.

Ce complexe tordu apparaît de manière essentiellement unique, lorsque l’on ajoute une dimension hochschildienne au complexe de de Rham. La dimension koszulienne et les flèches complémentaires d_{2,−1} et d_{1,−1} viennent alors naturellement. La construction est reproduite (suivant [S]) dans le §6.

Par exemple, la composante HKR(2)_{X}^{1} est égale à

Hom_{k}(O_{X} ⊗_{k} T_{X}, Ω_{X}^{1}) ⊕ Hom_{k}(S^{2}T_{X}, O_{X}) ⊕ Hom_{k}(Λ^{2}T_{X}, Ω_{X}^{1})

Une structure vertex (au-dessus de X) est un élément

v_{X} = (γ_{X}, ⟨, ⟩_{X}, c_{X}) ∈ Γ(X, HKR(2)_{X}^{1})

tel que d_{HKR}(v_{X}) = ϵ_{X}^{(2)}, où d_{HKR} désigne la différentielle dans HKR(2)_{X}^{·}.

Par exemple, soit 𝔟 = {τ_{p}} ⊂ Γ(X, T_{X}) une base abélienne, c’est-à-dire que Γ(X, T_{X}) est un Γ(X, O_{X})-module libre de base 𝔟 et tous les vecteurs de cette base commutent. Grâce à la lissité de X, de telles bases existent Zariski localement. À une 𝔟 on peut associer une structure vertex v_{𝔟}. De plus, si 𝔟, 𝔟′ sont deux bases abéliennes, on peut définir un élément h_{𝔟,𝔟′} ∈ Γ(X, HKR(2)_{X}^{0}) tel que

d_{HKR}h_{𝔟,𝔟′} = v_{𝔟′} − v_{𝔟}

Soit 𝔘 = {U_{i}} un recouvrement ouvert de X et pour chaque i fixons une base abélienne 𝔟_{i} ⊂ Γ(U_{i}, T_{X}), d’où les collections

v_{𝔘,𝔟} = {v_{𝔟_{i}}} ∈ ∏_{i} Γ(U_{i}, HKR(2)_{X}^{1})

et

h_{𝔘,𝔟} = {h_{𝔟_{i}𝔟_{j}}} ∈ ∏_{ij} Γ(U_{i} ∩ U_{j}, HKR(2)_{X}^{0})

On peut considérer le couple v̂ = (v_{𝔘,𝔟}, h_{𝔘,𝔟}) comme une 1-cochaîne du complexe Č^{·}(𝔘; HKR(2)_{X}) (complexe simple associé au complexe double Č^{·}(𝔘; HKR(2)_{X}^{·})).

L’inclusion (0.2.1) induit l’inclusion de complexes

μ : Č^{·}(𝔘; Ω_{X}^{[2,3⟩}) ↪ Č^{·}(𝔘; HKR(2)_{X})

De l’autre part, on a le morphisme évident de complexes

δ : Γ(X, HKR(2)_{X}^{·}) ⟶ Č^{·}(𝔘; HKR(2)_{X})

La cochaîne v̂ est construite dans §7, dont résultat principal dit que Dv̂ = μ(β^{(2)})+ δ(ϵ^{(2)}), où

β^{(2)} ∈ Č^{2}(𝔘, Ω_{X}^{[2,3⟩})

est un cocycle représentant le deuxième caractère de Chern-Simons du fibré tangent et D désigne la différentielle totale dans Č^{·}(𝔘; HKR(2)_{X}). Cela est une variation sur le calcul principal de [GMS].

Les structures de Calabi-Yau admettent une interprétation tout à fait parallèle, cf. [S] et §4, §5 ci-dessous.

0.3. On peut appeler i-branaires les structures de la Géométrie Différentielle sous-jacent au i + 1-ième caractère de Chern - Simons.

Pour passer à dimension 3, il faudra définir le troisième complexe de Hochschild - Koszul - de Rham HKR(3)_{X}^{·} et procéder comme ci-dessus. Dans cette note on fait une partie de travail.

(a) La partie ”Hochschild - Koszul”. On construit dans §8 un complexe naturel HK(3)_{X}^{·} qui est le complexe simple associé au complexe double. Il est muni d’inclusion

Ω_{X}^{3} ↪ HK_{(3)X}^{·}

et d’un cocycle canonique

ϵ_{X,HK}^{(3)} ∈ Z^{3}Γ(X, HK_{(3)X}^{·})

On appellera ”structure prémembranaire” un élément π ∈ Γ(X, HK_{(3)X}^{2}) tel que d_{HK}π = ϵ_{X}. Cette notion est analogue à celle d’une préalgébroïde vertex, cf. [GMS], 4.1. Les structures prémembranaires forment une ”2-gerbe” sous Ω_{X}^{3} dont la classe caractéristique est égale au troisième caractère de Chern style Hodge ch_{3}^{Hdg}(T_{X}) ∈ H^{3}(X, Ω_{X}^{3}), cf. §9.

(b) La partie ”Koszul - de Rham”. On construit dans §10 un complexe naturel KR(3)_{X}^{·} qui est le complexe simple associé à un ”bicomplexe tordu”, cf. §1. Il est muni d’inclusion de complexes

σ_{≥3}σ_{≤6}Ω_{X}^{·}[3] ↪ KR(3)_{X}^{·}

Étant donné un recouvrement 𝔘 de X, cette inclusion induit l’inclusion de complexes

μ : Č^{·}(𝔘; Ω_{X}^{[3,5⟩}) ↪ Č^{·}(𝔘; KR(3)_{X})

Si l’on choisit une collection de bases abéliennes 𝔟 comme ci-dessus, on définira dans §11 une cochaîne m̂ ∈ Č^{2}(𝔘; KR(3)_{X}) telle que Dm̂ = μ(β̂^{(3)}), où D est la différentielle dans Č^{·}(𝔘; KR(3)_{X}) et

β^{(3)} ∈ Ž^{3}(𝔘, Ω_{X}^{[3,5⟩})

représente la classe ch_{3}^{CS}(T_{X}). Ceci est le résultat principal de cette note, analogue, en dimension 3, au calcul principal de [GMS]. En effet, la formule pour β^{(3)} écrite dans §3 est la conséquence du calcul du §11.

Les théorèmes principaux de cette note sont: 8.6, 9.5, 10.13 et 11.5. On décrit d’abord la stratégie de leurs démonstrations; la vérification est tout à fait directe et exige plus laboris quam artis. Les détails des démonstrations des résultats de §10 se trouvent dans les §§12 et 13, et les détails de la démonstration du théorème 11.5 se trouvent dans les §§14 - 16.

Quant à l’idée de base, elle est simple: tout le contenu de cette note est obtenu par ”bootstrap”. D’abord, tous les complexes se déduisent du complexe de de Rham. Ensuite, le rôle fondamental est joué par l’opérateur {, …, }_{𝔟} : S^{n}T_{X} ⟶ O_{X} défini (pour une base abélienne 𝔟 = {τ_{i}} ⊂ Γ(X, T_{X})) par la formule

\{a_{1}τ_{i_{1}}, …, a_{n}τ_{i_{n}}\}_{𝔟} = \frac{1}{n!} Sym_{1...n} τ_{i_{n}}(a_{1})τ_{i_{1}}(a_{2}) … τ_{i_{n−1}}(a_{n})  (0.3.1)

(a_{j} ∈ O_{X}, τ_{i_{j}} ∈ 𝔟.) Tous les cocycles se déduisent de manière essentiellement unique de (0.3.1). Ce phénomène d’unicité pour nous est un mystère.

§1. Complexes tordus

1.1. Soit C une catégorie abélienne. Suivant l’usage, un bicomplexe dans C est un triple (C^{··}, d′, d′′), C^{··} = {C^{ij}, i, j ∈ ℤ} étant une collection d’objets de C et d′ = {d^{′ ij}, i, j ∈ ℤ}, d′′ = {d^{′′ ij}, i, j ∈ ℤ}, étant des collections de morphismes, où d′ a le degré (1, 0), i.e.

d^{′ ij} : C^{ij} ⟶ C^{i+1,j}

et d′′ a le degré (0, 1), s’est-à-dire,

d^{′′ ij} : C^{ij} ⟶ C^{i,j+1},

qui vérifient les relations

d^{′ 2} = 0, d^{′′ 2} = 0, d′d′′ = d′′d′

Le complexe simple associé Tot(C^{··}) est défini par

Tot(C^{··})^{i} = ⊕_{p+q=i} C^{pq}, d_{Tot}(x) = d′x + (−1)^{p} d′′x, x ∈ C^{pq}

Dans nos applications les bicomplexes seront limités inférieurement, i.e. C^{ij} = 0 pour i < i_{0} ou j < j_{0}, donc les sommes directes seront finies.

Exemple typique. Si X est un espace topologique, F^{·} est un complexe limité inférieurement de faisceaux de groupes abéliens sur X, 𝔘 = {U_{p}} un recouvrement ouvert de X, alors les cochaînes de Čech Č^{j}(𝔘, F^{i}) forment un bicomplexe.

1.2. Un bicomplexe tordu est une collection C^{··} comme ci-dessus munie de trois endomorphismes d′, d′′, R, où d′ a le degré (1, 0), d′′ a le degré (0, 1) et R = {R^{ij}} a le degré (2, −1), i.e.

R^{ij} : C^{ij} ⟶ C^{i+2,j−1}

On exige les relations suivantes:

d^{′′ 2} = 0, d′d′′ = d′′d′, d^{′ 2} = Rd′′ + d′′R, Rd′ = d′R, R^{2} = 0  (1.2.1)

Le complexe simple associé est défini par

Tot(C^{··})^{i} = ⊕_{p+q=i} C^{pq}
d_{Tot}(x) = d′x + (−1)^{p} d′′x + (−1)^{p+1}Rx, x ∈ C^{pq}  (1.2.2)

On vérifie aussitôt que d_{Tot}^{2} = 0.

1.3. De même, un tricomplexe est une collection d’objets C^{···} = {C^{pqr}, p, q, r ∈ ℤ} munie de trois endomorphismes d′, d′′, d′′′ de degrés (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) respectivement, tels que

d^{′ 2} = d^{′′ 2} = d^{′′′ 2} = 0, d′d′′ = d′′d′, d′d′′′ = d′′′d′, d′′d′′′ = d′′′d′′

Le complexe simple associé est défini par

Tot(C^{···})^{i} = ⊕_{p+q+r=i} C^{pqr},
d_{Tot}(x) = d′x + (−1)^{p}d′′x + (−1)^{p+q}d′′′x, x ∈ C^{pqr}

Définition équivalente: on prend d’abord le complexe simple par rapport aux deux premiers degrés, on obtient le bicomplexe Tot_{12}(C^{···}) et on prend le complexe simple associé à ce bicomplexe Tot(Tot_{12}(C^{···})).

1.4. Un tricomplexe tordu est une collection C^{···} comme ci-dessus munie de 5 endomorphismes d′, d′′, d′′′, R et M de degrés

deg d′ = (1, 0, 0), deg d′′ = (0, 1, 0), deg d′′′ = (0, 0, 1)
deg R = (2, −1, 0), deg M = (1, −1, 1)

qui vérifient les relations (a), (b) et (c) ci-dessous.

(a) Pour chaque p la collection (C^{p′′}, d′′, d′′′) est un bicomplexe.

(b) Pour chaque r la collection (C^{··r}, d′, d′′, R) est un bicomplexe tordu.

(c) Les conditions sur M:

M^{2} = 0
d′′′d′ = d′d′′′ + Md′′ + d′′M
d′′′R = Rd′′′ + Md′ + d′M
d′′′M + Md′′′ = 0, RM + MR = 0

Le complexe simple associé est défini par

Tot(C^{···})^{i} = ⊕_{p+q+r=i} C^{pqr},
d_{Tot}(x) = d′x + (−1)^{p}d′′x + (−1)^{p+q}d′′′x + (−1)^{p+1}Rx + (−1)^{q+1}Mx, (1.4.1)

x ∈ C^{pqr}. On vérifie que d_{Tot}^{2} = 0.

1.5. Chaque objet de C sera considéré comme un complexe concentré en degré 0.

Rappelons les notations usuelles pour les complexes. Soit C un complexe. Alors sa translation C[a] (a ∈ ℤ) est défini par C[a]^{i} = C^{a+i}, d_{C[a]} = (−1)^{a} d_{C}.

Tronquations. ”Bêtes”:

σ_{≤a} C : … ⟶ C^{a−1} ⟶ C^{a} ⟶ 0
σ_{≥a} : 0 ⟶ C^{a} ⟶ C^{a+1} ⟶ …

”Intelligente”:

τ_{≤a} : … ⟶ C^{a−2} ⟶ C^{a−1} ⟶ Ker d^{a} ⟶ 0

Si f : C ⟶ D est un morphisme de complexes, alors Cone(f) est le complexe simple associé au bicomplexe C^{·} ⟶^{f} D^{·}, D^{·} ayant le premier degré 0.

§2. Rappels sur le complexe de de Rham

2.1. Désormais on fixe un anneau commutatif de base k et une k-algèbre commutative A. Chaque A-module est un k-module par restriction de scalaires.

On va utiliser les notations suivantes.

k−Mod: la catégorie de k-modules; ⊗ := ⊗_{k}, Hom := Hom_{k}. Si M_{1}, …, M_{n}, N ∈ k − Mod on identifiera Hom(M_{1} ⊗ … ⊗ M_{n}, N) avec l’ensemble d’applications kpolylinéaires M_{1} × … × M_{n} ⟶ N. M^{⊗n} désignera la n-ième puissance tensorielle sur k d’un k-module M.

De même, Hom(Λ^{n}M, N) (resp. Hom(S^{n}M, N)) désignera le k-module des fonctions f : M^{n} ⟶ N k-polylinéaires alternées (resp. symétriques) (ceci peut être considéré comme une définition de la puissance exterieure (resp. symétrique). Par définition, Λ^{0}M = S^{0}M = k.

Plus généralement, Hom(Λ^{n}M ⊗ S^{m}M′, N) désignera le k-module des fonctions f : M^{n} × M^{′m} ⟶ N k-polylinéaires, alternées par rapport aux premiers n arguments et symétriques par rapport aux derniers m-arguments, etc.

Si M_{1}, …, M_{n}, N ∈ A−Mod, Hom_{A}(Λ_{A}^{n}M, N) (resp. Hom_{A}(S_{A}^{n}M, N)) désignera le A-module des fonctions f : M^{n} ⟶ N A-polylinéaires alternées (resp. symétriques).

2.2. Soit 𝔤 une k-algèbre de Lie. 𝔤 − Mod va désigner la catégorie de 𝔤-modules.

Si M, N ∈ 𝔤 − Mod, alors M ⊗ N, M^{⊗n}, Λ^{n}M, S^{n}M sont des 𝔤-modules sur lequels 𝔤 agit par la règle de Leibniz, par exemple,

τ(x_{1} ⊗ … ⊗ x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} x_{1} ⊗ … ⊗ τx_{i} ⊗ … ⊗ x_{n},  (2.2.1)

etc.

De plus, Hom(M, N) est aussi un 𝔤-module; ici 𝔤 agit par la règle

(τ(f))(x) = τ(f(x)) − f(τ(x)), f ∈ Hom(M, N)  (2.2.2)

On utilisera aussi les notations τf et Lie_{τ} f pour τ(f).

Il en découle que si M_{1}, …, M_{n}, N sont de 𝔤-modules, alors Hom(M_{1} ⊗ … ⊗ M_{n}, N) sera un 𝔤-module, etc.

Le complexe de cochaînes de Chevalley de 𝔤 à coéfficients dans M, C^{·}(𝔤, M), est défini par C^{i}(𝔤, M) = Hom(Λ^{n}𝔤, M), n ≥ 0, la différentielle de Chevalley d_{Ch} : C^{n−1}(𝔤, M) ⟶ C^{n}(𝔤, M) agit par la formule

d_{Ch}f(τ_{1}, …, τ_{n}) = ∑_{1≤i<j≤n} (−1)^{i+j}f([τ_{i}, τ_{j}], τ_{1}, …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ_{n})+

+ ∑_{1≤i≤n} (−1)^{i+1} τ_{i}f(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …, τ_{n})  (2.2.3)

Attention: τ_{i}f(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …, τ_{n}) désigne τ_{i}(f(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …, τ_{n}))!

2.3. Rappelons qu’une A-algébroïde de Lie est une k-algèbre de Lie T agissant sur A par dérivations k-linéaires, munie d’une structure d’un A-module à gauche, telle que

[τ, aτ′] = a[τ, τ′] + τ(a)τ′

(a ∈ A, τ, τ′ ∈ T).

Exemple typique. T = Der_{k}(A) (algèbre de Lie de dérivations k-linéaires τ : A ⟶ A).

Désormais nous fixons une A-algébroïde Lie T. On désigne par T^{Lie} le même T considérée comme une algèbre de Lie, avec la structure d’une algébroïde de Lie oubliée.

On pose Ω = Hom_{A}(T, A); ceci est un A-module. Des éléments de T (resp. de Ω) seront notés τ, τ′ (resp. ω), etc.; des éléments de A seront notés a, b, c.

On désigne par ⟨, ⟩ : T × Ω ⟶ A l’accouplement A-bilinéaire canonique. On a la A-dérivation canonique d : A ⟶ Ω définie par

⟨τ, da⟩ = τ(a)

De plus, T^{Lie} opère sur Ω par la règle

⟨τ′, τ(ω)⟩ = τ(⟨τ′, ω⟩) − ⟨[τ, τ′], ω⟩

(τ, τ′ ∈ T, ω ∈ Ω). Cette action vérifie les propriétés

τ(aω) = τ(a)ω + aτ(ω)
(aτ)(ω) = aτ(ω) + ⟨τ, ω⟩ da

La flèche d est un morphisme de T^{Lie}-modules.

2.4. Complexe de Chevalley - de Rham. Définissons les A-modules Ω^{n} := Hom_{A}(Λ_{A}^{n}T, A) (n ≥ 0). En particulier, Ω^{0} = A, Ω^{1} = Ω.

Les opérations fondamentales suivantes agissent sur ces modules.

Convolution avec un champ vectoriel. Pour τ ∈ T, l’opérateur i_{τ} = ⟨τ,?⟩ : Ω^{n+1} ⟶ Ω^{n} est défini par

i_{τ} ω(τ_{1}, …, τ_{n}) = ω(τ, τ_{1}, …, τ_{n})

Il en suit que pour ω ∈ Ω^{n}

ω(τ_{1}, …, τ_{n}) = i_{τ_{n}}i_{τ_{n−1}} … i_{τ_{1}}ω

Évidemment,

i_{τ} i_{τ′} = −i_{τ′}i_{τ} , ou bien [i_{τ} , i_{τ′}] = 0; i_{τ}^{2} = 0

Dérivée de Lie Lie_{τ} : Ω^{n} ⟶ Ω^{n} est définie par

Lie_{τ} ω(τ_{1}, …, τ_{n}) = τ(ω(τ_{1}, …, τ_{n})) − ∑_{i} ω(τ_{1}, …, [τ, τ_{i}], …, τ_{n})

En d’autres termes, T^{Lie} agit sur C^{n}(T, A) = Hom(Λ^{n}T, A) par les regles (2.2.1), (2.2.2) et cette action respecte le sous-module Ω^{n}.

On désignera Lie_{τ} ω aussi par τ(ω) ou simplement par τω.

On a

Lie_{τ} ∘ i_{τ′} = i_{[τ,τ′]} + i_{τ′} ∘ Lie_{τ} , ou bien [Lie_{τ} , i_{τ′}] = i_{[τ,τ′]}

Différentielle de Chevalley - de Rham. Par recurrence sur n on établit sans peine qu’il existe l’unique collection d’opérateurs d : Ω^{n} ⟶ Ω^{n+1} qui satisfont à l’identité

i_{τ} ∘ d + d ∘ i_{τ} = Lie_{τ} , ou bien [i_{τ} , d] = Lie_{τ}

Pour n = 0, d a été déjà défini dans 2.3. On a d^{2} = 0.

La formule explicite sera

dω(τ_{1}, …, τ_{n}) = ∑_{i<j} (−1)^{i+j}ω([τ_{i}, τ_{j}], τ_{1}, …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)+

+ ∑_{i} (−1)^{i+1}τ_{i}ω(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …)

Autrement dit, la différentielle de Chevalley (2.2.3) respecte les sous-modules Ω^{n} ⊂ C^{n}(T, A), donc le complexe de de Rham (Ω^{·}, d) est un sous-somplexe du complexe de Chevalley C^{·}(T, A). On utilise la notation Ω^{p,fer} := Ker (d : Ω^{p} ⟶ Ω^{p+1}).

On a [d, Lie_{τ}] = 0.

2.5. Multiplication. Il existe l’unique multiplication Ω^{·} × Ω^{·} ⟶ Ω^{·}, (ω, ω′) ↦ ωω′, Ω^{p}Ω^{q} ⊂ Ω^{p+q} qui vérifie la propriété

i_{τ} (ωω′) = i_{τ} (ω)ω′ + (−1)^{p}ωi_{τ} (ω′) (ω ∈ Ω^{p})

En effet, cette règle implique la formule explicite ”shuffle” évidente. Soient ω ∈ Ω^{p}, ω′ ∈ Ω^{q}; désignons par P_{pq} l’ensemble de sous-ensembles P ⊂ [1, p + q] := {1, …, p + q} de cardinalité p. Pour P = {i_{1}, …, i_{p}}, i_{1} < … < i_{p}, posons P′ = [1, p + q] − P = {j_{1}, …, j_{q}}. On désigne par sgn(P) ∈ ℤ/2ℤ le signe de la permutation {i_{1}, …, i_{p}, j_{1}, …, j_{q}}. Dans ces notations

ωω′(τ_{1}, …, τ_{p+q}) = ∑_{P ∈P_{pq}} (−1)^{sgn(P)}ω(τ_{P})ω′(τ_{P′}),

où ω(τ_{P}) désigne ω(τ_{i_{1}}, …, τ_{i_{p}}).

La composante de degré (0, p) correspond à la structure d’un A-module sur Ω^{p} et (Ω^{·}, d) devient une algèbre différentielle graduée associative et commutative.

§3. Formes de Chern - Simons

3.1. Fixons un entier n ≥ 1. Pour chaque algèbre B on désigne par Mat_{n}(B) l’algèbre de matrices n × n à coéfficients dans B.

Par exemple, considérons Mat_{n}(Ω^{·}). Ceci est une algèbre différentielle graduée associative (cf. 2.5); la graduation est définie par Mat_{n}(Ω^{·})^{i} = Mat_{n}(Ω^{i}). Pour P ∈ Mat_{n}(Ω^{i}) on pose |P | := i.

Notre algèbre est munie de la fonction trace tr : Mat_{n}(Ω^{·}) ⟶ Ω^{·} qui commute avec la différentielle et satisfait à la propriété fondamentale

tr(P Q) = (−1)^{|P ||Q|}tr(QP)  (3.1.1)

Par contre, on uitilisera parfois la notation usuelle pour le commutateur, [P, Q] = P Q − (−1)^{|P ||Q|}QP, d’où (3.1.1) se recrit comme tr([P, Q]) = 0.

On rémarque aussi que

tr(P^{2}) = 0 si |P | est impair  (3.1.2)

Biensûr, ceci est une consequence de (3.1.1) ci 1/2 ∈ k, mais c’est vrai toujours.

Le groupe GL_{n}(Ω^{·}) opère sur Mat_{n}(Ω^{·}) par conjugaison; on n’utilisera que l’action du sous-groupe GL_{n}(A), avec la notation

P^{ϕ} = ϕ^{−1}P ϕ (ϕ ∈ GL_{n}(A))

Évidemment, tr(P^{ϕ}) = tr(P).

3.2. Pour ϕ ∈ GL_{n}(A) on a

d(ϕ^{−1}) = −ϕ^{−1}dϕ ϕ^{−1} ∈ Mat_{n}(Ω^{1})

On introduit la notation

ℓ(ϕ) := ϕ^{−1}dϕ ∈ Mat_{n}(Ω^{1})  (3.2.1)

On a

dℓ(ϕ) = −ℓ(ϕ)^{2}

Donc la forme tr{ℓ(ϕ)} est fermée,

dtr{ℓ(ϕ)} = −tr{ℓ(ϕ)^{2}} = 0  (3.2.2)

grace à (3.1.2).

Ensuite,

d(P^{ϕ}) = −[ℓ(ϕ), P] + (dP)^{ϕ} (P ∈ Mat_{n}(Ω^{·}))

3.3. D’un autre côté,

ℓ(ψϕ) = ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)  (3.3.1)

pour ψ, ϕ ∈ GL_{n}(A), d’où

tr{ℓ(ψϕ)} = tr{ℓ(ψ)} + tr{ℓ(ϕ)}  (3.3.2)

3.4. Bicomplexe de Čech - de Rham. Supposons qu’un groupe G opère à droit sur un groupe abélien M; on utilise la notation exponentielle: x^{g} x ∈ M, g ∈ G. Rappelons que le complexe de cochaînes C^{·}(G, M) est défini par C^{n}(G, M) = Hom_{Ens}(G^{n}, M), avec la différentielle, dit de Čech ,

d_{c}f(g_{1}, …, g_{n+1}) = f(g_{2}, …, g_{n+1})+

+ ∑_{i=1}^{n} (−1)^{i}f(g_{1}, …, g_{i}g_{i+1}, …, g_{n+1}) + (−1)^{n+1}f(g_{1}, …, g_{n})^{g_{n+1}}

Par exemple, (3.3.1) signifie que ℓ est un 1-cocycle de GL_{n}(A) à coéfficients dans Mat_{n}(Ω^{1}) et (3.3.2) et (3.2.1) signifient que

tr{ℓ} ∈ Z^{1}(GL_{n}(A), Ω^{1,fer}) = H^{1}(GL_{n}(A), Ω^{1,fer}) = Hom_{Groupes}(GL_{n}(A), Ω^{1,fer})

(l’action de GL_{n}(A) sur Ω^{1,fer} étant triviale).

Considérons le complexe de de Rham Ω^{·} comme muni de l’action triviale de GL_{n}(A). Le complexe de cochaînes C^{·}(GL_{n}, Ω^{·}) devient un bicomplexe avec les colonnes C^{·}(GL_{n}(A), Ω^{i}), donc la première differentielle sera de de Rham et la seconde celle de Čech.

3.5. Complexes de Chern - Simons. Pour i ≥ 1 considérons les complexes

Ω^{[i,2i−1⟩} := τ_{≤2i−1}σ_{≥i}Ω^{·}[i] : Ω^{i} ⟶ … ⟶ Ω^{2i−1,fer}

Le i-ième bicomplexe de Chern - Simons CS(i)^{··} est le bicomplexe C^{·}(GL_{n}(A), Ω^{[i,2i−1⟩}) dont le première degré est le degré dans Ω^{[i,2i−1⟩}.

Le i-ième complexe de Chern - Simons CS(i) est le complexe simple associé

CS(i) = Tot CS(i)^{··}

Par exemple, CS(1) = C^{·}(GL_{n}(A), Ω^{1,fer}). On a tr{ℓ} ∈ CS(1)^{01} et d_{c}(tr{ℓ}) = 0, i.e.

tr{ℓ} ∈ Z^{1}(CS(1))  (3.5.1)

On appelle l’élément (3.5.1) la première forme de Chern - Simons et l’on désigne par β_{1}.

On définira ci-dessous des cocycles analogues β_{i} ∈ Z^{i}(CS(i)) pour i = 2, 3.

Deuxième forme

3.6. Posons, der Kurzen wegen, a := ℓ(ϕ). On vérifie par recurrence que

d(a^{2i−1}) = −a^{2i}; d(a^{2i}) = 0

Supposons que 2 est inversible dans k. Alors a^{2i} = \frac{1}{2}[a, a^{2i−1}], d’où tr\{a^{2i}\} = 0. (D’ailleurs, ceci est vrai sans hypothèse que 1/2 ∈ k; nous n’aurons pas besoin de cela.) Donc

tr{a^{2i−1}} ∈ Ω^{2i−1,fer}

Soit ψ ∈ GL_{n}(A). Posons b := ℓ(ψ)^{ϕ}. On a

db = −[a, b] − b^{2} = −(ab + ba + b^{2}),

d’où

d(ba) = −aba − b^{2}a

et

dtr{ba} = −tr{a^{2}b + ab^{2}}

3.7. De l’autre part, rappelons que d_{c}f(ψ, ϕ) = f(ϕ) − f(ψϕ) + f(ψ)^{ϕ}, donc

d_{c}a^{3}(ψ, ϕ) = a^{3} − (a + b)^{3} + b^{3} =
= −(a^{2}b + aba + ab^{2} + ba^{2} + bab + b^{2}a),

d’où

d_{c}tr(a^{3}) = −3tr{a^{2}b + ab^{2}} = 3dtr(ba)

Enfin, soit χ ∈ CL_{n}(A). Posons c := ℓ(χ)^{ψϕ}. Alors on aura

d_{c}(ba)(χ, ψ, ϕ) = ba − (b + c)a + c(a + b) − cb = 0

3.8. Supposons que 6 est inversible dans k. Définissons les formes: β^{11} ∈ C^{1}(G, Ω^{3,fer}) = CS(2)^{11} par

β^{11}(ϕ) = \frac{1}{6}tr\{ℓ(ϕ)^{3}\}

et β^{02} ∈ C^{2}(G, Ω^{2}) = CS(2)^{02} par

β^{02}(ψ, ϕ) = \frac{1}{2}tr\{ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)\}

Alors on a montré que d_{c}β^{02} = 0 et dβ^{02} = d_{c}β^{11}. Donc l’élément β_{2} = (β^{02}, β^{11}) est un 2-cocycle dans CS(2). Nous l’appelons la deuxième forme de Chern - Simons.

Troisième forme

3.9. Ici nous supposons que 30 est inversible dans k. On a tr{ℓ(ϕ)^{5}} = 0. Considérons la forme tr{ℓ^{5}} ∈ Hom(GL_{n}(A), Ω^{5,fer}) = CS(3)^{21}. On a

d_{c}tr{ℓ^{5}}(ψ, ϕ) = tr{b^{5} − (a + b)^{5} + a^{5}} =
= −5tr{ba^{4} + b^{2}a^{3} + b^{4}a + b^{3}a^{2} + baba^{2} + b^{2}aba}

On définit

β^{21} := −\frac{1}{60}tr\{ℓ^{5}\} ∈ Hom(GL_{n}(A), Ω^{5,fer}) = CS(3)^{21},

3.10. D’un autre côté, on introduit une forme β^{12} ∈ Hom(GL_{n}(A)^{2}, Ω^{4}) = CS(3)^{12} par

β^{12}(ψ, ϕ) := −\frac{1}{12}tr\{ba^{3}\} − \frac{1}{12}tr\{b^{3}a\} − \frac{1}{24}tr\{baba\} + \frac{1}{12}tr\{b^{2}a^{2}\} =

= β′ + β′′ + β′′′ + β′′′′

Alors on a

dβ′ = \frac{1}{12}tr\{ba^{4} + b^{2}a^{3}\}

dβ′′ = \frac{1}{12}tr\{b^{4}a + b^{3}a^{2}\}

dβ′′′ = \frac{1}{12}tr\{baba^{2} + b^{2}aba\}

et dβ′′′′ = 0. En ajoutant,

dβ^{12}(ψ, ϕ) = \frac{1}{12}tr\{ba^{4} + b^{2}a^{3} + b^{4}a + b^{3}a^{2} + baba^{2} + b^{2}aba\} = −d_{c}β^{21}

3.11. Enfin, on définit la forme β^{03} ∈ Hom(GL_{n}(A)^{3}, Ω^{3}) = CS(3)^{03} par

β^{03}(χ, ψ, ϕ) = \frac{1}{6}tr\{ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)\} = \frac{1}{6}tr\{cba\}

On voit aussitôt que d_{c}(cba) = 0, donc d_{c}β^{03} = 0.

D’autre part,

dc = −ac − bc − c^{2} − cb − ca,

d’où

d(cba) = −(a + b + c)cba

Par contre, calculons

d_{c}β^{12}(χ, ψ, ϕ) = β^{12}(ψ, ϕ) − β^{12}(χψ, ϕ) + β^{12}(χ, ψϕ) − β^{12}(χ, ψ) On trouve

d_{c}β′ = −\frac{1}{12} tr\{cb^{2}a + cab^{2} + cba^{2} + ca^{2}b + caba + cbab\}

d_{c}β′′ = \frac{1}{12} tr\{c^{2}ba − c^{2}ab + cb^{2}a + cab^{2} + cbca − cbab\}

d_{c}β′′′ = \frac{1}{12} tr\{caba − cacb\}

et

d_{c}β′′′ = \frac{1}{12} tr\{−cba^{2} − bca^{2} + c^{2}ba + c^{2}ab\}

En ajoutant, on obtient

d_{c}β^{12}(χ, ψ, ϕ) = \frac{1}{6} tr\{c^{2}ba − cbab − cba^{2}\} = \frac{1}{6} tr\{(a + b + c)cba\} = −dβ^{03}(χ, ψ, ϕ)

Il en suit 3.12. Théorème. L’èlément β_{3} = (β^{03}, β^{12}, β^{21}) ∈ CS(3)^{3} est un cocycle. On l’appele la troisième forme de Chern - Simons.

§4. Bicomplexe de Hochschild - de Rham

4.1. Soit M, N deux A-modules. On peut plonger le module Hom_{A}(M, N) dans le module de homomorphismes k-linéaires Hom(M, N); évidemment,

Hom_{A}(M, N) = Ker(d_{H} : Hom(M, N) ⟶ Hom(A ⊗ M, N)),

où la flèche d_{H} est définie par

d_{H}f(a, x) = af(x) − f(ax)

(x ∈ M, a ∈ A).

Plus généralement, définissons le complexe de Hochschild C_{H}^{·}(M, N) par C_{H}^{n}(M, N) = Hom(A^{⊗n−1} ⊗ M, N) (n ≥ 0), la différentielle d_{H} : C_{H}^{n}(M, N) ⟶ C_{H}^{n+1}(M, N) agit par la formule

d_{H}f(a_{1}, …, a_{n}; x) = a_{1}f(a_{2}, …, a_{n}; x)+

+ ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{i}f(a_{1}, …, a_{i}a_{i+1}, …, a_{n}; x) + (−1)^{n}f(a_{2}, …, a_{n−1}; a_{n}x)

4.2. Définissons un complexe augmenté de A-modules

B_{A}^{·}(M) ⟶^{e} M  (4.2.1)

où B_{A}^{−n}(M) = A^{⊗n+1} ⊗ M (n ≥ 0), la structure d’un A-module sur B_{A}^{−n}(M) étant définie par

a(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n+1} ⊗ x) = aa_{1} ⊗ … ⊗ a_{n+1} ⊗ x,

la différentielle d_{H} : B_{A}^{−n}(M) ⟶ B_{A}^{−n+1}(M) agissant par

d_{H}(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n+1} ⊗ x) = ∑_{i=1}^{n} (−1)^{i+1}a_{1} ⊗ … a_{i}a_{i+1} ⊗ … ⊗ a_{n+1} ⊗ x+

+(−1)^{n}a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n} ⊗ a_{n+1}x

et l’augmentation e étant définie par e(a ⊗ x) = ax.

Il est facile à voir que (4.2.1) est une résolution (on construit sans peine une homotopie).

Il découle de définitions que

C_{H}^{·}(M, N) = Hom_{A}(B_{A}^{·}(M), N)

En pratique (sous les hypothèses faibles sur A) les A-modules B_{A}^{n}(M) seront projectifs, donc

H^{n}(C^{·}(M, N)) = Ext_{A}^{n}(M, N) (n ≥ 0)

Donc si M est projectif sur A, C^{·}(M, N) sera une résolution de Hom_{A}(M, N).

4.3. Maintenant on applique cette construction à Ω = Hom_{A}(T, A). On obtient le complexe de Hochschild

C_{H}^{·}(T, A) : Hom(T, A) ⟶ Hom(A ⊗ T, A) ⟶ …

On va noter ce complexe HR(1)^{0·}, et cela sera la 0-ième colonne du bicomplexe de Hochschild - de Rham.

Plus généralement, définissons pour i ≥ 1 les complexes analogues HR(1)^{i·}. Posons HR(1)^{i0} = Hom(Λ^{i+1}T, A). On rémarque que l’on a l’inclusion évidente

Ω^{i+1} = Hom_{A}(Λ_{A}^{i+1}T, A) ↪ HR(1)^{i0}

Ensuite, posons

HR(1)^{ij} = Hom(A^{⊗j} ⊗ T ⊗ Λ^{i}T, A) (j ≥ 1);

les différentielles de Hochschild seront definies par la formule 4.1 par rapport au premier argument:

d_{H}f(a_{1}, …, a_{j}; τ_{1}; τ_{2}, …, τ_{i}) = a_{1}f(a_{2}, …, a_{j}; τ_{1}; τ_{2}, …, τ_{i})+

+ ∑_{p=1}^{j−1} (−1)^{p}f(a_{1}, …, a_{p}a_{p+1}, …, a_{j}; τ_{1}; τ_{2}, …, τ_{i})+

+(−1)^{j}f(a_{1}, …, a_{j−1}; a_{j}τ_{1}; τ_{2}, …, τ_{i})

Le complexe HR(1)^{i·} sera la i-ième colonne de notre bicomplexe de Hochschild - de Rham.

4.4. Il nous reste à définir les flèches horisontales d_{DR} : HR(1)^{i·} ⟶ HR(1)^{i+1·}.

D’abord la 0-ième ligne

HR(1)^{·0} : Hom(T, A) ⟶ Hom(Λ^{2}T, A) ⟶ …

La différentielle ici sera −d_{Ch}, où d_{Ch} est la différentielle de Chevalley dans C^{·}(T^{Lie}, A), (2.2.3).

Par contre, pour j ≥ 1 la j-ième ligne sera

HR(1)^{·j} : Hom(A^{⊗j}⊗T, A) ⟶ Hom(A^{⊗j}⊗T ⊗T, A) ⟶ Hom(A^{⊗j}⊗T ⊗Λ^{2}T, A) ⟶ …

Identifions Hom(A^{⊗j}⊗T ⊗Λ^{i}T, A) avec Hom(Λ^{i}T, Hom(A^{⊗j}⊗T, A)) et définissons la différentielle de de Rham comme la différentielle de Chevalley dans

C^{·}(T^{Lie}, Hom(A^{⊗j} ⊗T, A)), où l’action de T^{Lie} sur Hom(A^{⊗j} ⊗T, A) est définie en accordance avec la règle usuelle (cf. 2.2):

(τf)(a_{1}, …, a_{j}; τ′) = τf(a_{1}, …, a_{j}; τ′)−∑_{p} f(a_{1}, …, τ(a_{p}), …; τ′)−f(a_{1}, …, a_{j}; [τ, τ′])

Donc

d_{DR}f(a_{1}, …, a_{j}; τ; τ_{1}, …) = ∑_{p} (−1)^{p+1}{τ_{p}f(a_{1}, …; τ; …, τ̂_{p}, …)−

− ∑_{r} f(a_{1}, …, τ_{p}(a_{r}), …; τ; …, τ̂_{p}, …) − f(a_{1}, …; [τ_{p}, τ]; …, τ̂_{p}, …)}+

+ ∑_{p<q} (−1)^{p+q}f(a_{1}, …; τ; …, τ̂_{p}, …, τ̂_{q}, …)

On vérifie par un calcul direct que d_{H}^{0}d_{Ch} = −d_{Ch}d_{H}^{0} (sic!), d’où d_{H}^{0}d_{DR} = d_{DR}d_{H}^{0}.

D’autre part, on vérifie

4.5. Lemme. Les Hochschilds

d_{H} : Hom(A^{⊗j} ⊗ T, A) ⟶ Hom(A^{⊗j+1} ⊗ T, A)

sont des morphismes de T^{Lie}-modules.

4.6. Il en suit que d_{H}^{j}d_{DR} = d_{DR}d_{H}^{j} pour j ≥ 1. Ceci donne le bicomplexe de Hochschild - de Rham HR(1)^{··} promis. Le complexe de Hochschild - de Rham est le complexe simple associé: HR(1) = Tot HR(1)^{··}.

On a l’inclusion canonique

σ_{≥1}Ω^{·}[1] ↪ HR(1)  (4.6.1)

Évidemment, Ω^{1} = Ker(d_{H}^{0} : HR(1)^{00} ⟶ HR(1)^{01}), donc (4.6.1) induit un isomorphisme sur H^{0}:

H^{0}(HR(1)) = Ω^{1,fer}

§5. Structures de Calabi - Yau

5.1. Cocycle ϵ_{1}. Considérons l’élément ”evaluation” e ∈ Hom(A ⊗ T, A) = HR(1)^{01} défini par

e(a; τ) = τ(a)

Lemme. d_{H}e = d_{DR}e = 0. En effet,

d_{H}e(a, b; τ) = ae(b; τ) − e(ab; τ) + e(a; bτ) =
= aτ(b) − τ(ab) + bτ(a) = 0

D’autre part,

d_{DR}e(a; τ, τ′) = (τ′e)(a; τ) = τ′e(a; τ) − e(τ′(a); τ) − e(a; [τ′, τ]) =

= τ′τ(a) − ττ′(a) − [τ′, τ](a) = 0

(autrement dir, l’opérateur e est invariant).

Il en suit que ϵ_{1} = (−e, 0) ∈ HR(1)^{01} ⊕ HR(1)^{10} = HR(1)^{1} est un cocycle. 5.2. Une structure de Calabi - Yau sur T est un élément c ∈ HR(1)^{0} =

Hom(T, A) tel que d_{HR}c = ϵ_{1}.

Ceci signifie que (CY1) d_{H}c = −e, c’est-à-dire, c(aτ) − ac(τ) = τ(a), et (CY2) d_{DR}c = 0, c’est-à-dire, c([τ, τ′]) − τc(τ′) + τ′c(τ) = 0. Par exemple, si A est lisse sur k et T = Der_{k}(A), alors une structure de CY sur

T est la même chose qu’une structure d’un D-module à droite sur A (définie par la règle 1 · τ = −c(τ)), cf. [GMS], §11, et ceci est la même chose qu’une connexion intégrable sur det T, d’où le nom.

On désigne par CY l’ensemble de structures de CY sur T. Évidemment, celui-ci est un torseur sous le groupe abélien H^{0}(HR(1)) = Ω^{1,fer}. On va calculer sa classe.

5.3. Supposons que deux conditions (a) et (b) sont vérifiées.

(a) T est un A-module libre de rang fini n. Une base 𝔟 = {τ_{1}, …, τ_{n}} comme un A-module est appelée abélienne si [τ_{i}, τ_{j}] =

0 pour tous i, j.

(b) T admèt une base abélienne. En effet, l’hypothèse (b) est superflue: sans doute tous les résultats du présent

papier restent vrais sans supposant (b). Par contre, elle simplifie énormement les calculs et est suffisante pour les applications: en pratique elle est toujours vérifiée. Donc nous supposons désormais que (b) est vérifiée.

On désigne par 𝔅 l’ensemble de bases abéliennes de T.

5.4. Formules utiles. Soit 𝔟 = {τ_{i}}, 𝔟′ = {τ′_{i}} ∈ 𝔅. où τ′_{i} = ϕ^{ij}τ_{j}, ϕ^{ij} ∈ A (la sommation par les indices répétes est sous-entendue). On ecrit 𝔟′ = ϕ𝔟, ϕ = (ϕ^{ij}) ∈ GL_{n}(A).

On aura

0 = [τ′_{i}, τ′_{j}] = [ϕ^{ip}τ_{p}, ϕ^{jq}τ_{q}] = ϕ^{ip}τ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q} − ϕ^{jq}τ_{q}(ϕ^{ip})τ_{p} = τ′_{i}(ϕ^{jq})τ_{q} − τ′_{j}(ϕ^{ip})τ_{p},

d’où

τ′_{i}(ϕ^{jp}) = τ′_{j}(ϕ^{ip})

pour tous i, j, p. Donc

τ_{a}(ϕ^{bc}) = ϕ^{−1ap}τ′_{p}(ϕ^{bc}) = ϕ^{−1ap}τ′_{b}(ϕ^{pc}) = [ϕ^{−1}τ′_{b}(ϕ)]^{ac}

On utilisera les notations ℓ′_{i}(ϕ) = ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ), etc.:

τ_{a}(ϕ^{bc}) = ℓ′_{b}(ϕ)^{ac}  (5.4.1)
τ_{a}(ϕ^{ba}) = tr{ℓ′_{b}(ϕ)}  (5.4.2)

5.5. Pour un 𝔟 = {τ_{i}} ∈ 𝔅 il existe une seule structure de CY c_{𝔟} telle que c_{𝔟}(τ_{i}) = 0 pour chaque i. On a

c_{𝔟}(aτ_{i}) = τ_{i}(a)

Soit 𝔟′ = {τ′_{i}} une autre base abélienne, 𝔟′ = ϕ𝔟. Calculons la différence c_{𝔟′} − c_{𝔟} ∈ Ω^{1,fer} ⊂ Hom(T, A). On a

c_{𝔟′}(τ′_{i}) − c_{𝔟}(τ′_{i}) = −c_{𝔟}(τ′_{i}) = −c_{𝔟}(ϕ^{ip}τ_{p}) = −τ_{p}(ϕ^{ip}) = −tr{ℓ′_{i}(ϕ)} = −⟨τ′_{i}, ℓ(ϕ)⟩,

i.e.

c_{𝔟′} − c_{𝔟} = −ℓ(ϕ)

5.6. Complexe de Čech - Hochschild - de Rham. Soit X un groupe abélien. On définit le complexe de Čech à coéfficients dans X, Č^{·}(𝔅; X) par Č^{i}(𝔅; X) := Hom_{Ens}(𝔅^{i+1}, X) (i ≥ 0). Des éléments de Č^{i}(𝔅; X) seront notés f = {f_{𝔟_{0}𝔟_{1}...𝔟_{i}}}. La différentielle agit comme

(d_{c}f)_{𝔟_{0}...𝔟_{i+1}} = ∑_{p=0}^{i+1} (−1)^{p}f_{𝔟_{0}...𝔟̂_{p}...𝔟_{i+1}}

Le morphisme d’augmentation δ : X ⟶ Č^{0}(𝔅; X) est défini par (δx)_{𝔟} = x (x ∈ X).

Ensuite, on a le morphisme canonique

ν : C^{·}(GL_{n}(A), X) ⟶ Č^{·}(𝔅; X)  (5.6.1)

(où GL_{n}(A) agit trivialement sur X) défini par

(νf)_{𝔟_{0}𝔟_{1}...𝔟_{i}} = f(g_{i}, g_{i−1}, …, g_{1}), où 𝔟_{i} = g_{i}𝔟_{i−1}

Considérons le bicomplexe de Hochschild - de Rham HR(1)^{··}. En appliquant Č^{·}(𝔅; ?) on obtient: le tricomplexe Č^{·}(𝔅; HR(1)^{··}) (avec les différentielles: la première - de de Rham, la seconde - de Hochschild et la troisième - de Čech), le bicomplexe Č^{·}(𝔅; HR(1)^{·}) et le complexe simple noté Č^{·}(𝔅; HR(1)), donc par définition

Č^{i}(𝔅; HR(1)) = ⊕_{s+r=i} Č^{r}(𝔅; HR(1)^{s}) = ⊕_{p+q+r=i} Č^{r}(𝔅; HR(1)^{pq})

On a le morphisme d’augmentation

δ : HR(1) ⟶ Č^{·}(𝔅; HR(1))

D’autre part, les inclusions Ω^{1,fer} ↪ Ω^{1} ↪ Hom(T, A) = HR(1)^{00} fournissent le morphisme de complexes

Ω^{1,fer} ⟶ HR(1)

qui induit, à l’aide de ν (5.6.1), le morphisme de complexes

μ : CS(1) = C^{·}(GL_{n}(A), Ω^{1,fer}) ⟶ Č^{·}(𝔅; HR(1)),

d’où la flèche

(μ, δ) : CS(1) ⊕ HR(1) ⟶ Č^{·}(𝔅; HR(1))

On appele le premier complexe de Chern - Simons étendu le cône

ĈS(1) := Cone(μ, δ)[−1]  (5.6.2)

Évidemment, on a la projection canonique

π : ĈS(1) ⟶ CS(1)

Les calculs précédents sont résumés en

5.7. Théorème. Considérons la collection c_{1} = {c_{𝔟}}_{𝔟∈𝔅} comme un élément de Č^{0}(𝔅; HR(1)^{00}). Alors d_{H}c_{1} = ϵ_{1} et d_{c}c_{1} = −β_{1}.

Donc l’élément β̂_{1} = (β_{1}, −ϵ_{1}, −c_{1}) est un 1-cocycle de ĈS(1) tel que π(β̂_{1}) = β_{1}.

On appelera cet élément le premier cocycle de Chern - Simons raffiné.

§6. Deuxième Hochschild - Koszul - de Rham

6.1. Dans cette section on réproduit la construction de [S], Caput Secundum. Pour les détails de calculs, voir op. cit.

Considérons Ω^{2} comme un sous-module de Hom(T, Ω), en associant à ω ∈ Ω^{2} le morphisme ιω : T ⟶ Ω défini par ιω(τ) = i_{τ} ω. Alors l’image de Ω^{2} est caractérisée par deux propriétés: (a) le morphisme ιω est A-linéaire; (b) l’expression ⟨τ′, ιω(τ)⟩ est antisymétrique en τ, τ′.

Donc on peut réprésenter Ω^{2} comme l’intersection de deux nouyaux

Ω^{2} = Ker(d_{H} : Hom(T, Ω) ⟶ Hom(A ⊗ T, Ω)) ∩
∩ Ker(Q : Hom(T, Ω) ⟶ Hom(S^{2}T, A))

où le Hochschild d_{H} est définie par la formule usuelle d_{H}f(a, τ) = af(τ) − f(aτ), et la ”différentielle de Koszul” Q est définie par

Qf(τ, τ′) = Sym_{τ,τ′} ⟨τ, f(τ′)⟩  (6.1.1)

Dans cette Section on va définir un tricomplexe tordu HKR(2)^{···} = {HKR(2)^{ijk}} avec HKR(2)^{000} = Hom(T, Ω), HKR(2)^{010} = Hom(S^{2}T, A) et HKR(2)^{001} = Hom(A ⊗ T, Ω).

Dans ce tricomplexe i sera le degré de de Rham, j sera le degré de Koszul et k sera le degré de Hochschild. Il sera concentré en degrés 0 ≤ i + j + k ≤ 3, j = 0, 1.

Le complexe simple associé HKR(2) = TotHKR(2)^{···} sera muni d’un plongement de complexes canonique

ι : Ω^{[2,5]} := σ_{≥2}σ_{≤5}Ω^{·}[2] ↪ HKR(2)  (6.1.2)

Voici ces termes nonnuls.

Rez-de-chaussée. On aura HKR(2)^{000} = Hom(T, Ω); les lignes

HKR(2)^{·00} : Hom(T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{2}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{3}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{4}T, Ω)

HKR(2)^{·10} : Hom(S^{2}T, A) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ T, A) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{2}T, A)

Premier étage:

HKR(2)^{·01} : Hom(A ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

HKR(2)^{·11} : Hom(A ⊗ T^{⊗2}, A) ⟶ Hom(A ⊗ T^{⊗3}, A)

Deuxième étage:

HKR(2)^{·02} : Hom(A^{⊗2} ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(A^{⊗2} ⊗ T^{⊗2}, Ω)

HKR(2)^{012} = Hom(A^{⊗2} ⊗ T^{⊗2}, A)

Troisième étage:

HKR(2)^{003} = Hom(A^{⊗3} ⊗ T, Ω)

Les différentielles agiront: le de Rham d_{DR}^{ijk} : HKR(2)^{ijk} ⟶ HKR(2)^{i+1,jk}, le Koszul Q^{i0k} : HKR(2)^{i0k} ⟶ HKR(2)^{i1k} et le Hochschild d_{H}^{ijk} : HKR(2)^{ijk} ⟶ HKR(2)^{ij,k+1}.

De plus, on aura 3 opérateurs

R^{ijk} : HKR(2)^{ijk} ⟶ HKR(2)^{i+2,j−1,k}

pour (ijk) = (010), (110) ou (011), et 2 opérateurs

M^{ijk} : HKR(2)^{ijk} ⟶ HKR(2)^{i+1,j−1,k+1}

pour (ijk) = (010) ou (011).

Rez-de-chaussée.

6.2. Définissons les plongements

ι_{n} : Ω^{n} ⟶ Hom(Λ^{n−1}T, Ω)  (6.2.1)

par

ιω(τ_{1}, …, τ_{n−1}) = i_{τ_{n−1}}i_{τ_{n−2}} … i_{τ_{1}}ω  (6.2.2)

Alors, en employant la formule de Cartan et la formule i_{τ} Lie_{τ′} = Lie_{τ′}i_{τ} − i_{[τ′,τ]}, on établit sans peine que

ι_{n+1}dω = d_{Ch}ι_{n}ω + E′ω,

où d_{Ch} : Hom(Λ^{n−1}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{n}T, Ω) est la différentielle de Chevalley dans le complexe C^{·}(T, Ω), i.e.

d_{Ch}f(τ_{1}, …, τ_{n}) = ∑_{p<q} (−1)^{p+q}f([τ_{p}, τ_{q}], …, τ̂_{p}, …, τ̂_{q}, …)+

+ ∑_{p} (−1)^{p+1}τ_{p}f(τ_{1}, …, τ̂_{p}, …)  (6.2.3)

et

E′ω(τ_{1}, …, τ_{n}) = (−1)^{n}d⟨τ_{n}, ι_{n}ω(τ_{1}, …, τ_{n−1})⟩

Supposons que n est inversible dans A. Alors on peut récrire cela sous une forme plus symétrique

E′ω(τ_{1}, …, τ_{n}) = \frac{1}{n} ∑_{p=1}^{n} (−1)^{p}d⟨τ_{p}, ι_{n}ω(τ_{1}, …, τ̂_{p}, …)⟩

Ceci entraîne

6.3. Lemme. Supposons que n est inversible dans A. Définissons la flèche E : Hom(Λ^{n−1}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{n}T, Ω) par

Ef(τ_{1}, …, τ_{n}) = \frac{1}{n} ∑_{p=1}^{n} (−1)^{p}d⟨τ_{p}, f(τ_{1}, …, τ̂_{p}, …)⟩  (6.3.1)

et posons d_{DR} = d_{Ch} + E. Alors d_{DR}ι_{n} = ι_{n+1}d.

6.4. Ligne principale. Ceci justifie la définition: les différentielles de de Rham d_{DR} dans la ligne

HKR(2)^{·00} : Hom(T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{2}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{3}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{4}T, Ω)

sont définies par d_{DR} = d_{Ch} + E, où d_{Ch} est donnée par (6.2.3) et E est donnée par (6.3.1). Ici on suppose que 6 est inversible dans A. On utilisera la notation d_{DR}^{i00} pour la flèche HKR(2)^{i00} ⟶ HKR(2)^{i+1,00}.

Les inclusions ι_{n} (6.2.1) donnent lieu à l’inclusion

ι : Ω^{[2,5]} ↪ HKR(2)^{·00}  (6.4.1)

Par contre, HKR(2)^{·00} n’est pas un complexe: tandis que d_{Ch}^{2} = 0, à cause du terme E, d_{DR}^{2} ≠ 0.

6.5. Par exemple, on calcule facilement que

d_{DR}^{100}d_{DR}^{000}f(τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}) = −\frac{1}{6} Cycle_{123} \{d⟨[τ_{1}, τ_{2}], f(τ_{3})⟩ + d⟨τ_{3}, f([τ_{1}, τ_{2}])⟩\},

d’où le

6.6. Lemme. Définissons le morphisme

R^{010} : HKR(2)^{010} = Hom(S^{2}T, A) ⟶ Hom(Λ^{3}T, Ω) = HKR(2)^{200}

par

R^{010}f(τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}) = −\frac{1}{6} Cycle_{123} df([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3})

Alors d_{DR}^{100}d_{DR}^{000} = R^{010}Q^{000}, où Q^{000} est défini par (6.1.1).

6.7. Plus généralement, définissons les morphismes de Koszul

Q^{i00} : HKR(2)^{i00} = Hom(Λ^{i+1}T, Ω) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{i}T, A) = HKR(2)^{i10} (i = 0, 1, 2) par

Q^{i00}f(τ_{1}, τ_{2}; τ_{3}, …) = Sym_{12}⟨τ_{1}, f(τ_{2}, τ_{3}, …)⟩

6.8. Lemme. On a d_{DR}^{200}d_{DR}^{100} = R^{110}Q^{100}, où

R^{110} : HKR(2)^{110} = Hom(S^{2}T ⊗ T, A) ⟶ Hom(Λ^{4}T, Ω) = HKR(2)^{300} et défini par

R^{110}f(τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}, τ_{4}) = −\frac{1}{24} Alt_{1234} df([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3}; τ_{4})

6.9. Les deux différentielles de de Rham dans la ligne

HKR(2)^{·10} : Hom(S^{2}T, A) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ T, A) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{2}T, A) sont trouvées de la condition de commutativité de deux carrés: d_{DR}^{010}Q^{000} = Q^{100}d_{DR}^{000} et d_{DR}^{110}Q^{100} = Q^{200}d_{DR}^{100}. On arrive aux reponses suivantes.

Les opérateurs

d_{DR}^{i10} : Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{i}T, A) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{i+1}T, A) (i = 0, 1) sont définis par d_{DR}^{i10} = −d_{Ch}^{i10} − E^{i10}.

Ici d_{Ch}^{i10} est la différentielle de Chevalley venant de l’identification

Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{i}T, A) = Hom(Λ^{i}T, Hom(S^{2}T, A)) = C^{i}(T^{Lie}, Hom(S^{2}T, A)), l’action de T^{Lie} sur Hom(S^{2}T, A) étant définie suivant l’usage, (τf)(τ′, τ′′) = τf(τ′, τ′′) − f([τ, τ′], τ′′) − f(τ′, [τ, τ′′]).

Les opérateurs E sont définis par

E^{010}f(τ, τ′; τ_{1}) = −\frac{1}{2}Sym_{τ,τ′} τf(τ′, τ_{1})

et

E^{110}f(τ, τ′; τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{3}Sym_{τ,τ′} \{τf(τ′, τ_{1}; τ_{2}) − τf(τ′, τ_{2}; τ_{1})\}

6.10. Lemme. On a les identités d_{DR}^{110}d_{DR}^{010} = Q^{200}R^{010} et R^{110}d_{DR}^{010} = d_{DR}^{200}R^{010}. 6.11. Cela termine la définition de la partie HKR(2)^{··0}; les relations écrites

signifient que celui-la est un bicomplexe tordu.

Premier étage

6.12. Les Hochschilds (par rapport au premier argument)

d_{H}^{i00} : HKR(2)^{i00} = Hom(Λ^{i+1}T, Ω) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ Λ^{i}T, Ω) = HKR(2)^{i01} (i = 0, 1, 2) seront définis par les formules usuelles

d_{H}^{i00}f(a, τ; τ_{1}, …) = af(τ, τ_{1}, …) − f(aτ, τ_{1}, …)

Pour f ∈ Hom(T, A) = HKR(2)^{000} on calcule:

d_{H}^{100}d_{DR}^{000}f(a, τ, τ′) = −τ′d_{H}f(a, τ) + d_{H}f(τ′(a), τ) + d_{H}f(a, [τ′, τ])+

+\frac{1}{2}d⟨τ′, d_{H}f(a, τ)⟩ − \frac{1}{2}da Qf(τ, τ′)

Ceci justifie les définitions suivantes: le de Rham d_{DR}^{001} := −d_{Ch}^{001} − E^{001}, où

d_{Ch}^{001}f(a, τ, τ′) = τ′f(a, τ) − f(τ′(a), τ) − f(a, [τ′, τ])

et

E^{001}f(a, τ, τ′) = −\frac{1}{2}d⟨τ′, f(a, τ)⟩

De l’autre côté, un opérateur exotique

M^{010} : HKR(2)^{010} = Hom(S^{2}T, A) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ T, Ω) = HKR(2)^{101} sera défini par

M^{010}f(a, τ, τ′) = −\frac{1}{2}da f(τ, τ′)

Alors notre calcul signifie que

d_{H}^{100}d_{DR}^{000} = d_{DR}^{001}d_{H}^{000} + M^{010}Q^{000}

6.13. De même, le Chevalley

d_{Ch}^{101} : Hom(A ⊗ T ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

vient de l’identification Hom(A ⊗ T ⊗ Λ^{i}T, Ω) = Hom(Λ^{i}T, Hom(A ⊗ T, Ω)) = C^{i}(T^{Lie}, Hom(A ⊗ T, Ω)), explicitement,

d_{Ch}^{101}f(a; τ; τ_{1}, τ_{2}) = −f(a; τ; [τ_{1}, τ_{2}])+

+Alt_{12} {τ_{1}f(a; τ; τ_{2}) − f(τ_{1}(a); τ; τ_{2}) − f(a; [τ_{1}, τ]; τ_{2})}

On pose

E^{101}f(a; τ; τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{3} Alt_{12} d⟨τ_{1}, f(a; τ; τ_{2})⟩,

et l’on définit d_{DR}^{101} := −d_{Ch}^{101} − E^{101}.

D’un autre côté, on introduit

M^{110} : Hom(S^{2}T ⊗ T, A) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

par

M^{110}f(a; τ; τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{3} da Alt_{12} f(τ, τ_{1}; τ_{2})

Alors nous aurions

d_{H}^{200}d_{DR}^{100} = d_{DR}^{101}d_{H}^{100} + M^{110}Q^{100}

6.14. Les Hochschilds

d_{H}^{i10} : Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{i}T, A) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ T ⊗ Λ^{i}T, A)

(i = 0, 1) sont définis par d_{H}f(a; τ; τ′; …) = af(τ, τ′; …) − f(aτ, τ′; …)

Les Koszuls

Q^{i01} : Hom(A ⊗ T ⊗ Λ^{i}T, Ω) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ T ⊗ Λ^{i}T, A)

(i = 0, 1) seront définis de la commutativité Qd_{H} = d_{H}Q, ce qui donne Q^{i01}f(a; τ; τ′; …) = ⟨τ′, f(a; τ; …)⟩

6.15. Le de Rham

d_{DR}^{011} : Hom(A ⊗ T^{⊗2}, A) ⟶ Hom(A ⊗ T^{⊗2} ⊗ T, A)

est défini par d_{DR}^{011} = −d_{Ch}^{011} − E^{011}, où d_{Ch}^{011}f(a; τ, τ′; τ′′) = τ′′f(a; τ, τ′) − f(τ′′(a); τ, τ′) − f(a; [τ′′, τ], τ′) − f(a; τ, [τ′′, τ′]) et

E^{011}f(a; τ, τ′; τ′′) = −\frac{1}{2}τ′f(a; τ′, τ′′)

Ces formules sont déduites soit de la condition (a), soit de la condition (b) du lemme suivant.

6.16. Lemme. (a) Q^{101}d_{DR}^{001} = d_{DR}^{011}Q^{001}

(b) d_{H}^{110}d_{DR}^{010} = d_{DR}^{011}d_{H}^{010} + Q^{101}M^{010}

Enfin, l’opérateur R du premier étage sera défini dans le lemme ci-dessous.

6.17. Lemme. Si l’on définit la flèche

R^{011} : Hom(A ⊗ T ⊗ T, A) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

par

R^{011}f(a; τ; τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{6} d[f(a; τ; [τ_{1}, τ_{2}]) − Alt_{12} \{f(τ_{1}(a); τ; τ_{2}) + f(a; [τ_{1}, τ]; τ_{2})\}]

alors (a) d_{DR}^{101}d_{DR}^{001} = R^{011}Q^{001} et (b) d_{H}^{200}R^{010} = R^{011}d_{H}^{010} + M^{110}d_{DR}^{010} + d_{DR}^{101}M^{010} Ceci termine la définition de la partie {HKR(2)^{··i}}_{0≤i≤1} du notre tricomplexe

tordu.

Deuxième étage

6.18. Les formules sont tout à fait pareilles aux celles du premier étage.

On définit les Hochschilds:

d_{H}^{001} : Hom(A ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(A^{⊗2} ⊗ T, Ω)

par

d_{H}^{001}f(a, b; τ) = af(b; τ) − f(ab; τ) + f(a; bτ)

et

d_{H}^{101} : Hom(A ⊗ T^{⊗2}, Ω) ⟶ Hom(A^{⊗2} ⊗ T^{⊗2}, Ω)

par

d_{H}^{101}f(a, b; τ, τ′) = af(b; τ, τ′) − f(ab; τ, τ′) + f(a; bτ, τ′)

Ensuite,

M^{011} : Hom(A ⊗ T^{⊗2}, A) ⟶ Hom(A^{⊗2} ⊗ T^{⊗2}, Ω)

est défini par

M^{011}f(a, b; τ, τ′) = −\frac{1}{2}da f(b; τ, τ′)

Le de Rham

d_{DR}^{002} : Hom(A^{⊗2} ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(A^{⊗2} ⊗ T^{⊗2}, Ω)

sera défini par d_{DR}^{002} = −d_{Ch}^{002} − E^{002}, où

d_{Ch}^{002}f(a, b; τ, τ′) = τ′f(a, b; τ) − f(τ′(a), b; τ) − f(a, τ′(b); τ) − f(a, b; [τ′, τ])

et

E^{002}f(a, b; τ, τ′) = −\frac{1}{2}d⟨τ′, f(a, b; τ)⟩

Alors on aura

6.19. Lemme. (a) d_{H}^{101}d_{DR}^{001} = d_{DR}^{002}d_{H}^{001} + M^{011}Q^{001}

(b) d_{H}^{101}M^{010} = −M^{011}d_{H}^{010}

6.20. On définit le Hochschild

d_{H}^{011} : Hom(A ⊗ T^{⊗2}, A) ⟶ Hom(A^{⊗2} ⊗ T^{⊗2}, A)

par

d_{H}^{011}f(a, b; τ, τ′) = af(b; τ, τ′) − f(ab; τ, τ′) + f(a; bτ, τ′)

et le Koszul

Q^{002} : Hom(A^{⊗2} ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(A^{⊗2} ⊗ T^{⊗2}, Ω)

par

Q^{002}f(a, b; τ, τ′) = ⟨τ′, f(a, b; τ)⟩

Alors on aura Q^{002}d_{H}^{001} = d_{H}^{011}Q^{001}.

Troisième étage

6.21. Enfin, le Hochschild

d_{H}^{002} : Hom(A^{⊗2} ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(A^{⊗3} ⊗ T, Ω)

est défini par la formule usuelle

d_{H}^{002}f(a, b, c; τ) = af(b, c; τ) − f(ab, c; τ) + f(a, bc; τ) − f(a, b; cτ) Pour tous les Hochschilds, on a évidemment d_{H}^{2} = 0.

Ceci termine la définition du tricomplexe tordu HKR(2)^{···}, avec d′ = d_{DR}, d′′ = Q et d′′′ = d_{H}.

Attention: notre de Rham est −d_{DR} de [S], nos d_{H}^{··0} sont −d_{H} de [S], et notre M^{011} et −M de [S]; les autres morphismes sont les mêmes.

Le plongement ι (6.1.2) est induit par (6.4.1). Son image Im ι = Ker d_{H}^{·00} ∩ Ker Q^{·00}

§7. Structures vertex

Dans 7.1 - 7.3 on réproduit les considérations de [S], Finale. Pour les détails de calculs, voir op. cit.

7.1. Cocycle ϵ_{2}. Définissons des éléments suivants: ϵ_{2}^{002} ∈ HKR(2)^{002} = Hom(A^{⊗2} ⊗ T, Ω) par

ϵ_{2}^{002}(a, b; τ) = −τ(a)db − τ(b)da;

ϵ_{2}^{011} ∈ HKR(2)^{011} = Hom(A ⊗ T^{⊗2}, A) par

ϵ_{2}^{011}(a; τ, τ′) = ττ′(a)

et ϵ_{2}^{101} ∈ HKR(2)^{101} = Hom(A ⊗ T^{⊗2}, Ω) par

ϵ_{2}^{101}(a; τ, τ′) = \frac{1}{2}dττ′(a)

Posons ϵ_{2} = (ϵ_{2}^{002}, ϵ_{2}^{011}, ϵ_{2}^{101}) ∈ HKR(2)^{2}.

7.2. Théorème. d_{HKR} ϵ_{2} = 0.

Cette assertion est équivalente aux cinq identités:

d_{H}ϵ_{2}^{002} = 0  (B1)
Qϵ_{2}^{002} − d_{H}ϵ_{2}^{011} = 0  (B2)
d_{DR}ϵ_{2}^{002} − d_{H}ϵ_{2}^{101} + Mϵ_{2}^{011} = 0  (B3)
d_{DR}ϵ_{2}^{011} − Qϵ_{2}^{101} = 0  (B4)

et

d_{DR}ϵ_{2}^{101} − Rϵ_{2}^{011} = 0,  (B5)

qui se vérifient très facilement.

7.3. Une structure vertex sur T est un cochaîne v ∈ HKR(2)^{1} telle que d_{HKR} v = ϵ_{2}.

En composantes, v = (v^{001}, v^{010}, v^{100}). Introduisons les notations γ = v^{001} ∈ Hom(A ⊗ T, Ω), ⟨, ⟩ = −v^{010} ∈ Hom(S^{2}T, A) et c = v^{100} ∈ Hom(Λ^{2}T, Ω). Alors l’axiome de structure vertex est équivalent à cinq identités (A1) - (A5) ci-dessous.

d_{H}γ = ϵ_{2}^{002}  (A1)
d_{H}⟨, ⟩ + Qγ = ϵ_{2}^{011}  (A2)
−d_{H}c − M⟨, ⟩ + d_{DR}γ = ϵ_{2}^{101}  (A3)
d_{DR}⟨, ⟩ + Qc = 0  (A4)

et

d_{DR}c + R⟨, ⟩ = 0  (A5)

On voit aussitôt que ces axiomes coïncident avec les axiomes (A1) - (A5) de [GMS], 1.4.

De même, un morphisme h : v ⟶ v′ de deux structures vertex est une cochaîne h ∈ HKR(2)^{0} = Hom(T, Ω) telle que d_{HKR} h = v′ − v. On voit que ceci coïncide avec la notion introduite dans op. cit., 3.5 (avec g_{A}, g_{T} , g_{Ω} étant les morphismes identiques).

7.4. Fixons une base abélienne 𝔟 = {τ_{i}} de T. Définissons ⟨, ⟩_{𝔟} ∈ Hom(S^{2}T, A) par

⟨aτ_{i}, bτ_{j}⟩_{𝔟} = −τ_{j}(a)τ_{i}(b)

Il existe l’unique γ_{𝔟} ∈ Hom(A ⊗ T, Ω) quie vérifie l’axiome (A2) avec ce ⟨, ⟩_{𝔟}. En effet, (A2) s’ecrit explicitement comme

⟨γ_{𝔟}(a, τ), τ′⟩ = ⟨aτ, τ′⟩_{𝔟} − a⟨τ, τ′⟩_{𝔟} + ττ′(a),  (A2)

qui nous donne

γ_{𝔟}(b, aτ_{i}) = a dτ_{i}(b)

De même, il existe l’unique c_{𝔟} ∈ Hom(Λ^{2}T, Ω) tel que c_{𝔟}(τ_{i}, τ_{j}) = 0 pour tous i, j et satisfait à l’axiome (A3). Il est donné par la formule

c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}) = \frac{1}{2} Alt_{aτ_{i},bτ_{j}} τ_{i}(b)dτ_{j}(a)

7.5. Théorème. Le triple v_{𝔟} = (γ_{𝔟}, −⟨, ⟩_{𝔟}, c_{𝔟}) est une structure vertex. On rémarque que la structure vertex v_{𝔟} diffère de celle utilisée dans [GMS], 5.7;

notre v_{𝔟} est plus simple. Nous laissons la preuve de 7.5 au lecteur.

7.6. Soient 𝔟 = {τ_{i}}, 𝔟′ = {τ′_{i}}, 𝔟′′ = {τ′′_{j}} trois bases abéliennes, 𝔟′ = ϕ𝔟, 𝔟′′ = ψ𝔟′, ϕ, ψ ∈ GL_{n}(A).

On définit un élément h_{𝔟𝔟′} ∈ Hom(T, Ω) = HKR(2)^{0} par

h_{𝔟𝔟′}(aτ′_{i}) = \frac{1}{2}tr\{ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\} + [dϕ ϕ^{−1}]^{ip}τ′_{p}(a)

Rappelons les composantes de la deuxième forme de Chern - Simons (cf. 3.8):

β^{11}(ϕ) = \frac{1}{6}tr\{ℓ(ϕ)^{3}\}; β^{02}(ψ, ϕ) = \frac{1}{2}tr\{ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)\},

où ℓ(ϕ) = ϕ^{−1}dϕ, ℓ(ψ)^{ϕ} = ψ^{−1}ℓ(ϕ)ψ.

Le théorème ci-dessous réproduit le résultat principal de [GMS]: Théorème 5.14. 7.7. Théorème. (a) d_{DR}h_{𝔟𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = c_{𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j})−c_{𝔟}(aτ′_{i}, bτ′_{j})−⟨bτ′_{j}, ⟨aτ′_{i}, β^{11}(ϕ)⟩⟩ (b) ⟨aτ′_{i}, h_{𝔟𝔟′}(bτ′_{j})⟩ + ⟨bτ′_{j}, h_{𝔟𝔟′}(aτ′_{i})⟩ = ⟨aτ′_{i}, bτ′_{j}⟩_{𝔟} − ⟨aτ′_{i}, bτ′_{j}⟩_{𝔟′}

(c) ah_{𝔟𝔟′}(bτ′_{j}) − h_{𝔟𝔟′}(abτ′_{j}) = γ_{𝔟′}(a, bτ_{j}) − γ_{𝔟}(a, bτ_{j})

(d) h_{𝔟′,𝔟′′}(aτ′′_{i}) − h_{𝔟,𝔟′′}(aτ′′_{i}) + h_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}) = −⟨aτ′′_{i}, β^{02}(ψ, ϕ)⟩ On peut démontrer ce théorème par la méthode de [GMS], ou bien faire la

vérification directe. Nous laissons les détails comme un exercice au lecteur.

7.8. Considérons le bicomplexe de Čech Č^{·}(𝔅, HKR(2)^{·}) où le degré de Čech est le premier et le complexe simple associé Č^{·}(𝔅, HKR(2)).

Le composé

Ω^{[2,3⟩} ↪ Ω^{[2,5]} ⟶^{ι} HKR(2)

induit le morphisme canonique

μ : CS(2) = C^{·}(GL_{n}(A), Ω^{[2,3⟩}) ⟶ Č^{·}(𝔅, HKR(2))

Posons v = {v_{𝔟}} ∈ Č^{0}(𝔅; HKR(2)^{1}); h = {h_{𝔟𝔟′}} ∈ Č^{1}(𝔅; HKR(2)^{0}). Alors le théorème précédent se recrit 7.9. Théorème. (a) d_{HKR}h − d_{c}v = −μ(β^{11})

(b) d_{c}h = −μ(β^{02})

De plus, on a comme d’habitude le morphisme d’augmentation δ : HKR(2) ⟶ Č^{·}(𝔅; HKR(2)), et 7.5 signifie que d_{HKR}v = δ(ϵ_{2}).

Définissons le complexe

ĈS(2) = Cone {(μ, δ) : CS(2) ⊕ HKR(2) ⟶ Č^{·}(𝔅; HKR(2))[−1]},

cf. (5.6.2). On a le morphisme canonique de complexes π : ĈS(2) ⟶ CS(2).

On définit

v̂ = (v, h) ∈ Č^{1}(𝔅; HKR(2))

Toute l’information précédente est rassemblée dans

7.10. Théorème. La cochaîne β̂_{2} = (β_{2}, −ϵ_{2}, v̂) ∈ ĈS(2)^{2} est un cocycle tel que π(β̂_{2}) = β_{2}.

§8. Structures prémembranaires

8.1. Complexes de Koszul. Le n-ième complexe de Koszul K(n) = {K(n)^{i}} est concentré en degrés 0 ≤ i ≤ n − 1

K(n)^{·} : Hom(T, Ω^{n−1}) ⟶ Hom(S^{2}T, Ω^{n−2}) ⟶ … ⟶ Hom(S^{n}T, A),

i.e. K(n)^{i} = Hom(S^{i−1}T, Ω^{n−i+1}). Les différentielles Q : K(n)^{i} ⟶ K(n)^{i+1} sont définis par

Qf(τ_{1}, …, τ_{i}) = ∑_{p=1}^{i} ⟨τ_{p}, f(τ_{1}, …, τ̂_{p}, …)⟩

Il est clair que Q^{2} = 0.

8.2. Complexes de Hochschild - Koszul. Le n-ième bicomplexe de Hochschild - Koszul HK(n)^{··} = {HK(n)^{ij}} habite en degrés 0 ≤ i ≤ n−1, j ≥ 0. Par définition, la 0-ième ligne HK(n)^{i0} coïncide avec K(n).

Les colonnes sont le complexes de Hochschild par rapport au premier argument:

HK(n)^{i·} : Hom(S^{i−1}T, Ω^{n−i+1}) ⟶ Hom(A ⊗ T ⊗ S^{i−2}T, Ω^{n−i+1}) ⟶ …

⟶ Hom(A^{⊗j} ⊗ T ⊗ S^{i−2}T, Ω^{n−i+1}) …,

les différentielles verticales étant les Hochschilds usuels:

d_{H}f(a_{1}, …, a_{j}; τ; …) = a_{1}f(a_{2}, …, a_{j}; τ; …)+∑_{p=1}^{j−1} (−1)^{p}f(…, a_{p}a_{p+1}, …; τ; …)+

+(−1)^{j}f(a_{1}, …, a_{j−1}; a_{j}τ; …)

Par contre, les différentielles horisontales dans la j-ième ligne HK(n)^{·j}, j > 0, sont les Koszuls suivants:

Qf(a_{1}, …, a_{j}; τ; τ_{1}, …, τ_{i}) = ∑_{p=1}^{i} ⟨τ_{p}, f(a_{1}, …, a_{j}; τ; τ_{1}, …, τ̂_{p}, …)⟩

On vérifie sans peine que d_{H}Q = Qd_{H}. Donc le premier degré est de Koszul, et le deuxième est de Hochschild.

Le complexe simple associé sera désigné par HK(n) = {HK(n)^{i}}.

En effet, désormais on ne sera interessé qu’en troisième complexe HK(3). On suppose dans cette section et dans la section suivante que 6 est inversible dans l’anneau de base k.

8.3. Cocycle ϵ_{3}^{HK}. Définissons les éléments: ϵ ∈ Hom(A ⊗ T ⊗ S^{2}T, A) = HK(3)^{21} par

ϵ(a; τ; τ′, τ′′) = \frac{1}{2} Sym_{τ′,τ′′} ττ′τ′′(a),

ϵ′ ∈ Hom(A^{⊗2} ⊗ T^{⊗2}, Ω) = HK(3)^{12} par

ϵ′(a, b; τ; τ′) = − Sym_{a,b} \{\frac{1}{2}τ(a) dτ′(b) + ττ′(a) db\}

et ϵ′′ = Hom(A^{⊗3} ⊗ T, Ω^{2}) = HK(3)^{03} par

ϵ′′(a, b, c; τ) = τ(b) dadc + \frac{1}{2}τ(c) dadb + \frac{1}{2}τ(a) dbdc

On les rassemble en

ϵ_{3}^{HK} = (−ϵ′′, −ϵ′, ϵ) ∈ HK(3)^{3}

8.4. Théorème. d_{HK}(ϵ_{3}^{HK}) = 0.

En effet, on commence de l’élément ϵ ”bien naturel”. Après on trouve ϵ′ de la condition

d_{H}ϵ = Qϵ′  (8.4.1)

Ensuite, on trouve ϵ′′ de la condition

d_{H}ϵ′ = Qϵ′′  (8.4.2)

Enfin, on vérifie que

d_{H}ϵ′′ = 0  (8.4.3)

Les trois équations (8.4.1) - (8.4.3) sont équivalentes à l’assertion du théorème. Pour les détails, voir 8.7 - 8.9.

Une structure prémembranaire sur T est une cochaîne m = (m^{02}, m^{11}, m^{20}) ∈ HK(3)^{2} telle que d_{HK}m = ϵ_{3}^{HK}.

8.5. Fixons une base abélienne 𝔟 = {τ_{i}} de T. Considérons un élément ρ_{𝔟} ∈ Hom(T^{⊗3}, A):

ρ_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = τ_{k}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c)  (8.5.1)

Manifestement, il possède la symétrie cyclique: ρ_{𝔟}(τ, τ′, τ′′) = ρ_{𝔟}(τ′, τ′′, τ). Donc, si l’on définit {, , }_{𝔟} par

\{τ, τ′, τ′′\}_{𝔟} = −\frac{1}{2} Sym_{τ′,τ′′} ρ_{𝔟}(τ, τ′, τ′′),  (8.5.2)

cet élément appartiendra à Hom(S^{3}T, A) = HK(3)^{20}.

De plus, on introduit deux éléments suivants: γ_{𝔟} ∈ Hom(A⊗T^{⊗2}, Ω) = HK(3)^{11},

γ_{𝔟}(a; bτ_{j}, cτ_{k}) = −\frac{1}{2} [b dτ_{j}\{cτ_{k}(a)\} + bτ_{j}(c) dτ_{k}(a)]  (8.5.3)

et γ′_{𝔟} ∈ Hom(A^{⊗2} ⊗ T, Ω^{2}) = HK(3)^{02},

γ′_{𝔟}(a, b; cτ_{k}) = \frac{1}{2} Sym_{a,b} da c dτ_{k}(b)  (8.5.4)

On les rassemble en

m_{𝔟} = (−γ′_{𝔟}, −γ_{𝔟}, {, , }_{𝔟}) ∈ HK(3)^{2}

8.6. Théorème. m_{𝔟} est une structure prémembranaire.

En effet, on commence de l’élément {, , }_{𝔟} ”bien naturel”. Après on trouve γ_{𝔟} de l’équation

d_{H}{, , }_{𝔟} = ϵ + Qγ_{𝔟}  (8.6.1)

Ensuite, on trouve γ′_{𝔟} de la condition

d_{H}γ_{𝔟} = −ϵ′ + Qγ′_{𝔟}  (8.6.2)

Enfin, on vérifie que

d_{H}γ′_{𝔟} = ϵ′′  (8.6.3)

Les trois équations ci-dessus sont équivalentes à 8.6. Pour les détails, cf. 8.10 - 8.12.

Preuve du théorème 8.4.

8.7. Preuve de (8.4.1). On a

d_{H}ϵ(a, b; τ; τ′, τ′′) = aϵ(b; τ; τ′, τ′′) − ϵ(ab; τ; τ′, τ′′) + ϵ(a; bτ; τ′, τ′′),

où

aϵ(b; τ; τ′, τ′′) = \frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′} aττ′τ′′(b);

−ϵ(ab; τ; τ′, τ′′) = −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′} ττ′τ′′(ab) =

= −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′} τ\{τ′τ′′(a)b + τ′(a)τ′′(b) + τ′′(a)τ′(b) + aτ′τ′′(b)\} =

= −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′} τ\{τ′τ′′(a)b + 2τ′(a)τ′′(b) + aτ′τ′′(b)\} =

et

ϵ(a; bτ; τ′, τ′′) = \frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′} bττ′τ′′(a),

d’où

d_{H}ϵ(a, b; τ; τ′, τ′′) = −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}\{τ′τ′′(a)τ(b)+τ′τ′′(b)τ(a)+2ττ′(a)τ′′(b)+2ττ′(b)τ′′(a) =

= −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}Sym_{a,b}\{τ′τ′′(a)τ(b) + 2ττ′′(a)τ′(b)\} =

= −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}Sym_{a,b}⟨τ′, τ(a)dτ′′(b) + 2ττ′′(a)db⟩ = Qϵ′(a, b; τ; τ′, τ′′)

8.8. Preuve de (8.4.2). On a ϵ′ = ϵ′_{1} + ϵ′_{2}, où

ϵ′_{1}(a, b; τ; τ′) = −{ττ′(a)db + ττ′(b)da}

et

ϵ′_{2}(a, b; τ; τ′) = −\frac{1}{2}\{τ(a)dτ′(b) + τ(b)dτ′(a)\}

Alors d_{H}ϵ′_{1}(a, b, c; τ; τ′) = aϵ′_{1}(b, c; τ; τ′) − ϵ′_{1}(ab, c; τ; τ′) + ϵ′_{1}(a, bc; τ; τ′) − ϵ′_{1}(a, b; cτ; τ′), où

aϵ′_{1}(b, c; τ; τ′) = −a{ττ′(b)dc + ττ′(c)db};
−ϵ′_{1}(ab, c; τ; τ′) = ττ′(ab)dc + ττ′(c)d(ab) =
= {ττ′(a)b + τ(a)τ′(b) + τ′(a)τ(b) + aττ′(b)}dc+
+ττ′(c){da b + adb};
ϵ′_{1}(a, bc; τ; τ′) = −{ττ′(a)d(bc) + ττ′(bc)da} =
= −ττ′(a){db c + bdc}−
−{ττ′(b)c + τ(b)τ′(c) + τ′(b)τ(c) + bττ′(c)}da

et

−ϵ′_{1}(a, b; cτ; τ′) = cττ′(a)db + cττ′(b)da

Il en decoule que

d_{H}ϵ′_{1}(a, b, c; τ; τ′) = −{τ(a)τ′(b) + τ′(a)τ(b)}dc − {τ(b)τ′(c) + τ′(b)τ(c)}da (8.8.1)

De même, d_{H}ϵ′_{2}(a, b, c; τ; τ′) = aϵ′_{2}(b, c; τ; τ′) − ϵ′_{2}(ab, c; τ; τ′) + ϵ′_{2}(a, bc; τ; τ′) − ϵ′_{2}(a, b; cτ; τ′), où

aϵ′_{2}(b, c; τ; τ′) = −\frac{1}{2}\{aτ(b)dτ′(c) + aτ(c)dτ′(b)\};

−ϵ′_{2}(ab, c; τ; τ′) = \frac{1}{2}\{τ(ab)dτ′(c) + τ(c)dτ′(ab)\} =

= \frac{1}{2}\{τ(a)b + aτ(b)\}dτ′(c)+

+\frac{1}{2}τ(c)\{dτ′(a)b + da τ′(b) + db τ′(a) + adτ′(b)\};

ϵ′_{2}(a, bc; τ; τ′) = −\frac{1}{2}\{τ(a)dτ′(bc) + τ(bc)dτ′(a)\} =

= −\frac{1}{2}τ(a)\{dτ′(b)c + db τ′(c) + dc τ′(b) + bdτ′(c)\}−

−\frac{1}{2}\{τ(b)c + bτ(c)\}dτ′(a)

et

−ϵ′_{2}(a, b; cτ; τ′) = \frac{1}{2}c\{τ(a)dτ′(b) + τ(b)dτ′(a)\}

Donc

d_{H}ϵ′_{2}(a, b, c; τ; τ′) = \frac{1}{2}τ(c)\{τ′(a)db + τ′(b)da\}−

−\frac{1}{2}τ(a)\{τ′(b)dc + τ′(c)db\}  (8.8.2)

En ajoutant (8.8.1) avec (8.8.2), on obtient

d_{H}ϵ′(a, b, c; τ; τ′) = τ′(a)τ(b)dc − τ(b)τ′(c)da+

+\frac{1}{2}\{τ(c)τ′(a)db − τ′(b)τ(c)da\}\}+

+\frac{1}{2}\{τ′(b)τ(a)dc − τ(a)τ′(c)db\} =

= ⟨τ′, τ(b)dadc + \frac{1}{2}τ(c)dadb + \frac{1}{2}τ(a)dbdc⟩ = Qϵ′′(a, b, c; τ; τ′),

cqfd.

8.9. Preuve de (8.4.3). Par définition,

ϵ′′(a, b, c; τ) = τ(b)dadc + \frac{1}{2}τ(c)dadb + \frac{1}{2}τ(a)dbdc =

= ϵ′′_{1}(a, b, c; τ) + \frac{1}{2}\{ϵ′′_{2}(a, b, c; τ) + ϵ′′_{3}(a, b, c; τ)\}

Calculons les différentielles de Hochschild. On a

d_{H}ϵ′′_{1}(a, b, c, e; τ) =

= aϵ′′_{1}(b, c, e; τ) − ϵ′′_{1}(ab, c, e; τ) + ϵ′′_{1}(a, bc, e; τ) − ϵ′′_{1}(a, b, ce; τ) + ϵ′′_{1}(a, b, c; eτ) =

= aτ(c)dbde − τ(c){da b + adb}de+ +{τ(b)c + bτ(c)}dade − τ(b)da{dc e + cde}+

+aτ(b)dadc = 0

De même, on vérifie aussitôt que d_{H}ϵ′′_{2} = d_{H}ϵ′′_{3} = 0, d’où d_{H}ϵ′′ = 0. Ceci achève la démonstration du théorème 8.4.

Preuve du théorème 8.6.

8.10. Preuve de (8.6.1). On a

ρ_{𝔟}(eaτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) − eρ_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) =

= τ_{i}(b)τ_{j}(c){τ_{k}(ea) − eτ_{k}(a)} = aτ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)

D’autre part,

aτ_{i}bτ_{j}cτ_{k}(e) = abτ_{i}τ_{j}cτ_{k}(e) + aτ_{i}(b)τ_{j}cτ_{k}(e),

où

abτ_{i}τ_{j}cτ_{k}(e) = ⟨bτ_{j}, adτ_{i}{cτ_{k}(e)}⟩

et

aτ_{i}(b)τ_{j}cτ_{k}(e) = aτ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e) + acτ_{i}(b)τ_{j}τ_{k}(e) =
= aτ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e) + ⟨cτ_{k}, aτ_{i}(b)dτ_{j}(e)⟩,

donc

aτ_{i}bτ_{j}cτ_{k}(e) = aτ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)+
+⟨bτ_{j}, adτ_{i}{cτ_{k}(e)}⟩ + ⟨cτ_{k}, aτ_{i}(b)dτ_{j}(e)⟩

Par définition,

\{τ, τ′, τ′′\}_{𝔟} = −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}ρ_{𝔟}(τ, τ′, τ′′)

Donc

d_{H}{e; aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}}_{𝔟} = e{aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}}_{𝔟} − {eaτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}}_{𝔟} =

= \frac{1}{2}Sym_{bτ_{j},cτ_{k}}\{aτ_{i}bτ_{j}cτ_{k}(e) − ⟨bτ_{j}, adτ_{i}\{cτ_{k}(e)\} + aτ_{i}(b)dτ_{j}(e)⟩\} =

= ϵ(e; aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) + Qγ_{𝔟}(e; aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}),

cqfd.

8.11. Preuve de (8.6.2). Calculons la différentielle de Hochschild d_{H}γ_{𝔟}. On a

γ_{𝔟}(a; bτ_{j}, cτ_{k}) = −\frac{1}{2}\{bdτ_{j}\{cτ_{k}(a)\} + bτ_{j}(c)dτ_{k}(a)\} =

= γ_{𝔟}^{1}(a; bτ_{j}, cτ_{k}) + γ_{𝔟}^{2}(a; bτ_{j}, cτ_{k})

Donc

d_{H}γ_{𝔟}^{1}(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}) = aγ_{𝔟}^{1}(b; cτ_{k}, eτ_{l}) − γ_{𝔟}^{1}(ab; cτ_{k}, eτ_{l}) + γ_{𝔟}^{1}(a; bcτ_{k}, eτ_{l}),

où

aγ_{𝔟}^{1}(b; cτ_{k}, eτ_{l}) = −\frac{1}{2}acdτ_{k}\{eτ_{l}(b)\};

−γ_{𝔟}^{1}(ab; cτ_{k}, eτ_{l}) = \frac{1}{2}cdτ_{k}\{eτ_{l}(ab)\} =

= \frac{1}{2}cdτ_{k}\{e[τ_{l}(a)b + aτ_{l}(b)]\}

et

γ_{𝔟}^{1}(a; bcτ_{k}, eτ_{l}) = −\frac{1}{2}bcdτ_{k}\{eτ_{l}(a)\},

d’où

d_{H}γ_{𝔟}^{1}(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}) = \frac{1}{2}Sym_{a,b}\{−acdτ_{k}\{eτ_{l}(b)\} + cdτ_{k}\{aeτ_{l}(b)\}\} =

= \frac{1}{2}Sym_{a,b}\{d\{eτ_{l}(a)\}cτ_{k}(b) + cτ_{k}eτ_{l}(a)db + eτ_{l}(a)cdτ_{k}(b)\}

De même,

d_{H}γ_{𝔟}^{2}(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}) = \frac{1}{2}Sym_{a,b} cτ_{k}(e)τ_{l}(a)db =

= \frac{1}{2}Sym_{a,b}\{cτ_{k}eτ_{l}(a)db − ecτ_{k}τ_{l}(a)db\}

Ceci entraîne

d_{H}γ_{𝔟}(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}) = A + B,  (8.11.1)

où

A = Sym_{a,b}\{cτ_{k}eτ_{l}(a)db + \frac{1}{2}d\{eτ_{l}(a)\}cτ_{k}(b)\}

et

B = \frac{1}{2}Sym_{a,b}\{eτ_{l}(a)cdτ_{k}(b) − ecτ_{k}τ_{l}(a)db\} =

= \frac{1}{2}Sym_{a,b}⟨eτ_{l}, da cdτ_{k}(b)⟩

On a

ϵ′(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}) = −Sym_{a,b}\{\frac{1}{2}cτ_{k}(a)d\{eτ_{l}(b)\} + cτ_{k}eτ_{l}(a)db\} = −A

Donc (8.11.1) se récrit

d_{H}γ_{𝔟}(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}) = −ϵ′(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}) + ⟨eτ_{l}, γ′_{𝔟}(a, b; cτ_{k})⟩ = −ϵ′(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}) + Qγ′_{𝔟}(a, b; cτ_{k}, eτ_{l}),

c’est ce qui est l’identité (8.6.2).

8.12. Preuve de (8.6.3). On écrit

γ′_{𝔟}(a, b; cτ_{k}) = \frac{1}{2}\{da cdτ_{k}(b) + db cdτ_{k}(a)\} = γ_{𝔟}^{1}(a, b; cτ_{k}) + γ_{𝔟}^{2}(a, b; cτ_{k})

Calculons la différentielle de Hochschild d_{H}γ_{𝔟}^{1}. On a

d_{H}γ_{𝔟}^{1}(a, b, c; eτ_{l}) =

= aγ_{𝔟}^{1}(b, c; eτ_{l}) − γ_{𝔟}^{1}(ab, c; eτ_{l}) + γ_{𝔟}^{1}(a, bc; eτ_{l}) − γ_{𝔟}^{1}(a, b; ceτ_{l}),

où

aγ_{𝔟}^{1}(b, c; eτ_{l}) = \frac{1}{2}adb edτ_{l}(c);

−γ_{𝔟}^{1}(ab, c; eτ_{l}) = −\frac{1}{2}d(ab)edτ_{l}(c) = −\frac{1}{2}\{da b + adb\}edτ_{l}(c);

γ_{𝔟}^{1}(a, bc; eτ_{l}) = \frac{1}{2}da edτ_{l}(bc) = \frac{1}{2}da e\{dτ_{l}(b)c + db τ_{l}(c) + τ_{l}(b)dc + bdτ_{l}(c)\}

et

−γ_{𝔟}^{1}(a, b; ceτ_{l}) = −\frac{1}{2}da cedτ_{l}(b),

Après la sommation les termes du second ordre disparaîssent, et l’on obtient

d_{H}γ_{𝔟}^{1}(a, b, c; eτ_{l}) = \frac{1}{2}\{dadb eτ_{l}(c) + dadc eτ_{l}(b)\}

De même, on calcule

d_{H}γ_{𝔟}^{2}(a, b, c; eτ_{l}) = −\frac{1}{2}\{dcda eτ_{l}(b)+dcdb eτ_{l}(a)\} = \{d_{H}γ_{𝔟}^{1}(a, b, c; eτ_{l})\}_{(a→c;c→b;b→a)}

En ajoutant,

d_{H}γ′_{𝔟}(a, b, c; eτ_{l}) = dadc eτ_{l}(b) + \frac{1}{2}\{dadb eτ_{l}(c) + dbdc eτ_{l}(a)\} =

= ϵ′′(a, b, c; eτ_{l}),

cqfd. Cela achève la preuve de (8.6.1) - (8.6.3) et du théorème 8.6.

§9. Troisième cocycle de Chern - Hodge raffiné

9.1. Maintenant considérons le tricomplexe Č^{·}(𝔅; HK(3)^{··}), le degré de Koszul étant le premier, le degré de Hochschild étant le deuxième et le degré de Čech étant le troisième. On désigne par Č^{·}(𝔅; HK(3)) le complexe simple associé.

On a, comme d’habitude, le morphisme d’augmentation

δ : HK(3) ⟶ Č^{·}(𝔅; HK(3))

De plus, on considère Ω^{3} comme un sous-module de Hom(T, Ω^{2}) = HK(3)^{00} par la règle usuelle: on associe à une forme ω ∈ Ω^{3} la flèche ιω : T ⟶ Ω^{2}, ιω(τ) = i_{τ} ω, dù l’inclusion

ι : Ω^{3} ↪ HK(3),

d’où le morphisme

μ : C^{·}(GL_{n}(A), Ω^{3}) ⟶ Č^{·}(𝔅; HK(3))

Rappelons la forme β_{3}^{CH} := β^{03} ∈ Z^{3}(GL_{n}(A), Ω^{3}),

β_{3}^{CH}(χ, ψ, ϕ) = \frac{1}{6} tr\{ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)\},

cf. 3.11. On l’appele le troisième cocycle de Chern - Hodge, puisqu’il définit le troisième caractère de Chern style Hodge.

9.2. On considère la collection m = {m_{𝔟}} construite dans 8.5 ci-dessus comme une cochaîne m̂^{··0} ∈ Č^{0}(𝔅; HK(3)^{··}), avec les composantes (m̂^{020}, m̂^{110}, m̂^{200}) = (−γ′, −γ, {, , }).

9.3. Soient 𝔟 = {τ_{i}}, 𝔟′ = {τ′_{i}} ∈ 𝔅, 𝔟′ = ϕ𝔟. On définit l’élément −h_{𝔟𝔟′} = m̂_{𝔟𝔟′}^{101} ∈ Hom(S^{2}T, Ω) = HK(3)^{10} par

−h_{𝔟𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = m̂_{𝔟𝔟′}^{101}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) =

= − Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} [\frac{1}{6} tr\{ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}+

+\frac{1}{2} [dϕ ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp} τ′_{p}(b) + \frac{1}{2} [dϕ ϕ^{−1}]^{jp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)]  (9.3.1)

Ensuite, on définit l’élément Γ_{𝔟𝔟′} = m̂_{𝔟𝔟′}^{011} ∈ Hom(A ⊗ T, Ω^{2}) = HK(3)^{01} par

Γ_{𝔟𝔟′}(a; bτ′_{j}) = m̂_{𝔟𝔟′}^{011}(a; bτ′_{j}) = \frac{1}{2} b dϕ^{jp} dτ_{p}(a)  (9.3.2)

Cela fournit une cochaîne m̂^{··1} = (m̂_{𝔟𝔟′}^{011}, m̂_{𝔟𝔟′}^{101}) ∈ Č^{1}(𝔅; HK(3)^{··})

9.4. Soit 𝔟′′ = {τ′′_{i}} ∈ 𝔅, 𝔟′′ = ψ𝔟′. Définissons un élément −H_{𝔟𝔟′𝔟′′} = m̂_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{002} ∈ Hom(T, Ω^{2}) = HK(3)^{00} par

−H_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}) = m̂_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{002}(aτ′′_{i}) =

= − \frac{1}{6}a tr\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}+

+ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ϕ)\} − \frac{1}{2} [dψ dϕ]^{ip}τ_{p}(a)  (9.4.1)

Rappelons que ℓ(ϕ) := ϕ^{−1}dϕ, ℓ′′_{i}(ψ) := ψ^{−1}τ′′_{i}(ψ) et x^{ϕ} := ϕ^{−1}xϕ.

Cela fournit une cochaîne m̂^{··2} = (m̂_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{002}) ∈ Č^{2}(𝔅; HK(3)^{··}).

En rassemblant, on définit la 2-cochaîne

m̂^{HK} = (m^{··0}, m^{··1}, m^{··2}) ∈ Č^{2}(𝔅; HK(3))

9.5. Théorème. Si l’on désigne par d_{CHK} la différentielle totale dans Č^{·}(𝔅; HK(3)), on aura d_{CHK}(m̂^{HK}) = δ(ϵ_{3}^{HK}) + μ(β_{3}^{CH}).

En effet, on trouve h_{𝔟𝔟′} de la condition

d_{c}{, , }_{𝔟𝔟′} = Qh_{𝔟𝔟′}  (9.5.1)

Après on trouve H_{𝔟𝔟′𝔟′′} de la condition

d_{c}h_{𝔟𝔟′𝔟′′} = QH_{𝔟𝔟′𝔟′′}  (9.5.2)

Ensuite, on vérifie que

d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′} = −ιβ_{3}^{CH}(χ, ψ, ϕ)  (9.5.3)

(où 𝔟′′′ = χ𝔟′′). Cela fournit la partie Koszul - Čech de notre cocycle.

Ensuite, on trouve Γ_{𝔟𝔟′} de la condition

d_{c}γ′_{𝔟𝔟′} = d_{H}Γ_{𝔟𝔟′}  (9.5.4)

Enfin, on vérifie que

d_{c}Γ_{𝔟𝔟′𝔟′′} = −d_{H}H_{𝔟𝔟′𝔟′′}  (9.5.5)

et

−d_{c}γ_{𝔟𝔟′} + QΓ_{𝔟𝔟′} + d_{H}h_{𝔟𝔟′} = 0  (9.5.6)

Les relations (9.5.1) - (9.5.6), combinées avec 8.6, sont équivalentes à notre théorème. Les détails seront donnés dans 9.6 - 9.31 ci-dessous.

Cela est analogue, en dimension 3, de [GMS], 5.10 - 5.13. En langage ”catégorique”, les structures prémembranaires forment une ”2-gerbe” lié par Ω^{3}, dont la classe est representée par la forme β_{3}^{CH}.

Preuve de (9.5.1).

9.6. Calculons

ρ_{𝔟}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) − ρ_{𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}),

On a

ρ_{𝔟}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = ρ_{𝔟}(aϕ^{ip}τ_{p}, bϕ^{jq}τ_{q}, cϕ^{kr}τ_{r}) =
= τ_{p}(bϕ^{jq})τ_{q}(cϕ^{kr})τ_{r}(aϕ^{ip})

et

ρ_{𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = τ′_{i}(b)τ′_{j}(c)τ′_{k}(a) = ϕ^{ip}τ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(a),

donc

ρ_{𝔟}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) − ρ_{𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) =
= abcτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(ϕ^{kr})τ_{r}(ϕ^{ip})+

+abτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(ϕ^{ip}) + acτ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(ϕ^{kr})τ_{r}(ϕ^{ip}) + bcτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(ϕ^{kr})τ_{r}(a)ϕ^{ip}+

+aτ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(ϕ^{ip}) + bτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(a)ϕ^{ip} + cτ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(ϕ^{kr})τ_{r}(a)ϕ^{ip}

9.7. Rémarquons que

B_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) := abcτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(ϕ^{kr})τ_{r}(ϕ^{ip}) =

= abc[ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)]^{pq}[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}[ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)]^{rp} =
= tr{ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)},

c’est ce qu’on peut récrire sous une forme

B_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = ⟨aτ′_{i}, tr{ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ}⟩ =

= \frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ⟨aτ′_{i}, tr\{ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}⟩

9.8. De même,

abτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(ϕ^{ip}) = [ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)]^{pq}τ_{q}(c)ϕ^{kr}[ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)]^{rp} =

= [aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)]^{kq}τ_{q}(c) = ⟨aτ′_{i}, [dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)]^{kq}τ_{q}(c)⟩,

d’où

B_{𝔟𝔟′}^{(1)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) :=

:= abτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(ϕ^{ip})+acτ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(ϕ^{kr})τ_{r}(ϕ^{ip})+bcτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(ϕ^{kr})τ_{r}(a)ϕ^{ip} =

= Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ⟨aτ′_{i}, [dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)]^{kq}τ_{q}(c)⟩

9.9. Enfin,

aτ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(ϕ^{ip}) = τ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(c)ϕ^{kr}[ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)]^{rp} =

= τ′_{j}(c)aτ′_{i}(ϕ^{kp})τ_{p}(b) = ⟨aτ′_{i}, τ′_{j}(c)dϕ^{kp}τ_{p}(b)⟩,

d’où

B_{𝔟𝔟′}^{(2)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) :=

:= aτ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(ϕ^{ip})+bτ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(c)ϕ^{kr}τ_{r}(a)ϕ^{ip}+cτ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(ϕ^{kr})τ_{r}(a)ϕ^{ip} =

= Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ⟨aτ′_{i}, τ′_{j}(c)dϕ^{kp}τ_{p}(b)⟩

9.10. Posons

δ_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = tr{ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ},

cf. 9.7. Alors

B_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) =

= \frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ⟨aτ′_{i}, δ_{𝔟𝔟′}^{(0)}(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩

De même, posons

δ_{𝔟𝔟′}^{(1)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = [dϕϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)]^{jp}τ_{p}(b) =
= [dϕϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)

et

δ_{𝔟𝔟′}^{(2)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = τ′_{i}(b)dϕ^{jp}τ_{p}(a) =
= τ′_{i}(b)[dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(a),

cf. 9.8 et 9.9. Alors

B_{𝔟𝔟′}^{(u)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) =

= Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ⟨aτ′_{i}, δ_{𝔟𝔟′}^{(u)}(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩, u = 1, 2

Donc si l’on pose

h_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) := \frac{1}{6}[δ_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) + δ_{𝔟𝔟′}^{(0)}(bτ′_{j}, aτ′_{i})];

h_{𝔟𝔟′}^{(u)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) := \frac{1}{2}[δ_{𝔟𝔟′}^{(u)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) + δ_{𝔟𝔟′}^{(u)}(bτ′_{j}, aτ′_{i})], u = 1, 2

et

h_{𝔟𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = ∑_{u=0}^{2} h_{𝔟𝔟′}^{(u)}(aτ′_{i}, bτ′_{j})  (9.10.1)

alors

{aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}}_{𝔟′} − {aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}}_{𝔟} =
= Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ⟨aτ′_{i}, h_{𝔟𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩  (9.10.2)

Mais (9.10.1) coîncide avec la définition (9.3.1), donc (9.10.2) fournit (9.5.1), cqfd. Preuve de (9.5.2) 9.11. Nous voulons calculer

d_{c}h_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) := h_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) − h_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) + h_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) On a

δ_{𝔟′𝔟′′}^{(0)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = abtr{ℓ′′_{i}(ψ)ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)};
−δ_{𝔟𝔟′′}^{(0)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −abtr{ℓ′′_{i}(ψϕ)ℓ′′_{j}(ψϕ)ℓ(ψϕ)} =
= −abtr[{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{i}(ϕ)}{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{j}(ϕ)}{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)}];
δ_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = δ_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =
= aψ^{ip}bψ^{jq}tr{ℓ′_{p}(ϕ)ℓ′_{q}(ϕ)ℓ(ϕ)} = abtr{ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ϕ)},

d’où

d_{c}δ_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(0)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −ab tr{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)+
+ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ϕ)+
+ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)+
+ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}}

9.12. On utilisera les notations

ℓ̃(ϕ) := dϕ ϕ^{−1}, ℓ̃′′_{i}(ϕ) := τ′′_{i}(ϕ)ϕ^{−1},  (9.12.1)

etc.

Nous avons

δ_{𝔟′𝔟′′}^{(1)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = a[ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{i}(ψ)]^{ju}τ′′_{u}(b);
−δ_{𝔟𝔟′′}^{(1)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −a[ℓ̃(ψϕ)ℓ̃′′_{i}(ψϕ)]^{ju}τ′′_{u}(b) =
= −a[{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}}{ℓ̃_{i}(ψ) + ℓ̃_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}}}]^{ju}τ′′_{u}(b)

et

δ_{𝔟𝔟′}^{(1)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = δ_{𝔟𝔟′}^{(1)}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =
= aψ^{ip}[ℓ̃(ϕ)ℓ̃′_{p}(ϕ)]^{qu}τ′_{u}(bψ^{jq}) = a[ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)]^{qu}{τ′_{u}(b)ψ^{jq} + bτ′_{u}(ψ^{jq})}

Mais

a[ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)]^{qu}τ′_{u}(b)ψ^{jq} = aψ^{jq}[ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)]^{qu}ψ^{−1uv}τ′′_{v}(b) =
= a[{ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)}^{ψ^{−1}}]^{jv}τ′′_{v}(b)

et

a[ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)]^{qu}bτ′_{u}(ψ^{jq}) = ab[ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)]^{qu}[ℓ′′_{j}(ψ)]^{uq} =
= abtr{ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)} = abtr{ℓ(ϕ)ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}},

d’où

d_{c}δ_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) =

= −a[ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}} + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)]^{jv}τ′′_{v}(b) + abtr{ℓ(ϕ)ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}} 9.13. Enfin,

δ_{𝔟𝔟′}^{(2)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = τ′′_{i}(b)ℓ̃(ψ)^{ju}τ′′_{u}(a);

δ_{𝔟𝔟′′}^{(2)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = τ′′_{i}(b)ℓ̃(ψϕ)^{ju}τ′′_{u}(a) = τ′′_{i}(b)[ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ju}τ′′_{u}(a) et

δ_{𝔟𝔟′}^{(2)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = δ_{𝔟𝔟′}^{(2)}(aψ^{ip}τ′_{i}, bψ^{jq}τ′_{q}) =
= τ′_{p}(bψ^{jq})ℓ̃(ϕ)^{qu}τ′_{u}(aψ^{ip}),

qui est une somme de quatre termes: le premier,

τ′_{p}(b)ψ^{jq}ℓ̃(ϕ)^{qu}τ′_{u}(a)ψ^{ip} = τ′′_{i}(b)ψ^{jq}ℓ̃(ϕ)^{qu}ψ^{−1uv}τ′′_{v}(a) =

= τ′′_{i}(b)[ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jv}τ′′_{v}(a);

le second,

τ′_{p}(b)ψ^{jq}ℓ̃(ϕ)^{qu}aτ′_{u}(ψ^{ip}) = τ′_{p}(b)ψ^{jq}ℓ̃(ϕ)^{qu}a[ℓ′′_{i}(ψ)]^{up} =
= a[ψℓ̃(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)]^{jp}τ′_{p}(b) = a[ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)]^{jv}τ′′_{v}(b);

le troisième,

bτ′_{p}(ψ^{jq})ℓ̃(ϕ)^{qu}τ′_{u}(a)ψ^{ip} = bψ^{ip}ℓ′′_{j}(ψ)^{pq}ℓ̃(ϕ)^{qu}ψ^{−1uv}τ′′_{v}(a) =

= b[ℓ̃′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iv}τ′′_{v}(a)

et le quatrième,

abτ′_{p}(ψ^{jq})ℓ̃(ϕ)^{qu}τ′_{u}(ψ^{ip}) = ab tr{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)} = ab tr{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}} Donc

d_{c}δ_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(2)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = a[ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)]^{jv}τ′′_{v}(b)+
+b[ℓ̃′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iv}τ′′_{v}(a) + ab tr{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}}

9.14. Rappelons que

h(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = \frac{1}{6}\{δ^{(0)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) + 3δ^{(1)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) + 3δ^{(2)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j})\}+

+(aτ′′_{i} ↔ bτ′′_{j}),

donc

Δh_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) =

= \frac{1}{6}ab tr\{2ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ} − ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}+

+2ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ} − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ϕ)}+

+\frac{1}{2}\{b[ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iv}τ′′_{v}(a) − a[ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jv}τ′′_{v}(b)\}+

+(aτ′′_{i} ↔ bτ′′_{j}) =

= \frac{1}{6}⟨aτ′′_{i}, b tr\{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}\}⟩+

+\frac{1}{6}⟨aτ′′_{i}, b tr\{ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ϕ)\}⟩+

+\frac{1}{2}⟨aτ′′_{i}, [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jv}τ′′_{v}(b)⟩+

+(aτ′′_{i} ↔ bτ′′_{j})

Donc, si l’on définit

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}) = H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(0)}(aτ′′_{i}) + H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(aτ′′_{i}),  (9.14.1)

où

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(0)}(aτ′′_{i}) := \frac{1}{6}a tr\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}+

+ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ϕ)} et

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(aτ′′_{i}) := \frac{1}{2}[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu}τ′′_{u}(a) = \frac{1}{2}[dψdϕ]^{ip}τ_{p}(a),

alors

d_{c}h_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = ⟨aτ′′_{i}, H_{𝔟𝔟′𝔟′′}(bτ′′_{j})⟩ + ⟨bτ′′_{j}, H_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i})⟩  (9.14.2)

Mais (9.14.1) n’est autre que (9.4.1), et (9.14.2) coîncide avec (9.5.2), cqfd. Preuve de (9.5.3)

9.15. Pour 𝔟 ⟶^{ϕ} 𝔟′ ⟶^{ψ} 𝔟′′ ⟶^{χ} 𝔟′′′, nous voulons calculer

d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′}(aτ′′′_{i}) := H_{𝔟′𝔟′′𝔟′′′}(aτ′′′_{i}) − H_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′′_{i})+

+H_{𝔟𝔟′𝔟′′′}(aτ′′′_{i}) − H_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′′_{i})

Par définition

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(0)}(aτ′′_{i}) = aH_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{i}) =

= \frac{1}{6}a\{H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(01)}(τ′′_{i}) − H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(02)}(τ′′_{i}) + H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(03)}(τ′′_{i}) − H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(04)}(τ′′_{i})\},

où

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(01)}(τ′′_{i}) = tr{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)},
H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(02)}(τ′′_{i}) = tr{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}},
H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(03)}(τ′′_{i}) = tr{ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)}

et

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(04)}(τ′′_{i}) = tr{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ϕ)}

On a

H_{𝔟′𝔟′′𝔟′′′}^{(01)}(τ′′′_{i}) = tr{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψ}ℓ(χ)^{ψ}ℓ(ψ)};
−H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(01)}(τ′′′_{i}) = −tr{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(χ)^{ψϕ}{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)}};
H_{𝔟𝔟′𝔟′′′}^{(01)}(τ′′′_{i}) = tr{{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ} + ℓ_{i}(ψ)^{ϕ}}{ℓ(χ)^{ψϕ} + ℓ(ψ)^{ϕ}}ℓ(ϕ)}

et

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(01)}(τ′′′_{i}) = H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(01)}(χ^{ip}τ′′_{p}) =
= χ^{ip}tr{ℓ′′_{p}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)} = tr{ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)},

d’où

d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′}^{(01)}(τ′′_{i}) = tr{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) + ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ϕ)} 9.16. En échangeant le deuxième et le troisième facteurs,

−d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′}^{(02)}(τ′′_{i}) = −tr{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ}} 9.17. De même,

H_{𝔟′𝔟′′𝔟′′′}^{(03)}(τ′′′_{i}) = tr{ℓ′′′_{i}(ψ)ℓ(χ)^{ψ}ℓ(ψ)};

−H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(03)}(τ′′′_{i}) = −tr{{ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′′_{i}(ϕ)}ℓ(χ)^{ψϕ}{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)}};

H_{𝔟𝔟′𝔟′′′}^{(03)}(τ′′′_{i}) = tr{ℓ′′′_{i}(ϕ){ℓ(χ)^{ψϕ} + ℓ(ψ)^{ϕ}}ℓ(ϕ)}

et

−H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(03)}(τ′′′_{i}) = −tr{ℓ′′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)},

d’où

d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′}^{(03)}(τ′′′_{i}) = −tr{ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ϕ) + ℓ′′′_{i}(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}} 9.18. En échangeant le première facteur avec le deuxième,

−d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′}^{(04)}(τ′′′_{i}) = tr{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) + ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}} En ajoutant, on obtient

9.19. Lemme.

d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′}^{(0)}(aτ′′′_{i}) =

= \frac{1}{6}a tr\{2ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ} − ℓ′′′_{i}(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}\}

9.20. Ensuite,

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(aτ′′_{i}) = \frac{1}{2}[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu}τ′′_{u}(a),

d’où

H_{𝔟′𝔟′′𝔟′′′}^{(1)}(aτ′′′_{i}) = \frac{1}{2}[ℓ̃(χ)ℓ̃(ψ)^{χ^{−1}}]^{iu}τ′′′_{u}(a);

−H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(aτ′′′_{i}) = −\frac{1}{2}[ℓ̃(χ)\{ℓ̃(ψ)^{χ^{−1}} + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}χ^{−1}}\}]^{iu}τ′′′_{u}(a);

H_{𝔟𝔟′𝔟′′′}^{(1)}(aτ′′′_{i}) = \frac{1}{2}[\{ℓ̃(χ) + ℓ̃(ψ)^{χ^{−1}}\}ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}χ^{−1}}]^{iu}τ′′′_{u}(a)

et

−H_{𝔟𝔟′′𝔟′′}^{(1)}(aτ′′′_{i}) = −H_{𝔟𝔟′′𝔟′′}^{(1)}(aχ^{ip}τ′′_{p}) =

= −\frac{1}{2}[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{pu}\{τ′′_{u}(a)χ^{ip} + aτ′′_{u}(χ^{ip})\},

d’où

d_{c}H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′,𝔟′′′}^{(1)}(aτ′′′_{i}) = −\frac{1}{2}a[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{pu}τ′′_{u}(χ^{ip}) =

= −\frac{1}{2}a[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{pu}ℓ′′′_{i}(χ)^{up} = −\frac{1}{2}a tr\{ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}ℓ′′′_{i}(χ)\} =

= −\frac{1}{2}a tr\{ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}\} = −\frac{1}{2}a tr\{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)\}  (9.20.1)

En ajoutant 9.19 et (9.20.1), on arrive au 9.21. Lemme.

d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′}(aτ′′′_{i}) =

= \frac{1}{6}a tr\{2ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ} − ℓ′′′_{i}(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}−

−3ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)} =

= −\frac{1}{6}a tr\{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) + ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ} + ℓ′′′_{i}(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}\}

9.22. D’autre part,

⟨τ′′′_{i}, tr{ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)}⟩ = tr{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)−

−ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) + ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′′_{i}(ϕ)} =

= tr{ℓ′′′_{i}(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) + ℓ′′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ} + ℓ′′′_{i}(ϕ)ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}}, d’où

d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′}(aτ′′′_{i}) = −⟨aτ′′′_{i}, \frac{1}{6}tr\{ℓ(χ)^{ψϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)\}⟩ =

= −⟨aτ′′′_{i}, β_{3}^{CH}(χ, ψ, ϕ)⟩,

ce qui démontre (9.5.3). Preuve de (9.5.4) 9.23. Par définition (cf. (8.5.4)),

γ′_{𝔟}(a, b; cτ_{k}) = \frac{1}{2}Sym_{a,b} da c dτ_{k}(b),

d_{c}γ′_{𝔟𝔟′}(a, b; cτ′_{k}) = γ′_{𝔟′}(a, b; cτ′_{k}) − γ′_{𝔟}(a, b; cτ′_{k})

Ici

γ′_{𝔟′}(a, b; cτ′_{k}) = \frac{1}{2}Sym_{a,b} da c dτ′_{k}(b) =

= \frac{1}{2}Sym_{a,b} da c d\{ϕ^{kp}τ_{p}(b)\} = \frac{1}{2}Sym_{a,b} da c\{dϕ^{kp} τ_{p}(b) + ϕ^{kp}dτ_{p}(b)\}

D’autre part,

−γ′_{𝔟}(a, b; cτ′_{k}) = −γ′_{𝔟}(a, b; cϕ^{kp}τ_{p}) = −\frac{1}{2}Sym_{a,b} da cϕ^{kp}dτ_{p}(b),

d’où

d_{c}γ′_{𝔟𝔟′}(a, b; cτ′_{k}) = \frac{1}{2}Sym_{a,b} da c dϕ^{kp} τ_{p}(b)

9.24. D’un autre côté,

Γ_{𝔟𝔟′}(a; bτ′_{j}) = \frac{1}{2}b dϕ^{jp} dτ_{p}(a),

d’où

d_{H}Γ_{𝔟𝔟′}(a, b; cτ′_{k}) = aΓ_{𝔟𝔟′}(b; cτ′_{k}) − Γ_{𝔟𝔟′}(ab; cτ′_{k}) + Γ_{𝔟𝔟′}(a; bcτ′_{k}) =

= \frac{1}{2}\{ac dϕ^{kp} dτ_{p}(b)−

−c dϕ^{kp}{da τ_{p}(b) + τ_{p}(a)db + dτ_{p}(a) b + a dτ_{p}(b)} + bc dϕ^{kp} dτ_{p}(a)} =

= −\frac{1}{2}c dϕ^{kp}\{da τ_{p}(b) + τ_{p}(a)db\} = d_{c}γ′_{𝔟𝔟′}(a, b; cτ′_{k}),

cqfd.

Preuve de (9.5.5)

9.25. Rappelons que H_{𝔟𝔟′𝔟′′} = H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(0)} + H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}, où H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(aτ′′_{i}) est une expression a-linéaire dont la forme explicite ne nous interesse pas. Par contre,

H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(aτ′′_{i}) = \frac{1}{2}[dψ dϕ]^{ip}τ_{p}(a)

Il en suit que d_{H}H^{(0)} = 0 et

d_{H}H_{𝔟𝔟′𝔟′′}(a; bτ′′_{j}) = d_{H}H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(a; bτ′′_{j}) =

= aH_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(bτ′′_{j}) − H_{𝔟𝔟′𝔟′′}^{(1)}(abτ′′_{j}) = −\frac{1}{2}[dψ dϕ]^{jp} bτ_{p}(a)

9.26. D’autre part,

d_{c}Γ_{𝔟𝔟′𝔟′′}(a; bτ′′_{j}) = Γ_{𝔟′𝔟′′}(a; bτ′′_{j}) − Γ_{𝔟𝔟′′}(a; bτ′′_{j}) + Γ_{𝔟𝔟′}(a; bτ′′_{j}),

où

Γ_{𝔟′𝔟′′}(a; bτ′′_{j}) = \frac{1}{2}bdψ^{jp} dτ′_{p}(a) = \frac{1}{2}bdψ^{jp} d\{ϕ^{pq}τ_{q}(a)\} =

= \frac{1}{2}bdψ^{jp} \{dϕ^{pq} τ_{q}(a) + ϕ^{pq} dτ_{q}(a)\};

−Γ_{𝔟𝔟′′}(a; bτ′′_{j}) = −\frac{1}{2}bd(ψϕ)^{jq} dτ_{q}(a) = −\frac{1}{2}b\{dψ ϕ + ψ dϕ\}^{jq} dτ_{q}(a)

t

Γ_{𝔟𝔟′}(a; bτ′′_{j}) = Γ_{𝔟𝔟′}(a; bψ^{jp}τ′_{p}) = \frac{1}{2}bψ^{jp}dϕ^{qp} dτ_{q}(a)

Donc

d_{c}Γ_{𝔟𝔟′𝔟′′}(a; bτ′′_{j}) = \frac{1}{2}bdψ^{jp} dϕ^{pq} τ_{q}(a) = −d_{H}H_{𝔟𝔟′𝔟′′}(a; bτ′′_{j}),

cqfd.

Preuve de (9.5.6)

(a) Différentielle d_{c}γ

9.27. Rappelons que

γ_{𝔟}(a; bτ_{j}, cτ_{k}) = −\frac{1}{2}\{bdτ_{j}\{cτ_{k}(a)\} + bτ_{j}(c)dτ_{k}(a)\} =

= −\frac{1}{2}\{bc dτ_{j}τ_{k}(a) + bdc τ_{j}τ_{k}(a) + 2bτ_{j}(c)dτ_{k}(a) + bdτ_{j}(c) τ_{k}(a)\}

On va calculer

d_{c}γ_{𝔟𝔟′}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) = γ_{𝔟′}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) − γ_{𝔟}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j})

On a

γ_{𝔟′}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) =

= −\frac{1}{2}[abdτ′_{i}τ′_{j}(c) + adτ′_{i}(b)τ′_{j}(c) + 2aτ′_{i}(b)dτ′_{j}(c) + adbτ′_{i}τ′_{j}(c)],

où

abdτ′_{i}τ′_{j}(c) = abd{ϕ^{ip}τ_{p}ϕ^{jq}τ_{q}(c)} = abd{ϕ^{ip}ϕ^{jq}τ_{p}τ_{q}(c) + ϕ^{ip}τ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(c)};

adτ′_{i}(b)τ′_{j}(c) = ad{ϕ^{ip}τ_{p}(b)}ϕ^{jq}τ_{q}(c) =
= a{dϕ^{ip}τ_{p}(b) + ϕ^{ip}dτ_{p}(b)}ϕ^{jq}τ_{q}(c);

2aτ′_{i}(b)dτ′_{j}(c) = 2aϕ^{ip}τ_{p}(b)d{ϕ^{jq}τ_{q}(c)} = 2aϕ^{ip}τ_{p}(b){dϕ^{jq}τ_{q}(c) + ϕ^{jq}dτ_{q}(c)} et

adbτ′_{i}τ′_{j}(c) = adbϕ^{ip}τ_{p}ϕ^{jq}τ_{j}(c)

9.28. D’autre part,

−γ_{𝔟}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) = −γ_{𝔟}(c; aϕ^{ip}τ_{p}, bϕ^{jq}τ_{q}) =

= \frac{1}{2}[abϕ^{ip}ϕ^{jq}dτ_{p}τ_{q}(c)+aϕ^{ip}dτ_{p}\{bϕ^{jq}\}τ_{q}(c)+2aϕ^{ip}τ_{p}\{bϕ^{jq}\}dτ_{q}(c)+aϕ^{ip}d\{bϕ^{jq}\}τ_{p}τ_{q}(c)],

où

aϕ^{ip}dτ_{p}{bϕ^{jq}}τ_{q}(c) =
= aϕ^{ip}{dτ_{p}(b)ϕ^{jq} + τ_{p}(b)dϕ^{jq} + dbτ_{p}(ϕ^{jq}) + bdτ_{p}(ϕ^{jq})}τ_{q}(c),
2aϕ^{ip}τ_{p}{bϕ^{jq}}dτ_{q}(c) = 2aϕ^{ip}{τ_{p}(b)ϕ^{jq} + bτ_{p}(ϕ^{jq})}dτ_{q}(c)

et

aϕ^{ip}d{bϕ^{jq}}τ_{p}τ_{q}(c) = aϕ^{ip}{dbϕ^{jq} + bdϕ^{jq}}τ_{p}τ_{q}(c)

9.29. Donc on s’est laissé avec d_{c}γ_{𝔟𝔟′}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) = γ_{𝔟′}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) − γ_{𝔟}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) =

= −\frac{1}{2}ab\{dϕ^{ip}ϕ^{jq}τ_{p}τ_{q}(c) + dϕ^{ip}τ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(c) − ϕ^{ip}τ_{p}(ϕ^{jq})dτ_{q}(c)\}−

−\frac{1}{2}a\{ϕ^{ip}τ_{p}(b)dϕ^{jq}τ_{q}(c) + dϕ^{ip}τ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(c)\} =

= μ_{𝔟𝔟′}^{(0)}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) + μ_{𝔟𝔟′}^{(1)}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}),

où

μ_{𝔟𝔟′}^{(0)}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) = −\frac{1}{2}ab\{dϕ^{ip}ϕ^{jq}τ_{p}τ_{q}(c) + dϕ^{ip}τ_{p}(ϕ^{jq})τ_{q}(c) − ϕ^{ip}τ_{p}(ϕ^{jq})dτ_{q}(c)\}

et

μ_{𝔟𝔟′}^{(1)}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) = −\frac{1}{2}a\{ϕ^{ip}τ_{p}(b)dϕ^{jq}τ_{q}(c) + dϕ^{ip}τ_{p}(b)ϕ^{jq}τ_{q}(c)\}

(b) Différentielle d_{H}h 9.30. On a

−d_{H}h_{𝔟𝔟′}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) = h_{𝔟𝔟′}(caτ′_{i}, bτ′_{j}) − c h_{𝔟𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) =

= ∑_{u=1}^{2} h^{(u)}(caτ′_{i}, bτ′_{j}) − ch^{(u)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}),

où

h^{(1)}(caτ′_{i}, bτ′_{j}) − ch^{(1)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = \frac{1}{2}[δ^{(1)}(bτ′_{j}, caτ′_{i}) − cδ^{(1)}(bτ′_{j}, aτ′_{i})] =

= \frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)]^{ip}aτ_{p}(c) = \frac{1}{2}ab[dϕϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)]^{ip}τ_{p}(c) =

= \frac{1}{2}abdϕ^{iu}[ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)]^{up}τ_{p}(c) = \frac{1}{2}abdϕ^{iu}τ_{u}(ϕ^{jp})τ_{p}(c)

et

h^{(2)}(caτ′_{i}, bτ′_{j}) − ch^{(2)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) =

= \frac{1}{2}[δ^{(2)}(caτ′_{i}, bτ′_{j}) − cδ^{(2)}(aτ′_{i}, bτ′_{j})+

+δ^{(2)}(bτ′_{j}, caτ′_{i}) − cδ^{(2)}(bτ′_{j}, aτ′_{i})]

Ici

δ^{(2)}(caτ′_{i}, bτ′_{j}) − cδ^{(2)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) =
= τ′_{i}(b)dϕ^{jq}aτ_{q}(c) = aϕ^{ip}τ_{p}(b)dϕ^{jq}τ_{q}(c)

et

δ^{(2)}(bτ′_{j}, caτ′_{i}) − cδ^{(2)}(bτ′_{j}, aτ′_{i}) =
= aτ′_{j}(c)dϕ^{ip}τ_{p}(b) = aϕ^{jq}τ_{q}(c)dϕ^{ip}τ_{p}(b)

(c) Différentielle QΓ

9.31. D’autre part,

Γ_{𝔟𝔟′}(c, aτ′_{i}) = \frac{1}{2}adϕ^{ip}dτ_{p}(c),

d’où

QΓ_{𝔟𝔟′}(c; aτ′_{i}, bτ′_{j}) = ⟨bτ′_{j}, Γ_{𝔟𝔟′}(c, aτ′_{i})⟩ = \frac{1}{2}⟨bτ′_{j}, adϕ^{ip}dτ_{p}(c)⟩ =

= \frac{1}{2}ab[τ′_{j}(ϕ^{ip})dτ_{p}(c) − dϕ^{ip}τ′_{j}τ_{p}(c)] = \frac{1}{2}ab[ϕ^{jq}τ_{q}(ϕ^{ip})dτ_{p}(c) − dϕ^{ip}ϕ^{jq}τ_{q}τ_{p}(c)]

En comparant avec 9.29, on retrouve la formule (9.5.6)

d_{H}h_{𝔟𝔟′} = d_{c}γ_{𝔟𝔟′} − QΓ_{𝔟𝔟′}

La démonstration du théorème 9.5 est achevée.

§10. Troisième Koszul - de Rham

10.1. Dans cette section on va introduire un bicomplexe tordu KR(3)^{··}, dit le troisième Koszul - de Rham.

Définissons les plongements

ι_{n} : Ω^{n} ⟶ Hom(Λ^{n−2}T, Ω^{2})

par la règle usuelle

ι_{n}ω(τ_{1}, …, τ_{n−2}) = i_{τ_{n−2}}i_{τ_{n−3}} … i_{τ_{1}}ω

Supposons que p est inversible dans k. On définit le morphisme

d_{DR} : Hom(Λ^{p−1}, Ω^{2}) ⟶ Hom(Λ^{p}, Ω^{2})

par d_{DR} = −d_{Ch} − E, où

d_{Ch}f(τ_{1}, …) = ∑_{i<j} (−1)^{i+j}f([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)+∑_{i} (−1)^{i+1}τ_{i}f(…, τ̂_{i}, …)

et

Ef(τ_{1}, …, τ_{p}) = \frac{1}{p} ∑_{i=1}^{p} (−1)^{i}d⟨τ_{i}, f(…, τ̂_{i}, …)⟩

On utilisera la notation d_{DR}^{(0)} pour les opérateurs d_{DR} définis ci-dessus; ils nous serviront comme les différentielles dans la 0-ième ligne du notre Koszul - de Rham.

10.2. Lemme. d_{DR}^{(0)}ι_{p+1} = −ι_{p+2}d.

Démonstration: exercice pour le lecteur, ou voir 12.1.

Donc les morphismes ι_{n} donnent lieu à l’inclusion (si k ⊃ ℚ) du complexe de de Rham tronqué et decalé

Ω^{[3} := σ_{≥3}Ω^{·}[3] : 0 ⟶ Ω^{3} ⟶ Ω^{4} ⟶

dans la ligne

0 ⟶ Hom(T, Ω^{2}) ⟶^{d_{DR}^{(0)}} Hom(Λ^{2}T, Ω^{2}) ⟶^{d_{DR}^{(0)}} …  (10.2.1)

Par contre, cette ligne n’est pas un complexe, car d_{DR}^{(0)2} ≠ 0.

10.3. Suivant l’usage, on définit les opérateurs de Koszul

Q : Hom(Λ^{n}T, Ω^{2}) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{n−1}T, Ω)

par

Qf(τ_{1}, τ_{2}; …) = Sym_{12}⟨τ_{1}, f(τ_{2}, …)⟩

10.4. On introduit l’opérateur (en supposant que n(n − 1) est inversible dans k)

R : Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{n−3}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{n}T, Ω^{2})

par

Rf(τ_{1}, …, τ_{n}) =

= −\frac{1}{n(n − 1)} ∑_{i<j<k} (−1)^{i+j+k}Cycle_{ijk} df([τ_{i}, τ_{j}], τ_{k}; …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ̂_{k}, …)

10.5. Lemme. d_{DR}^{(0)2} = RQ.

Pour la preuve, voir 12.2 - 12.7.

10.6. Première ligne. On introduit les opérateurs d_{DR}^{(1)} : Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{n−2}T, Ω) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{n−1}T, Ω)

(en supposant que n est inversible dans k) par d_{DR}^{(1)} = d_{Ch} + E. Ici d_{Ch} est la différentielle de Chevalley, après l’identification Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{·}T, Ω) = Hom(Λ^{·}T, Hom(S^{2}T, Ω)) = C^{·}(T^{Lie}, Hom(S^{2}T, Ω))

Explicitement,

d_{Ch}f(τ′, τ′′; …) = ∑_{i<j} (−1)^{i+j}f(τ′, τ′′; [τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)+

+ ∑_{i} (−1)^{i+1}τ_{i}f(τ′, τ′′; …, τ̂_{i}, …) + ∑_{i} (−1)^{i}Sym_{τ′,τ′′}c([τ_{i}, τ′], τ′′; …, τ̂_{i}, …)

D’un autre côté, E = E′ + E′′,

E′f(τ′, τ′′; τ_{1}, …, τ_{n−1}) = \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i}Sym_{τ′,τ′′}τ′f(τ′′, τ_{i}; …, τ̂_{i}, …)

et

E′′f(τ′, τ′′; τ_{1}, …, τ_{n−1}) = \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i}d⟨τ_{i}, f(τ′, τ′′; …, τ̂_{i}, …)⟩

10.7. Lemme. Qd_{DR}^{(0)} = d_{DR}^{(1)}Q

Démonstration: exercice, ou voir 12.8 - 12.11.

10.8. Lemme. Définissons l’opérateur de Koszul

Q : Hom(S^{2}T, Ω) ⟶ Hom(S^{3}T, A)

par

Qf(τ, τ′, τ′′) = Cycle_{τ,τ′,τ′′} ⟨τ, f(τ′, τ′′)⟩  (10.8.1)

Cet opérateur est un morphisme de T^{Lie}-modules.

Démonstration: exercice, ou voir 12.12.

Par définition, les opérateurs de Koszul

Q : Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{n}T, Ω) ⟶ Hom(S^{3}T ⊗ Λ^{n}T, A)

seront induits par (10.8.1), i.e.

Qf(τ, τ′, τ′′; …) = Cycle_{τ,τ′,τ′′} ⟨τ, f(τ′, τ′′; …)⟩  (10.8.2)

10.9. On va définir le Koszul - de Rham KR(3)^{··} = {KR(3)^{ij}}. Il sera concentré dans la domain 0 ≤ i + j ≤ 3, 0 ≤ j ≤ 2, le premier degré i étant le degré de de Rham et le deuxième degré j étant le degré de Koszul.

La 0-ième ligne sera (10.2.1) tronquée:

KR(3)^{·0} : Hom(T, Ω^{2}) ⟶^{d_{DR}^{(0)}} … ⟶^{d_{DR}^{(0)}} Hom(Λ^{4}T, Ω^{2})

La première ligne sera

KR(3)^{·1} : Hom(S^{2}T, Ω) ⟶^{d_{DR}^{(1)}} Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω) ⟶^{d_{DR}^{(1)}} Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

La deuxième ligne sera

KR(3)^{·2} : Hom(S^{3}T, A) ⟶^{d_{DR}^{(2)}} Hom(S^{3}T ⊗ T, A)

avec d_{DR}^{(2)} = d_{Ch} + E,

d_{Ch}f(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = τf(τ′, τ′′, τ′′′) − Cycle_{τ,τ′,τ′′} f([τ, τ′], τ′′, τ′′′) et

Ef(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = −\frac{1}{2} Cycle_{τ,τ′,τ′′} τ′f(τ′′, τ′′′; τ)

Les flèches Q ont été définies dans 10.3 et 10.8. En utilisant Lemme 10.8 on vérifie 10.10. Lemme. Qd_{DR}^{(1)} = d_{DR}^{(2)}Q. On propose les détails comme un exercice, ou voir 12.13 - 12.14. Les flèches

R^{i1} : KR(3)^{i1} = Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{i}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{i+3}T, Ω^{2})

(i = 0, 1) ont été définies dans 10.4.

10.11. Enfin, on définit la flèche

R^{02} : KR(3)^{i1} = Hom(S^{3}T, A) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

par

R^{02}f(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{6}[df(τ′, τ′′; [τ_{1}, τ_{2}]) + Sym_{τ′,τ′′} Alt_{12} df(τ′, [τ′′, τ_{1}], τ_{2})]

10.12. Théorème. On a les relations: d_{DR}^{20}R^{01} = R^{11}d_{DR}^{01} et d_{DR}^{11}d_{DR}^{01} = QR^{01} + R^{02}Q.

Pour la preuve, voir 12.15 - 12.20 ci-dessous. Donc, les opérateurs d_{DR}, Q et R définissent sur KR(3)^{··} une structure d’un

bicomplexe tordu. On désigne par (KR(3), d_{KR}) le complexe simple associé. L’inclusion décrite après 10.2 induit l’inclusion de complexes

ι : Ω^{[3,6]} := σ_{≤6}σ_{≥3}Ω^{·}[3] ↪ KR(3)  (10.12.1)

10.13. Soit 𝔟 = {τ_{i}} une base abélienne. On a déjà vu un élément intéressant {, , }_{𝔟} ∈ Hom(S^{3}T, A) = KR(3)^{02},

\{aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}\}_{𝔟} = −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}τ_{k}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c) = −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}}τ_{k}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c),

cf. 8.5.

Disons qu’une cochaîne x = (x^{02}, x^{11}, x^{20}) ∈ KR(3)^{2} est un cocycle intéressant si x^{02} = {, , }_{𝔟} (pour une 𝔟 ∈ 𝔅) et d_{KR}x = 0.

10.14. Théorème. Introduisons les éléments ⟨,; ⟩_{𝔟} ∈ Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω) = KR(3)^{11},

⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}⟩_{𝔟} = −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}τ_{k}(a)τ_{i}(b)dτ_{j}(c) − \frac{1}{2}d\{aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}\}_{𝔟}

et c_{𝔟} ∈ Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) = KR(3)^{20},

c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = \frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}}τ_{k}(a)dτ_{i}(b)dτ_{j}(c)

Alors m_{𝔟}^{KR} := ({, , }_{𝔟}, ⟨,; ⟩_{𝔟}, c_{𝔟}) est un cocycle intéressant.

En composantes, cela signifie que

d_{DR}{, , }_{𝔟} − Q⟨,; ⟩_{𝔟} = 0  (10.14.1)
d_{DR}⟨,; ⟩_{𝔟} − R{, , }_{𝔟} + Qc_{𝔟} = 0  (10.14.2)
d_{DR}c_{𝔟} + R⟨,; ⟩_{𝔟} = 0  (10.14.3)

En effet, on trouve ⟨,; ⟩_{𝔟} de la condition (10.14.1), après on trouve c_{𝔟} de la condition (10.14.2), et enfin on vérifie (10.14.3).

Pour les détails, voir §13.

Le cocycle m_{𝔟}^{KR} est analogue, en dimension 3, de la partie Koszul - de Rhamienne (−⟨, ⟩_{𝔟}, c_{𝔟}) de la structure vertex v_{𝔟}, 7.4 , 7.5.

§11. Troisième cocycle de Chern - Simons raffiné

11.1. Maintenant passons au bicomplexe Č^{·}(𝔅; KR(3)^{·}), le degré de Čech étant comme d’habitude le deuxième. On désigne par (Č^{·}(𝔅; KR(3)), d_{CKR}) le complexe simple associé. On suppose que 30 est inversible dans k.

L’inclusion ι, (10.11.1), induit le morphisme de complexes

μ : CS(3) = C^{·}(GL_{n}(A), Ω^{[3,5⟩}) ⟶ Č^{·}(𝔅; KR(3))

Rappelons la troisième forme de Chern - Simons (cf. 3.12) β_{3} = (β^{03}, β^{12}, β^{21}) ∈ CS(3)^{3}, où β^{03} ∈ Hom(GL_{n}(A)^{3}, Ω^{3}),

β^{03}(χ, ψ, ϕ) = \frac{1}{6} tr\{ϕ^{−1}ψ^{−1}χ^{−1} dχdψdϕ\},

β^{12} ∈ Hom(GL_{n}(A)^{2}, Ω^{4}) est défini dans 3.10, et β^{21} ∈ Hom(GL_{n}(A), Ω^{5,fer}),

β^{21}(ϕ) = −\frac{1}{60} tr\{(ϕ^{−1}dϕ)^{5}\}

11.2. Introduisons une cochaîne m̂_{KR} = (m̂_{KR}^{ijk}) ∈ Č^{2}(𝔅; KR(3)).

Les composantes de degré de Čech 0: on pose

m̂_{KR}^{··0} = (m̂_{KR}^{020}, m̂_{KR}^{110}, m̂_{KR}^{200}) = ({, , }_{𝔟}, ⟨,; ⟩_{𝔟}, c_{𝔟}) ∈ Č^{0}(𝔅; KR(3)^{··})

cf. 10.12, 10.13.

11.3. Les composantes de degré de Čech 1. Soient 𝔟 = {τ_{i}}, 𝔟′ = {τ′_{i}} ∈ 𝔅, 𝔟′ = ϕ𝔟. Rappelons la forme −h_{𝔟𝔟′} ∈ Hom(S^{2}T, Ω) = KR(3)^{01} définie dans 9.3.

D’un autre côté, définissons une forme h′_{𝔟𝔟′} ∈ Hom(Λ^{2}T, Ω^{2}) = KR(3)^{10} par l’expression suivante:

−h′_{𝔟𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4}tr\{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}+

+\frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)(ϕ^{−1}dϕ)^{2}\}+

+\frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{dc [ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ) + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)] ϕ^{−1}dϕ\}+

+\frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{[ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ) + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)] ϕ^{−1}dϕ\}−

−\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)+

+\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1} cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)−

−\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp} dτ′_{p}(c)+

+\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{ku}τ′_{u}(c)+

+\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(c)τ′_{k}(b) − \frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}]^{ju} τ′_{u}(c) [dϕϕ^{−1}]^{kv} τ′_{v}(b)−

−\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} dc τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)−

−\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}]^{ju} dτ′_{u}(c)τ′_{k}(b) − \frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}]^{kw} τ′_{w}(b) dτ′_{j}(c)

On pose

m̂_{KR}^{··1} = (m̂_{KR}^{011}, m̂_{KR}^{101}) = (−h_{𝔟𝔟′}, h′_{𝔟𝔟′}) ∈ Č^{1}(𝔅; KR(3)^{··})

11.4. La composante de degré de Čech 2:

m̂_{KR}^{002} = (−H_{𝔟𝔟′𝔟′′}) ∈ Č^{2}(𝔅; KR(3)^{00}),

où −H_{𝔟𝔟′𝔟′′} ∈ Hom(T, Ω^{2}) = KR(3)^{00} est écrit dans 9.4.

En rassemblant,

m̂_{KR} = ({, , }_{𝔟}, ⟨,; ⟩_{𝔟}, c_{𝔟}; −h_{𝔟𝔟′}, h′_{𝔟𝔟′}; −H_{𝔟𝔟′𝔟′′})

11.5. Théorème. d_{CKR}(m̂_{KR}) = μ(β_{3}). En composantes, c’est exprimé par 9 relations:

−d_{c}H_{𝔟𝔟′𝔟′′𝔟′′′} = ιβ^{03}(χ, ψ, ϕ)  (11.5.1)

si 𝔟′′′ = χ𝔟′′, 𝔟′′ = ψ𝔟′ et 𝔟′ = ϕ𝔟; ceci est une partie du Théorème 9.5;

d_{DR}H_{𝔟𝔟′𝔟′′} + d_{c}h′_{𝔟𝔟′𝔟′′} = ιβ^{12}(ψ, ϕ)  (11.5.2)
d_{DR}h′_{𝔟𝔟′} + Rh_{𝔟𝔟′} + d_{c}c_{𝔟𝔟′} = ιβ^{21}(ϕ)  (11.5.3)
−d_{DR}h_{𝔟𝔟′} − Qh′_{𝔟𝔟′} + d_{c}⟨,; ⟩_{𝔟𝔟′} = 0  (11.5.4)

Encore deux relations qui font partie du 9.5:

QH_{𝔟𝔟′𝔟′′} − d_{c}h_{𝔟𝔟′𝔟′′} = 0  (11.5.5)

et

−Qh_{𝔟𝔟′} + d_{c}{, , }_{𝔟𝔟′} = 0  (11.5.6)

et enfin, les 3 relations du Théorème 10.14.

En effet, obtient la formule compliquée de 11.3 pour h′_{𝔟𝔟′} de l’équation (11.5.4), voir §14. Ensuite on obtient la forme β^{12} de l’équation (11.5.2) (sic!). Cela sera fait dans §15. Enfin, on vérifie dans §16 que la relation (11.5.3) est satisfaite.

§12. Construction du troisième Koszul - de Rham

Dans cette section le lecteur trouvera les démonstrations des lemmes 10.2, 10.5, 10.7, 10.8, 10.10 et du théorème 10.12.

12.1. Preuve du lemme 10.2. Pour ω ∈ Ω^{p+2} on a

ιω(τ_{1}, …, τ_{p})(τ′, τ′′) = ω(τ_{1}, …, τ_{p}, τ′, τ′′)

Rémarquons que, pour ω ∈ Ω^{∗}, l’expression ⟨τ_{1}, ιω(τ_{2}, …, τ_{p})⟩ est anti-symétrique en τ_{1}, …, τ_{p}, donc

C := Eιω(τ_{1}, …, τ_{p}) = −d⟨τ_{1}, ιω(τ_{2}, …, τ_{p})⟩

Faisons le calcul.

−d_{DR}^{(0)}ιω(τ_{1}, …, τ_{p}) = ∑_{i<j} A_{ij} + ∑_{i} B_{i} + C,

où

A_{ij} = (−1)^{i+j}ιω([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)

et

B_{i} = (−1)^{i+1}τ_{i}ιω(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …)

D’ici

A_{ij}(τ′, τ′′) = (−1)^{i+j}ω([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ′, τ′′);
B_{i}(τ′, τ′′) = (−1)^{i+1}{τ_{i}[ιω(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …)(τ′, τ′′)]−
−ιω(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …)([τ_{i}, τ′], τ′′) − ιω(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …)(τ′, [τ_{i}, τ′])} =
= (−1)^{i+1}{τ_{i}ω(τ_{1}, …, τ̂_{i}, …, τ′, τ′′)+

+(−1)^{p}ω([τ_{i}, τ′], τ_{1}, …, τ̂_{i}, …, τ′′) + (−1)^{p+1}ω([τ_{i}, τ′′], τ_{1}, …, τ̂_{i}, …, τ′)} =

= B_{i}^{1} + B_{i}^{2} + B_{i}^{3}
C(τ′, τ′′) = ⟨τ_{1}, ιω(τ_{2}, …, τ_{p})⟩([τ′, τ′′])−

−τ′[⟨τ_{1}, ιω(τ_{2}, …, τ_{p})⟩(τ′′)] + τ′′[⟨τ_{1}, ιω(τ_{2}, …, τ_{p})⟩(τ′)] =

= ιω(τ_{2}, …, τ_{p})(τ_{1}, [τ′, τ′′])−
−τ′|ιω(τ_{2}, …, τ_{p})(τ_{1}, τ′′)] + τ′′|ιω(τ_{2}, …, τ_{p})(τ_{1}, τ′)] =
= −ω([τ′, τ′′], τ_{1}, …, τ_{p})+

+(−1)^{p}τ′ω(τ_{1}, …, τ_{p}, τ′′) + (−1)^{p+1}τ′′ω(τ_{1}, …, τ_{p}, τ′) = C^{1} + C^{2} + C^{3} D’autre part,

ι(dω)(τ_{1}, …, τ_{p})(τ′, τ′′) = (dω)(τ_{1}, …, τ_{p}, τ′, τ′′) =

= ∑_{i<j} (−1)^{i+j}ω([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ′, τ′′)+

+ ∑_{i} {(−1)^{i+p+1}ω([τ_{i}, τ′], …, τ̂_{i}, …, τ′′) + (−1)^{i+p}ω([τ_{i}, τ′′], …, τ̂_{i}, …, τ′)}−

−ω([τ′, τ′′], τ_{1}, …) + ∑_{i} (−1)^{i+1}τ_{i}ω(…, τ̂_{i}, …, τ′, τ′′)+

+(−1)^{p}τ′ω(…, τ̂_{i}, …, τ′′) + (−1)^{p+1}τ′′ω(…, τ̂_{i}, …, τ′) =

= ∑_{i<j} A_{ij}(τ′, τ′′) + ∑_{i} {B_{i}^{2} + B_{i}^{3}} + C^{1} + ∑_{i} B_{i}^{1} + C^{2} + C^{3},

d’où le lemme.

Preuve du lemme 10.5 12.2. On a d_{DR}^{(0)2} = Ed_{Ch} + d_{Ch}E + E^{2}, puisque d_{Ch}^{2} = 0. On a

E^{2}c(τ_{1}, …, τ_{n}) = \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i}d⟨τ_{i}, Ec(…, τ̂_{i}, …)⟩ =

= \frac{1}{n(n − 1)} ∑_{i} (−1)^{i}\{∑_{j<i} (−1)^{j}d⟨τ_{i}, d⟨τ_{j}, c(…, τ̂_{j}, …, τ̂_{i}, …)⟩⟩+

+ ∑_{j>i} (−1)^{j+1}d⟨τ_{i}, d⟨τ_{j}, c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩⟩} =

= \frac{1}{n(n − 1)} ∑_{i<j} (−1)^{i+j+1}Alt_{ij} d⟨τ_{i}, d⟨τ_{j}, c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩⟩

Par Cartan,

d⟨τ_{i}, = Lie_{τ_{i}} + ⟨τ_{i}, d

donc (car d^{2} = 0)

d⟨τ_{i}, d⟨τ_{j}, c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩⟩ =

= τ_{i}d⟨τ_{j}, c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩ = dτ_{i}⟨τ_{j}, c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩ =

= d{⟨[τ_{i}, τ_{j}], c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩ + ⟨τ_{j}, τ_{i}c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩}

Il en suit que

E^{2}c(τ_{1}, …, τ_{n}) = \frac{1}{n(n − 1)} ∑_{i<j} (−1)^{i+j+1}d\{2⟨[τ_{i}, τ_{j}], c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩+

+Alt_{ij}⟨τ_{j}, τ_{i}c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩\} = \frac{1}{n(n − 1)}(−2A + B)

12.3. On a d_{Ch} = d′_{Ch} + d′′_{Ch}, où

d′_{Ch}c(τ_{1}, …) = ∑_{i<j} (−1)^{i+j}c([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)

et

d′′_{Ch}c(τ_{1}, …) = ∑_{i} (−1)^{i+1}τ_{i}c(…, τ̂_{i}, …)

On a

d′′_{Ch}Ec(τ_{1}, …, τ_{n}) = ∑_{i} (−1)^{i+1}τ_{i}d′_{DR}c(…, τ̂_{i}, …) =

= \frac{1}{n − 1} ∑_{i} (−1)^{i+1} ∑_{j<i} (−1)^{j}τ_{i}d⟨τ_{j}, c(…, τ̂_{j}, …, τ̂_{i}, …)⟩ − (i ↔ j) =

= \frac{1}{n − 1} ∑_{i<j} (−1)^{i+j}Alt_{ij}dτ_{i}⟨τ_{j}, c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩ = −\frac{1}{n − 1}(−2A + B)

Donc

(E^{2} + d′′_{Ch}E)c(τ_{1}, …, τ_{n}) = −\frac{1}{n}(−2A + B)

12.4. On a

Ed′′_{Ch}c(τ_{1}, …, τ_{n}) = \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i}d⟨τ_{i}, d′′_{Ch}c(…, τ̂_{i}, …)⟩ =

= \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i} ∑_{j<i} (−1)^{j+1}d⟨τ_{i}, τ_{j}c(…, τ̂_{j}, …, τ̂_{i}, …)⟩ − (i ↔ j) =

= \frac{1}{n} ∑_{i<j} (−1)^{i+j}Alt_{ij}d⟨τ_{i}, τ_{j}c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩ = \frac{B}{n}

Il en suit que

(E^{2} + d′′_{Ch}E + Ed′′_{Ch})c(τ_{1}, …, τ_{n}) = \frac{2}{n}A

12.5. On a

d′_{Ch}Ec(τ_{1}, …, τ_{n}) = ∑_{i<j} (−1)^{i+j}Ec([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …) =

= \frac{1}{n − 1} ∑_{i<j}(−1)^{i+j}\{−d⟨[τ_{i}, τ_{j}], c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩+

+ ∑_{k<i<j} (−1)^{k+1}d⟨τ_{k}, c([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{k}, …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩+

+ ∑_{i<k<j} (−1)^{k}(…) + ∑_{i<j<k} (−1)^{k+1}(…)\} = −\frac{1}{n − 1}\{A+

+ ∑_{i<j<k} (−1)^{i+j+k}Cycle_{ijk}d⟨τ_{i}, c([τ_{j}, τ_{k}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ̂_{k}, …)⟩} =

= −\frac{1}{n − 1}(A + C)

12.6. On a

Ed′_{Ch}c(τ_{1}, …, τ_{n}) = \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i}d⟨τ_{i}, d′_{Ch}c(…, τ̂_{i}, …)⟩ = \frac{1}{n}C

Il en suit que

d_{DR}^{(0)2}c(τ_{1}, …, τ_{n}) = ([d_{Ch}, E] + d_{DR}^{′2})c(τ_{1}, …, τ_{n}) = \frac{1}{n(n − 1)}\{(n − 2)A − C\},

où

A = ∑_{i<j}(−1)^{i+j}d⟨[τ_{i}, τ_{j}], c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩

et

C = ∑_{i<j<k} (−1)^{i+j+k}Cycle_{ijk}d⟨τ_{i}, c([τ_{j}, τ_{k}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ̂_{k}, …)⟩

12.7. D’un autre côté,

RQc(τ_{1}, …, τ_{n}) = −\frac{1}{n(n − 1)} ∑_{i<j<k} (−1)^{i+j+k}Cycle_{ijk}

d{⟨[τ_{i}, τ_{j}], c(τ_{k}; …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ̂_{k}, …)⟩+

+⟨τ_{k}, c([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ̂_{k}, …)⟩}

On voit que le second terme est égale à −\frac{C}{n(n−1)}.

D’autre part, il est facile à voir que

∑_{i<j<k} (−1)^{i+j+k}Cycle_{ijk}d⟨[τ_{i}, τ_{j}], c(τ_{k}; …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ̂_{k}, …)⟩ =

= −(n − 2) ∑_{i<j} (−1)^{i+j}d⟨[τ_{i}, τ_{j}], c(…, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩ = −(n − 2)A,

d’où le lemme 10.5. Preuve du lemme 10.7 12.8. On a

−Qd_{DR}^{(0)}c(τ′, τ′′; τ_{1}, …, τ_{n−1}) = −Sym_{τ′,τ′′}⟨τ′, d_{DR}^{(0)}c(τ′′, …)⟩ =

= Sym_{τ′,τ′′}{∑_{i} (−1)^{i}⟨τ′, c([τ′′, τ_{i}], …, τ̂_{i}, …)⟩+

+ ∑_{i<j} (−1)^{i+j}⟨τ′, c([τ_{i}, τ_{j}], τ′′, …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)⟩+

+⟨τ′, τ′′c(τ_{1}, …)⟩ + ∑_{i} (−1)^{i}⟨τ′, τ_{i}c(τ′′, …, τ̂_{i}, …)⟩−

−\frac{1}{n}⟨τ′, d⟨τ′′, c(τ_{1}, …)⟩⟩ + \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i+1}⟨τ′, d⟨τ_{i}, c(τ′′, …, τ̂_{i}, …)⟩⟩\} =

= A + B + C + D + E + F

Évidemment,

B = ∑_{i<j} (−1)^{i+j+1}Qc(τ′, τ′′; [τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …)

12.9. On a

⟨τ′, τ′′c(τ_{1}, …)⟩ = τ′′⟨τ′, c(τ_{1}, …)⟩ − ⟨[τ′′, τ′], c(τ_{1}, …)⟩,

d’où

C = Sym_{τ′,τ′′}τ′′⟨τ′, c(τ_{1}, …)⟩

On a

D = ∑_{i} (−1)^{i}Sym_{τ′,τ′′}{τ_{i}⟨τ′, c(τ′′, …, τ̂_{i}, …)⟩ − ⟨[τ_{i}, τ′], c(τ′′, …, τ̂_{i}, …)⟩} =

= D′ + D′′,

où

D′ = ∑_{i} (−1)^{i}τ_{i}Qc(τ′, τ′′; …, τ̂_{i}, …)

et

A + D′′ = ∑_{i} (−1)^{i+1}Sym_{τ′,τ′′}Qc(τ′, [τ_{i}, τ′′]; …, τ̂_{i}, …)

12.10. Ensuite, ⟨τ′, d⟨τ′′, c(τ_{1}, …)⟩⟩ = τ′⟨τ′′, c(τ_{1}, …)⟩ − d⟨τ′, ⟨τ′′, c(τ_{1}, …)⟩⟩, donc

E = −\frac{1}{n}Sym_{τ′,τ′′}τ′⟨τ′′, c(τ_{1}, …)⟩,

d’où

C + E = \frac{n − 1}{n}Sym_{τ′,τ′′}τ′⟨τ′′, c(τ_{1}, …)⟩

12.11. Enfin,

F = \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i+1}Sym_{τ′,τ′′}\{τ′⟨τ_{i}, c(τ′′, …, τ̂_{i}, …)⟩−

−d⟨τ′, ⟨τ_{i}, c(τ′′, …, τ̂_{i}, …)⟩} = F′ + F′′,

où

C + E + F′ = \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i+1}Sym_{τ′,τ′′}τ′Qc(τ′′, τ_{i}; …, τ̂_{i}, …)

et

F′′ = \frac{1}{n} ∑_{i} (−1)^{i+1}d⟨τ_{i}, Qc(τ′, τ′′; …, τ̂_{i}, …)⟩

En ajoutant, on obtient

−Qd_{DR}^{(0)}c(τ′, τ′′; τ_{1}, …, τ_{n−1}) = −d_{DR}^{(1)}Qc(τ′, τ′′; τ_{1}, …, τ_{n−1})

où d_{DR}^{(1)} est défini dans 10.6, cqfd.

12.12. Preuve du lemme 10.8. En effet,

Q(τc)(τ′, τ′′, τ′′) = Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}⟨τ′, (τc)(τ′′, τ′′′)⟩ = = Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}⟨τ′, τc(τ′′, τ′′′) − c([τ, τ′′], τ′′′) − c(τ′′, [τ, τ′′′])⟩ = = Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}{τ⟨τ′, c(τ′′, τ′′′)⟩ − ⟨[τ, τ′], c(τ′′, τ′′′)⟩−

−⟨τ′, c([τ, τ′′], τ′′′) + c(τ′′, [τ, τ′′′])⟩}

D’autre part,

Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}τ⟨τ′, c(τ′′, τ′′′)⟩ = τQc(τ′, τ′′, τ′′′)

et

Q([τ, τ′], τ′′, τ′′′) + Q(τ′, [τ, τ′′], τ′′′) + Q(τ′, τ′′, [τ, τ′′′]) =
= Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}Qc([τ, τ′], τ′′, τ′′′) =

= Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}{⟨[τ, τ′], c(τ′′, τ′′′)⟩ + ⟨τ′′, c(τ′′′, [τ, τ′])⟩ + ⟨τ′′′, c([τ, τ′], τ′′)⟩}, d’où l’assertion.

Preuve de lemme 10.10 12.13. Le lemme 10.8 entraîne que Qd_{Ch} = d_{Ch}Q. D’un autre côté,

QE′c(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}⟨τ′, E′c(τ′′, τ′′′; τ)⟩ =

= \frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}Sym_{τ′′,τ′′′}⟨τ′, τ′′c(τ′′′, τ)⟩ =

= \frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′,τ′′′}⟨τ′, τ′′c(τ′′′, τ)⟩ = \frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′,τ′′′}τ′′⟨τ′, c(τ′′′, τ)⟩ =

= \frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}Sym_{τ′′,τ′′′}τ′⟨τ′′, c(τ′′′, τ)⟩

12.14. Par contre,

QE′′c(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}⟨τ′, E′′c(τ′′, τ′′′; τ)⟩ =

= \frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}τ′, d⟨τ, c(τ′′, τ′′′)⟩⟩ = \frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}τ′⟨τ, c(τ′′, τ′′′)⟩⟩

En ajoutant,

QEc(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = \frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}τ′\{⟨τ, c(τ′′, τ′′′)⟩⟩ + Sym_{τ′′,τ′′′}⟨τ′′, c(τ′′′, τ)⟩\}

D’autre part,

EQc(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = \frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}τ′Qc(τ′′, τ′′′, τ) =

= \frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}τ′\{⟨τ′′, c(τ′′′, τ)⟩ + ⟨τ′′′, c(τ, τ′′)⟩ + ⟨τ, c(τ′′, τ′′′)⟩\} =

= QEc(τ′, τ′′, τ′′′; τ),

i.e. QE = EQ, d’où le lemme. Preuve du théorème 10.12

(a) Relation d_{DR}^{2} = QR + RQ 12.15. Lemme.

d_{DR}^{(1)2}c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{6}(A + D + G + K + J),

où

A = d⟨[τ_{1}, τ_{2}], c(τ′, τ′′)⟩
D = Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}d⟨τ_{1}, c([τ_{2}, τ′], τ′′)⟩
G = Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}d⟨[τ′, τ_{1}], c(τ′′, τ_{2})⟩

et

K = Sym_{τ′,τ′′}τ′c([τ_{1}, τ_{2}], τ′′)

J = Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}τ′c([τ′′, τ_{1}], τ_{2})

Nous laissons le vérification de ce lemme au lecteur.

12.16. D’autre part, considérons le composé

Hom(S^{2}T, Ω) ⟶^{R} Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) ⟶^{Q} Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

On a

Rc(τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}) = −\frac{1}{6}Cycle_{123}dc([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3}),

d’où

QRc(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = Sym_{τ′,τ′′}⟨τ′, Rc(τ′′, τ_{1}, τ_{2})⟩ =

= −\frac{1}{6}Sym_{τ′,τ′′}⟨τ′, dc([τ′′, τ_{1}], τ_{2}) + dc([τ_{1}, τ_{2}], τ′′) + dc([τ_{2}, τ′′], τ_{1})⟩ =

= −\frac{1}{6}(K′ + J′),

où

K′ = Sym_{τ′,τ′′}⟨τ′, dc([τ_{1}, τ_{2}], τ′′)⟩

et

J′ = Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}⟨τ′, dc([τ′′, τ_{1}], τ_{2})⟩

12.17. Par contre, définissons des opérateurs

R′, R′′ : Hom(S^{3}T, A) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

par

R′c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = dc(τ′, τ′′, [τ_{1}, τ_{2}])

et

R′′c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}dc(τ′, [τ′′, τ_{1}], τ_{2})

Alors

R′Qc(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = dQc(τ′, τ′′, [τ_{1}, τ_{2}]) =
= d⟨τ′, c(τ′′, [τ_{1}, τ_{2}])⟩ + d⟨τ′′, c([τ_{1}, τ_{2}], τ′)⟩ + d⟨[τ_{1}, τ_{2}], c(τ′, τ′′)⟩ =
= A + K′′,

où

K′′ = Sym_{τ′,τ′′}d⟨τ′, c(τ′′, [τ_{1}, τ_{2}])⟩

12.18. De plus,

R′′Qc(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}dQc(τ′, [τ′′, τ_{1}], τ_{2}) =

= Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}d{⟨τ′, c([τ′′, τ_{1}], τ_{2})⟩ + ⟨[τ′′, τ_{1}], c(τ_{2}, τ′)⟩ + ⟨τ_{2}, c(τ′, [τ′′, τ_{1}])⟩} = = J′′ + G + D, où

J′′ = Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}d⟨τ′, c([τ′′, τ_{1}], τ_{2})⟩

Bien sûr, J′ + J′′ = J et K′ + K′′ = K, donc, si l’on pose

R = −\frac{1}{6}(R′ + R′′),

on obtiendra

RQ + QR = d_{DR}^{2}

Cela démontre la deuxième formule du théorème. (b) Relation d_{DR}R = Rd_{DR} 12.19. Considérons le composé

Hom(S^{2}T, Ω) ⟶^{R} Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) ⟶^{d_{DR}} Hom(Λ^{4}T, Ω^{2})

On a

Rc(τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}) = −\frac{1}{6} Cycle_{123} dc([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3}) = −\frac{1}{12} Alt_{123} dc([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3})

et d_{DR} = −d′_{Ch} − d′′_{Ch} − E, où

d′_{Ch}c(τ_{1}, …) = ∑_{i<j} (−1)^{i+j}c([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …),

d′_{Ch}c(τ_{1}, …) = ∑_{i} (−1)^{i+1}τ_{i}c(…, τ̂_{i}, …)

et

Ec(τ_{1}, …, τ_{4}) = \frac{1}{4} ∑_{i} (−1)^{i}d⟨τ_{i}, c(…, τ̂_{i}, …)⟩

Après un petit calcul,

d′_{Ch}Rc(τ_{1}, …, τ_{4}) = A :=

= \frac{1}{3} d\{c([τ_{1}, τ_{2}], [τ_{3}, τ_{4}]) − c([τ_{1}, τ_{3}], [τ_{2}, τ_{4}]) + c([τ_{1}, τ_{4}], [τ_{2}, τ_{3}])\} =

= \frac{1}{24} Alt_{1234} dc([τ_{1}, τ_{2}], [τ_{3}, τ_{4}])

Ensuite,

d′′_{Ch}Rc(τ_{1}, …, τ_{4}) = −\frac{1}{12} Alt_{1234} dτ_{1}c([τ_{2}, τ_{3}], τ_{4})

Enfin,

ERc(τ_{1}, …, τ_{4}) = \frac{1}{48} Alt_{1234} d⟨τ_{1}, dc([τ_{2}, τ_{3}], τ_{4})⟩ = \frac{1}{48} Alt_{1234} dτ_{1}c([τ_{2}, τ_{3}], τ_{4}),

d’où

(d′′_{Ch} + E)Rc(τ_{1}, …, τ_{4}) = −\frac{1}{16} Alt_{1234} dτ_{1}c([τ_{2}, τ_{3}], τ_{4}) = B

12.20. D’un autre côté, considérons le composé

Hom(S^{2}T, Ω) ⟶^{d_{DR}} Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω) ⟶^{R} Hom(Λ^{4}T, Ω^{2})

On a

−d_{DR}c(τ_{1}, τ_{2}; τ) = −τc(τ_{1}, τ_{2}) + c([τ, τ_{1}], τ_{2}) + c(τ_{1}, [τ, τ_{2}])+

+\frac{1}{2}\{τ_{1}c(τ_{2}, τ) + τ_{2}c(τ_{1}, τ) + d⟨τ, c(τ_{1}, τ_{2})⟩

et

Rc(τ_{1}, …, τ_{4}) = −\frac{1}{24} Alt_{1234} dc([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3}; τ_{4})

Donc

−Rd_{DR}c(τ_{1}, …, τ_{4}) = \frac{1}{24} Alt_{1234} dd_{DR}c([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3}; τ_{4}) =

= −\frac{1}{24} Alt_{1234} d\{−τ_{4}c([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3}) + c([τ_{4}, [τ_{1}, τ_{2}]], τ_{3}) + c([τ_{1}, τ_{2}], [τ_{4}, τ_{3}])+

+\frac{1}{2} [τ_{1}, τ_{2}]c(τ_{3}, τ_{4}) + \frac{1}{2} τ_{3}c([τ_{1}, τ_{2}], τ_{4})\} =

(le deuxième et le quatrième termes étant zéro, le premier étant proportionel au cinquième)

= −\frac{1}{24} Alt_{1234} d\{\frac{3}{2} τ_{1}c([τ_{2}, τ_{3}], τ_{4}) − c([τ_{1}, τ_{2}], [τ_{3}, τ_{4}])\} = B + A,

d’où d_{DR}R = Rd_{DR}.

Cela achève la preuve du théorème 10.12 et la construction du bicomplexe tordu KR(3)^{··}.

§13. Construction du cocycle intéressant

Dans cette section on va démontrer le théorème 10.14.

(a) Preuve de la relation d_{DR}{, , } − Q⟨,; ⟩ = 0

13.1. On a défini ρ_{𝔟} ∈ Hom(T^{⊗3}, A) par

ρ_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = τ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(a)

et

\{τ, τ′, τ′′\}_{𝔟} = −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}ρ(τ, τ′, τ′′) = −\frac{1}{6}Sym_{τ,τ′,τ′′}ρ(τ, τ′, τ′′)

La flèche

d_{DR} : Hom(S^{3}T, A) ⟶ Hom(S^{3}T ⊗ T, A)

est défini par d_{DR} = d_{Ch} + E, où

d_{Ch}c(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = Lie_{τ} c(τ′, τ′′, τ′′′)

et

Ec(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = −\frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}τ′c(τ′′, τ′′′, τ)

On veut calculer d_{DR}{, , }_{𝔟}.

On a

Lie_{τ} ρ(τ′, τ′′, τ′′′) = τρ(τ′, τ′′, τ′′′)−
−{ρ([τ, τ′], τ′′, τ′′′) + ρ(τ′, [τ, τ′′], τ′′′) + ρ(τ′, τ′′, [τ, τ′′′])},

où

ρ([τ, τ′], τ′′, τ′′′) + ρ(τ′, [τ, τ′′], τ′′′) + ρ(τ′, τ′′, [τ, τ′′′]) =
= Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}ρ([τ, τ′], τ′′, τ′′′)

13.2. Lemme.

Lie_{aτ_{i}}ρ(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}} bτ_{j}τ_{l}(a)τ_{i}(c)τ_{k}(e) =
= Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}⟨bτ_{j}, dτ_{l}(a)τ_{i}(c)τ_{k}(e)⟩

En effet,

Lie_{aτ_{i}}ρ(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = (aτ_{i})ρ(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) − Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}ρ([aτ_{i}, bτ_{j}], cτ_{k}, eτ_{l})

Nous avons

(aτ_{i})ρ(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = aτ_{i}[τ_{l}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)] =
= Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}aτ_{i}τ_{l}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e) = 5

D’un autre côté,

−Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}ρ([aτ_{i}, bτ_{j}], cτ_{k}, eτ_{l}) =
= −Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}ρ(aτ_{i}(b)τ_{j} − bτ_{j}(a)τ_{i}, cτ_{k}, eτ_{l}) =
= Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}[−τ_{l}(aτ_{i}(b))τ_{j}(c)τ_{k}(e) + τ_{l}(bτ_{j}(a))τ_{i}(c)τ_{k}(e)] =
= Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}[−{τ_{l}(a)τ_{i}(b) + aτ_{l}τ_{i}(b)}τ_{j}(c)τ_{k}(e)+
+{τ_{l}(b)τ_{j}(a) + bτ_{l}τ_{j}(a)}τ_{i}(c)τ_{k}(e)] =: 1 + 2 + 3 + 4

On voit aussitôt que 1 + 3 = 0, tandis que 5 + 2 = 0; donc on est lassé avec 4, ce qui coïncide avec notre réponse.

13.3. Corollaire.

Sym_{bτ_{j},cτ_{k}}Lie_{aτ_{i}}ρ(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) =
= Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}⟨bτ_{j}, Sym_{cτ_{k},eτ_{l}}dτ_{l}(a)τ_{i}(c)τ_{k}(e)⟩

13.4. L’opérateur

Q : Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(S^{3}T ⊗ T, A)

est défini par

Qc(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}⟨τ′, c(τ′′, τ′′′; τ)⟩

On définit l’élément

⟨,; ⟩′_{𝔟} ∈ Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω)

par

⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}⟩′_{𝔟} = −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}dτ_{j}(c)τ_{k}(a)τ_{i}(b)

Alors 13.3 se récrit comme

d_{Ch}{, , }_{𝔟}(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}; aτ_{i}) = Q⟨,; ⟩′_{𝔟}(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}; aτ_{i})

i.e.

d_{Ch}{, , }_{𝔟} = Q⟨,; ⟩′_{𝔟}  (13.4.1)

13.5. D’un autre côté, pour c ∈ Hom(S^{3}T, A),

Ec(τ′, τ′′, τ′′′; τ) = −\frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}τ′c(τ′′, τ′′′, τ) =

= −\frac{1}{2}Cycle_{τ′,τ′′,τ′′′}⟨τ′, dc(τ′′, τ′′′, τ)⟩ = Qc′(τ′, τ′′, τ′′′; τ),

où c′ ∈ Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω) est défini par

c′(τ′, τ′′; τ) = −\frac{1}{2}dc(τ′, τ′′, τ)

Donc si l’on définit ⟨,; ⟩′′_{𝔟} ∈ Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω) par

⟨τ′, τ′′; τ⟩′′_{𝔟} = −\frac{1}{2}d\{τ′, τ′′, τ\}_{𝔟}

alors E{, , }_{𝔟} = Q⟨,; ⟩′′_{𝔟}.

En ajoutant avec (13.4.1), on obtient

d_{DR}{, , }_{𝔟} = Q⟨,; ⟩_{𝔟},

où

⟨,; ⟩_{𝔟} = ⟨,; ⟩′_{𝔟} + ⟨,; ⟩′′_{𝔟}

Cela coîncide avec (10.14.1).

(b) Preuve de la relation d_{DR}⟨,; ⟩_{𝔟} − R{, , }_{𝔟} + Qc_{𝔟} = 0 13.6. Rappelons que l’opérateur

d_{DR} : Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{2}T, Ω),

défini par d_{DR} = d_{Ch} + E′ + E′′, où

d_{Ch}c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = −c(τ′, τ′′; [τ_{1}, τ_{2}]) + Alt_{12}τ_{1}c(τ′, τ′′; τ_{2})+

−Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}c([τ_{1}, τ′], τ′′; τ_{2}) =
= (d′_{Ch} + d′′_{Ch} + d′′′_{Ch})c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2})

et

E′c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{3}Sym_{τ′,τ′′}Alt_{12}τ′c(τ′′, τ_{1}; τ_{2})

E′′c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{3}Alt_{12}d⟨τ_{1}, c(τ′, τ′′; τ_{2})⟩,

cf. 10.6.

D’un autre côté,

R : Hom(S^{3}T, A) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ Λ^{2}T, Ω)

est défini par R = −\frac{1}{6}(R′ + R′′), où

R′c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = dc(τ′, τ′′, [τ_{1}, τ_{2}])

et

R′′c(τ′, τ′′; τ_{1}, τ_{2}) = Sym_{τ′,τ′′} Alt_{12} dc(τ′, [τ′′, τ_{1}], τ_{2}),

cf. 10.11.

Notre but sera calculer d_{DR}⟨,; ⟩_{𝔟} − R{, , }_{𝔟}.

13.7. d_{Ch}⟨,; ⟩′_{𝔟}.

On a

d′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} = −⟨aτ_{i}, bτ_{j}; [cτ_{k}, eτ_{l}]⟩′_{𝔟} =

= Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}(e)τ_{l}⟩′_{𝔟} =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}dτ_{j}\{cτ_{k}(e)\}τ_{l}(a)τ_{i}(b) =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}\{dτ_{j}(c)τ_{k}(e) + dcτ_{j}τ_{k}(e) + τ_{j}(c)dτ_{k}(e) + cdτ_{j}τ_{k}(e)\}τ_{l}(a)τ_{i}(b)

Ensuite, d′′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} = Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}(cτ_{k})⟨aτ_{i}, bτ_{j}; eτ_{l}⟩′_{𝔟} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}(cτ_{k})\{dτ_{j}(e)τ_{l}(a)τ_{i}(b)\} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}

{cdτ_{k}τ_{j}(e)τ_{l}(a)τ_{i}(b)+cdτ_{j}(e)τ_{k}τ_{l}(a)τ_{i}(b)+cdτ_{j}(e)τ_{l}(a)τ_{k}τ_{i}(b)+dcτ_{k}τ_{j}(e)τ_{l}(a)τ_{i}(b)} Enfin,

d′′′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} = Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}⟨[eτ_{l}, aτ_{i}], bτ_{j}; cτ_{k}⟩′_{𝔟} =
= −Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}⟨eτ_{l}(a)τ_{i} − aτ_{i}(e)τ_{l}, bτ_{j}; cτ_{k}⟩′_{𝔟} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}

{dτ_{j}(c)τ_{k}(eτ_{l}(a))τ_{i}(b) + dτ_{i}(c)τ_{k}(b)τ_{j}(eτ_{l}(a))− −dτ_{j}(c)τ_{k}(aτ_{i}(e))τ_{l}(b) − dτ_{l}(c)τ_{k}(b)τ_{j}(aτ_{i}(e))} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}

{dτ_{j}(c){τ_{k}(e)τ_{l}(a) + eτ_{k}τ_{l}(a)}τ_{i}(b) + dτ_{i}(c)τ_{k}(b){τ_{j}(e)τ_{l}(a) + eτ_{j}τ_{l}(a)}−

−dτ_{j}(c){τ_{k}(a)τ_{i}(e) + aτ_{k}τ_{i}(e)}τ_{l}(b) − dτ_{l}(c)τ_{k}(b){τ_{j}(a)τ_{i}(e) + aτ_{j}τ_{i}(e)}} (13.7.1)

En ajoutant, il ne reste qu’une moitié de la dernière ligne:

d_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} = \frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}\{dτ_{j}(c)aτ_{k}τ_{i}(e)τ_{l}(b)+dτ_{l}(c)τ_{k}(b)aτ_{j}τ_{i}(e)\} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}⟨aτ_{i}, Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}τ_{l}(b)dτ_{j}(c)dτ_{k}(e)⟩  (13.7.1)

13.8. E⟨,; ⟩′_{𝔟} Nous avons

E′⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} = −\frac{1}{3}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}(aτ_{i})⟨bτ_{j}, cτ_{k}; eτ_{l}⟩′_{𝔟} =

= −\frac{1}{3}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}\{⟨aτ_{i}, d⟨bτ_{j}, cτ_{k}; eτ_{l}⟩′_{𝔟}⟩ + d⟨aτ_{i}, ⟨bτ_{j}, cτ_{k}; eτ_{l}⟩′_{𝔟}⟩\},

où

d⟨bτ_{j}, cτ_{k}; eτ_{l}⟩′_{𝔟} = −\frac{1}{2}Sym_{bτ_{j},cτ_{k}}d\{dτ_{k}(e)τ_{l}(b)τ_{j}(c)\} =

= −\frac{1}{2}Sym_{bτ_{j},cτ_{k}}\{−dτ_{k}(e)dτ_{l}(b)τ_{j}(c) − dτ_{k}(e)τ_{l}(b)dτ_{j}(c)\} =

= \frac{1}{2}\{dτ_{k}(e)dτ_{l}(b)τ_{j}(c) + dτ_{k}(e)τ_{l}(b)dτ_{j}(c)+

+dτ_{j}(e)dτ_{l}(c)τ_{k}(b) + dτ_{j}(e)τ_{l}(c)dτ_{k}(b)}

et

⟨aτ_{i}, ⟨bτ_{j}, cτ_{k}; eτ_{l}⟩′_{𝔟}⟩ =

= −\frac{1}{2}⟨aτ_{i}, dτ_{k}(e)τ_{l}(b)τ_{j}(c) + dτ_{j}(e)τ_{l}(c)τ_{k}(b)⟩ =

= −\frac{1}{2}\{aτ_{i}τ_{k}(e)τ_{l}(b)τ_{j}(c) + aτ_{i}τ_{j}(e)τ_{l}(c)τ_{k}(b)\}

Donc

E′⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} = A + B,

où

A = −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}⟨aτ_{i},

−2τ_{l}(b)dτ_{j}(c)dτ_{k}(e) + τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(b) + τ_{k}(e)dτ_{l}(b)dτ_{j}(c)⟩

et

B = \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{aτ_{i}τ_{k}(e)τ_{l}(b)τ_{j}(c) + aτ_{i}τ_{j}(e)τ_{l}(c)τ_{k}(b)\} (13.8.1)

13.9. En ajoutant (13.7.1),

d_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} + A =

= −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}⟨aτ_{i}, Cycle_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}τ_{l}(b)dτ_{j}(c)dτ_{k}(e)⟩ =

= −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}⟨aτ_{i}, Alt_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}τ_{l}(b)dτ_{j}(c)dτ_{k}(e)⟩

13.10. D’un autre côté,

E′′⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} = −\frac{1}{3}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d⟨cτ_{k}, ⟨aτ_{i}, bτ_{j}; eτ_{l}⟩′_{𝔟}⟩ =

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d⟨cτ_{k}, dτ_{j}(e)τ_{l}(a)τ_{i}(b)⟩ =

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{cτ_{k}τ_{j}(e)τ_{l}(a)τ_{i}(b)\} = C

13.11. d_{Ch}⟨,; ⟩′′_{𝔟} On a

d′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} = −⟨aτ_{i}, bτ_{j}; [cτ_{k}, eτ_{l}]⟩′′_{𝔟} =

= Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}(e)τ_{l}⟩′′_{𝔟} = Alt_{cτ_{k},eτ_{l}} \frac{1}{2}d\{aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}(e)τ_{l}\}_{𝔟} =

= −\frac{1}{4}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(cτ_{k}(e))\} =

= −\frac{1}{4}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{l}(a)τ_{i}(b)\{τ_{j}(c)τ_{k}(e) + cτ_{j}τ_{k}(e)\}\}  (13.11.1)

Ensuite,

d′′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} = Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}(cτ_{k})⟨aτ_{i}, bτ_{j}; eτ_{l}⟩′′_{𝔟} =

= −\frac{1}{2}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}(cτ_{k})d\{aτ_{i}, bτ_{j}, eτ_{l}\}_{𝔟} =

= \frac{1}{4}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{cτ_{k}\{τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(e)\}\}  (13.11.2)

Enfin,

d′′′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} = Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}⟨[eτ_{l}, aτ_{i}], bτ_{j}; cτ_{k}⟩′′_{𝔟} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{[eτ_{l}, aτ_{i}], bτ_{j}, cτ_{k}\}_{𝔟} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{eτ_{l}(a)τ_{i} − aτ_{i}(e)τ_{l}, bτ_{j}, cτ_{k}\}_{𝔟} =

= \frac{1}{4}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{k}(eτ_{l}(a))τ_{i}(b)τ_{j}(c) + τ_{j}(eτ_{l}(a))τ_{i}(c)τ_{k}(b)−

−τ_{k}(aτ_{i}(e))τ_{l}(b)τ_{j}(c) − τ_{j}(aτ_{i}(e))τ_{l}(c)τ_{k}(b)}  (13.11.3)

13.12. E⟨,; ⟩′′_{𝔟} Nous avons

E′⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} = −\frac{1}{3}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}(aτ_{i})⟨bτ_{j}, cτ_{k}; eτ_{l}⟩′′_{𝔟} =

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}(aτ_{i})d\{bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}\}_{𝔟} = 0

car {bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}}_{𝔟} est symétrique. D’un autre côté,

E′′⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} = −\frac{1}{3}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d⟨cτ_{k}, ⟨aτ_{i}, bτ_{j}; eτ_{l}⟩′′_{𝔟}⟩ =

= \frac{1}{6}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d⟨cτ_{k}, d\{aτ_{i}, bτ_{j}, eτ_{l}\}_{𝔟}⟩ = \frac{1}{6}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{cτ_{k}\{aτ_{i}, bτ_{j}, eτ_{l}\}_{𝔟}\} =

= −\frac{1}{12}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{cτ_{k}\{τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(e)\}\}

13.13. Il en suit que

{d′′_{Ch} + E}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} =

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{cτ_{k}\{τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(e)\}\}

13.14. Nous avons

−\frac{1}{6}R′\{aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}\}_{𝔟} = −\frac{1}{6}d\{aτ_{i}, bτ_{j}, [cτ_{k}, eτ_{l}]\}_{𝔟} =

= −\frac{1}{3}d′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟}

Donc

d′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} + \frac{1}{6}R′\{aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}\}_{𝔟} =

= \frac{4}{3}d′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} =

(voir (13.11.1))

= −\frac{1}{3}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{l}(a)τ_{i}(b)\{τ_{j}(c)τ_{k}(e) + cτ_{j}τ_{k}(e)\}\}  (13.14.1)

13.15. D’un autre côté,

−\frac{1}{6}R′′\{aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}\}_{𝔟} = −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{aτ_{,}[bτ_{j}, cτ_{k}], eτ_{l}\}_{𝔟} =

= \frac{1}{3}d′′′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟}

Donc

d′′′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} + \frac{1}{6}R′′\{aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}\}_{𝔟} =

= \frac{2}{3}d′′′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} =

(voir (13.11.3))

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{k}(eτ_{l}(a))τ_{i}(b)τ_{j}(c) + τ_{j}(eτ_{l}(a))τ_{i}(c)τ_{k}(b)−

−τ_{k}(aτ_{i}(e))τ_{l}(b)τ_{j}(c) − τ_{j}(aτ_{i}(e))τ_{l}(c)τ_{k}(b)} = α + β + γ + δ Regardons cette dernière expression plus attentivement. On a

α = \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{k}(eτ_{l}(a))τ_{i}(b)τ_{j}(c)\} =

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{k}(e)τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c) + eτ_{k}τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c)\} =

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{k}(e)τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c) − cτ_{k}τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(e)\}

Par contre,

δ = −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{j}(aτ_{i}(e))τ_{l}(c)τ_{k}(b)\} =

= −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{aτ_{j}τ_{i}(e)τ_{l}(c)τ_{k}(b) + τ_{j}(a)τ_{i}(e)τ_{l}(c)τ_{k}(b)\} =

= −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{aτ_{j}τ_{i}(e)τ_{l}(c)τ_{k}(b) − τ_{k}(e)τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c)\}

D’un autre côté,

β = \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{j}(eτ_{l}(a))τ_{i}(c)τ_{k}(b)\} =

(sic!)

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{eτ_{j}τ_{l}(a)τ_{i}(c)τ_{k}(b)\} =

= −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{cτ_{i}τ_{k}(b)τ_{j}(e)τ_{l}(a)\}

De même,

γ = −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{k}(aτ_{i}(e))τ_{l}(b)τ_{j}(c)\} =

= −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{aτ_{k}τ_{i}(e)τ_{l}(b)τ_{j}(c)\}

13.16. En ajoutant avec B (cf. (13.8.1)),

d′′′_{Ch}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} + \frac{1}{6}R′′\{aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}\}_{𝔟} + B =

= \frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}Alt_{cτ_{k},eτ_{l}}d\{2τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)−

−cτ_{k}τ_{l}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(e) − cτ_{i}τ_{k}(b)τ_{j}(e)τ_{l}(a)}

En ajoutant 13.13 et (13.14.1), on obtient 13.17. Lemme.

d_{DR}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩′′_{𝔟} − R{aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}}_{𝔟} + B − C = 0,

où C est défini dans 13.10. Donc 13.9 et 13.10 entraînent 13.18. Corollaire.

d_{DR}⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}⟩_{𝔟} − R{aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}, eτ_{l}}_{𝔟} =

= −\frac{1}{6}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}⟨aτ_{i}, Alt_{bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}τ_{l}(b)dτ_{j}(c)dτ_{k}(e)⟩

Autrement dit, on est arrivé au 13.19. Théorème. Définissons l’élément c_{𝔟} ∈ Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) par

c(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = \frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}}τ_{k}(a)dτ_{i}(b)dτ_{j}(c)

Alors

d_{DR}⟨,; ⟩_{𝔟} − R{, , }_{𝔟} = −Qc_{𝔟}

Cela n’est autre que la relation (10.14.2).

(c) Preuve de la relation d_{DR}c_{𝔟} + R⟨,; ⟩_{𝔟} = 0 13.20. Rappelons les opérateurs

d_{DR} : Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) ⟶ Hom(Λ^{4}T, Ω^{2}),

d_{DR} = −d_{Ch} − E, où

d_{Ch}c(τ_{1}, …) = {d′_{Ch} + d′′_{Ch}}c(τ_{1}, …) =

= ∑_{i<j} (−1)^{i+j}c([τ_{i}, τ_{j}], …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …) + ∑_{i} (−1)^{i+1}τ_{i}c(…, τ̂_{i}, …);

Ec(τ_{1}, …, τ_{4}) = \frac{1}{4} ∑_{i} (−1)^{i}d⟨τ_{i}, c(…, τ̂_{i}, …)⟩

(cf. 10.1) et

R : Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{4}T, Ω^{2}),

où

Rc(τ_{1}, …, τ_{4}) =

= −\frac{1}{12} ∑_{i<j<k} (−1)^{i+j+k}Cycle_{ijk}dc([τ_{i}, τ_{j}], τ_{k}; …, τ̂_{i}, …, τ̂_{j}, …, τ̂_{k}, …) =

= −\frac{1}{24}Alt_{1234}dc([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3}; τ_{4})

(cf. 10.4).

Notre but sera calculer d_{DR}c_{𝔟} + R⟨,; ⟩_{𝔟}.

13.21. Posons

μ(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = τ_{i}(b)dτ_{j}(c)dτ_{k}(a)

Alors

c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = \frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}}μ(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k})

Définissons

σ(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = Cycle_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}}μ(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k})

Alors

c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = \frac{1}{6}Alt_{bτ_{j},cτ_{k}}σ(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k})

Nous avons

d′_{Ch}c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}σ(aτ_{i}(b)τ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}[τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}\{aτ_{i}(b)\}+

+τ_{k}(e)dτ_{l}{aτ_{i}(b)}dτ_{j}(c) + τ_{l}{aτ_{i}(b)}dτ_{j}(c)dτ_{k}(e)]  (13.21.1)

D’un autre côté,

d′′_{Ch}c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = \frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}[(aτ_{i})\{μ(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l})\}] =

= \frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}[(aτ_{i})\{τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(b)\}] =

= \frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}[aτ_{i}τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(b) + τ_{j}(c)adτ_{i}τ_{k}(e)dτ_{l}(b)+

+τ_{j}(c)dτ_{k}(e)adτ_{i}τ_{l}(b) + τ_{j}(c)τ_{i}τ_{k}(e)dadτ_{l}(b) + τ_{j}(c)dτ_{k}(e)τ_{i}τ_{l}(b)da] (13.21.2)

13.22. Considérons (13.21.1) + (13.21.2). Alors tous les termes de la forme τ_{j}(c)dτ_{k}(e)adτ_{i}τ_{l}(b), τ_{j}(c)τ_{i}τ_{k}(e)dadτ_{l}(b) et aτ_{i}τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(b) disparaîssent, d’où

d_{Ch}c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}[τ_{j}(c)dτ_{k}(e)\{τ_{l}(a)dτ_{i}(b)+dτ_{l}(a)τ_{i}(b)\}+

+τ_{k}(e){τ_{l}(a)dτ_{i}(b) + dτ_{l}(a)τ_{i}(b)}dτ_{j}(c) + τ_{l}(a)τ_{i}(b)dτ_{j}(c)dτ_{k}(e)] =

= 1 + 1′ + 2 + 2′ + 3

On voit aussitôt que 1 = 2′ = 0 et 2 + 3 = 0, donc

d_{Ch}c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(a)τ_{i}(b)

13.23. D’un autre côté, considérons

Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d{τ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)dτ_{l}(a)} =

= Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}{dτ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)dτ_{l}(a)+τ_{i}(b)dτ_{j}(c)τ_{k}(e)dτ_{l}(a)+τ_{i}(b)τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(a)} On voit sans peine que

Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}dτ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)dτ_{l}(a) = Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}τ_{i}(b)τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(a) et

Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}τ_{i}(b)dτ_{j}(c)τ_{k}(e)dτ_{l}(a) = 0,

d’où

Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d{τ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)dτ_{l}(a)} =
= 2Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}τ_{i}(b)τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(a)

On a démontré le

13.24. Lemme.

d_{Ch}c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}τ_{i}(b)τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(a) =

= −\frac{1}{12}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{i}(b)τ_{j}(c)τ_{k}(e)dτ_{l}(a)\}

13.25. On a

Ec_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}) = −\frac{1}{24}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d⟨aτ_{i}, μ(bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l})⟩ =

= −\frac{1}{24}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d⟨aτ_{i}, τ_{j}(c)dτ_{k}(e)dτ_{l}(b)⟩ =

= −\frac{1}{24}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{j}(c)aτ_{i}τ_{k}(e)dτ_{l}(b) − τ_{j}(c)dτ_{k}(e)aτ_{i}τ_{l}(b)\}

13.26. R⟨,; ⟩_{𝔟} Tout d’abord, R⟨,; ⟩′′_{𝔟} = 0 puisque d^{2} = 0. Ensuite,

R⟨aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}⟩′_{𝔟} = −\frac{1}{24}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d⟨[aτ_{i}, bτ_{j}], cτ_{k}; eτ_{l}⟩′_{𝔟} =

= −\frac{1}{12}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d⟨aτ_{i}(b)τ_{j}, cτ_{k}; eτ_{l}⟩′_{𝔟} =

= \frac{1}{24}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d\{τ_{l}(aτ_{i}(b))τ_{j}(c)dτ_{k}(e) + τ_{l}(c)τ_{k}(aτ_{i}(b))dτ_{j}(e)\} =

= \frac{1}{24}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k},eτ_{l}}d\{\{τ_{l}(a)τ_{i}(b) + aτ_{l}τ_{i}(b)\}τ_{j}(c)dτ_{k}(e)+

+τ_{l}(c){τ_{k}(a)τ_{i}(b) + aτ_{k}τ_{i}(b)}dτ_{j}(e)} = 1 + 1′ + 2 + 2′

On voit que

1 = 2 = \frac{1}{2}d_{Ch}c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l})

et

1′ + 2′ = Ec_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}, eτ_{l}),

d’où le 13.27. Théorème. d_{DR}c_{𝔟} + R⟨,; ⟩_{𝔟} = 0. Cela est la relation (10.14.3). La démonstration du théorème 10.14 est achevée.

§14. Construction de l’élément h′_{𝔟𝔟′}

14.1. Dans cette section on va calculer la quantité −d_{DR}h_{𝔟𝔟′} +d_{c}⟨,; ⟩_{𝔟𝔟′} et trouver l’élément h′_{𝔟𝔟′} ∈ Hom(Λ^{2}T, Ω^{2}) de l’équation (11.5.4): −d_{DR}h_{𝔟𝔟′} + d_{c}⟨,; ⟩_{𝔟𝔟′} = Qh′_{𝔟𝔟′} (on utilise toujours les notations de §11).

14.2. Rappelons que la flèche

d_{DR} : Hom(S^{2}T, Ω) ⟶ Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω),

est définie par d_{DR} = d_{Ch} + E, E = E′ + E′′, où

d_{Ch}c(τ′, τ′′; τ) = τc(τ′, τ′′) − Sym_{τ′,τ′′}c([τ, τ′], τ′′) = Lie_{τ} c(τ′, τ′′);

E′c(τ′, τ′′; τ) = −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′} τ′c(τ′′, τ) =

= −\frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}\{d⟨τ′, c(τ′′, τ)⟩ + ⟨τ′, dc(τ′′, τ)⟩\};

E′′c(τ′, τ′′; τ) = −\frac{1}{2}d⟨τ, c(τ′, τ′′)⟩

cf. 10.6. On rémarque que

Ec(τ′, τ′′; τ) = −\frac{1}{2}Cycle_{τ,τ′,τ′′}d⟨τ, c(τ′, τ′′)⟩ − \frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}⟨τ′, dc(τ′′, τ)⟩ =

= −\frac{1}{2}dQc(τ, τ′, τ′′) − \frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}⟨τ′, dc(τ′′, τ)⟩  (14.2.1)

L’élément h = {h_{𝔟𝔟′}} ∈ Č^{1}(𝔅; Hom(S^{2}T, Ω)) est défini par (cf. (9.3.1)) h = ∑_{i=0}^{2} h^{(i)}, où

h_{𝔟𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = \frac{1}{6}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}tr\{ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\};

h_{𝔟𝔟′}^{(1)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}[dϕϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)

et

h_{𝔟𝔟′}^{(2)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}τ′_{i}(b)[dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(a)

Notre premier but sera calculer d_{DR}h ∈ Č^{1}(𝔅; Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω)).

Il découle de (14.2.1) que

d_{DR}h(τ′, τ′′; τ) = d_{Ch}h(τ′, τ′′; τ) − \frac{1}{2}dQh(τ, τ′, τ′′) − \frac{1}{2}Sym_{τ′,τ′′}⟨τ′, dh(τ′′, τ)⟩

(14.2.2)

Donc il s’agit essentiellement de calculer d_{Ch}h.

14.3. Par contre, on aura évidemment besoin de \frac{1}{2}dh(τ′′, τ).

Donc écrivons-le. On rémarque que

tr d[ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}] = 0

D’autre part,

Sym_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr{ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ} = 0

Donc

\frac{1}{2}h_{𝔟,𝔟′}^{(0)}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{12}Sym_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr d\{ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\} =

= \frac{1}{12}Sym_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr d\{bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}\} =

= \frac{1}{12}Sym_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{ϕ^{−1}dbτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}b dτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ+

+ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dcτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ} =

= Dh0(1) + Dh0(2) + Dh0(3) + Dh0(4)

De même,

\frac{1}{2}h_{𝔟,𝔟′}^{(1)}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4}Sym_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr d\{[dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(c)\} =

= −\frac{1}{4}Sym_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{[−dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(c)+

+[dϕϕ^{−1}dbτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(c) + [dϕϕ^{−1}bdτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(c)−

−[dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(c) + [dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp}dτ′_{p}(c)} =

= Dh1(1) + Dh1(2) + Dh1(3) + Dh1(4) + Dh1(5)

Enfin,

\frac{1}{2}h_{𝔟,𝔟′}^{(2)}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4}Sym_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr d\{τ′_{j}(c)[dϕϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(b)\} =

= \frac{1}{4}Sym_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{dτ′_{j}(c)[dϕϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(b) + τ′_{j}(c)[dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(b)−

−τ′_{j}(c)[dϕϕ^{−1}]^{kp}dτ′_{p}(b)} =

= Dh2(1) + Dh2(2) + Dh2(3)

(a) Différentielle d_{Ch}h 14.4. Différentielle d_{Ch}h^{(0)}. Nous avons −d_{Ch}h_{𝔟,𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −(cτ′_{k})h_{𝔟,𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) + Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}h_{𝔟,𝔟′}^{(0)}([cτ′_{k}, aτ′_{i}], bτ′_{j})

Ici

−(cτ′_{k})h_{𝔟,𝔟′}^{(0)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = −\frac{1}{6}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}tr\{cτ′_{k}\{ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}+

+ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)dc} = h01 + h01′

Ici

h01 = −\frac{1}{6}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}tr\{

−ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}cτ′_{k}(a)τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ+ +ϕ^{−1}acτ′_{k}τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ − ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ+

+ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(b)τ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bcτ′_{k}τ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ− −ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cdτ′_{k}(ϕ)} = = h01(1) + h01(2) + h01(3) + h01(4) + h01(5) + h01(6) + h01(7) + h01(8) D’un autre côté, Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}h_{𝔟,𝔟′}^{(0)}([cτ′_{k}, aτ′_{i}], bτ′_{j}) = Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}h_{𝔟,𝔟′}^{(0)}(cτ′_{k}(a)τ′_{i} − aτ′_{i}(c)τ′_{k}, bτ′_{j}) =

= \frac{1}{6}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}tr\{\{ϕ^{−1}cτ′_{k}(a)τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ) + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(a)τ′_{i}(ϕ)−

−ϕ^{−1}aτ′_{i}(c)τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ) − ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(c)τ′_{k}(ϕ)}ϕ^{−1}dϕ} =

= h02(1) + h02(2) + h02(3) + h03(4)

On rémarque tout de suite que

h01(2) + h02(1) = 0 et h01(5) + h02(2) = 0

14.5. Différentielle d_{Ch}h^{(1)}. Nous avons −d_{Ch}h_{𝔟,𝔟′}^{(1)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −(cτ′_{k})h_{𝔟,𝔟′}^{(1)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) + Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}h_{𝔟,𝔟′}^{(1)}([cτ′_{k}, aτ′_{i}], bτ′_{j}) Ici

−(cτ′_{k})h_{𝔟,𝔟′}^{(1)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{cτ′_{k}\{[dϕϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)\}+

+dc [τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)} = h11 + h11′

Ici

h11 = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{

[cdτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b) − [dϕϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)+ +[dϕϕ^{−1}cτ′_{k}(a)τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b) + [dϕϕ^{−1}acτ′_{k}τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)− −[dϕϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b) + [dϕϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}cτ′_{k}τ′_{p}(b)} =

= h11(1) + h11(2) + h11(3) + h11(4) + h11(5) + h11(6)

D’un autre côté, Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}h_{𝔟,𝔟′}^{(1)}([cτ′_{k}, aτ′_{i}], bτ′_{j}) = Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}h_{𝔟,𝔟′}^{(0)}(cτ′_{k}(a)τ′_{i} − aτ′_{i}(c)τ′_{k}, bτ′_{j}) =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}\{

[dϕϕ^{−1}cτ′_{k}(a)τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b) + [dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{ip}τ′_{p}(cτ′_{k}(a))− −[dϕϕ^{−1}aτ′_{i}(c)τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b) − [dϕϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(aτ′_{i}(c))} =

= h12(1) + h12(2) + h12(3) + h12(4)

On rémarque que

h11(3) + h12(1) = 0

14.6. Différentielle d_{Ch}h^{(2)}. Nous avons −d_{Ch}h_{𝔟,𝔟′}^{(2)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −(cτ′_{k})h_{𝔟,𝔟′}^{(2)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) + Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}h_{𝔟,𝔟′}^{(2)}([cτ′_{k}, aτ′_{i}], bτ′_{j}) Ici

−(cτ′_{k})h_{𝔟,𝔟′}^{(1)}(aτ′_{i}, bτ′_{j}) =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{cτ′_{k}\{[dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)\} + dc [τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)\} =

= h21 + h21′

Ici

h21 = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{

[c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) − [dϕϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)+

+[dϕϕ^{−1}]^{jp}cτ′_{k}τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + [dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(a)cτ′_{k}τ′_{i}(b)} =
= h21(1) + h21(2) + h21(3) + h21(4)

D’un autre côté,

Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}h_{𝔟,𝔟′}^{(2)}([cτ′_{k}, aτ′_{i}], bτ′_{j}) = \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{

[dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(cτ′_{k}(a))τ′_{i}(b) + [dϕϕ^{−1}]^{ip}τ′_{p}(b)τ′_{j}(cτ′_{k}(a))− −[dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(aτ′_{i}(c))τ′_{k}(b) − [dϕϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(b)τ′_{j}(aτ′_{i}(c))} =

= h22(1) + h22(2) + h22(3) + h22(4)

Ici

h22(1) = h22(1)′ + h22(1)′′ =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{[dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(c)τ′_{k}(a)τ′_{i}(b) + [dϕϕ^{−1}]^{jp}cτ′_{p}τ′_{k}(a)τ′_{i}(b)\};

h22(2) = h22(2)′ + h22(2)′′ =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{[dϕϕ^{−1}]^{ip}τ′_{p}(b)τ′_{j}(c)τ′_{k}(a) + [dϕϕ^{−1}]^{ip}τ′_{p}(b)cτ′_{j}τ′_{k}(a)\};

h22(3) = h22(3)′ + h22(3)′′ =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{[dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(a)τ′_{i}(c)τ′_{k}(b) + [dϕϕ^{−1}]^{jp}aτ′_{p}τ′_{i}(c)τ′_{k}(b)\}

et

h22(4) = h22(4)′ + h22(4)′′ =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}}\{[dϕϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(b)τ′_{j}(a)τ′_{i}(c) + [dϕϕ^{−1}]^{kp}τ′_{p}(b)aτ′_{j}τ′_{i}(c)\}

(b) Différentielle de Čech d_{c}⟨,; ⟩_{𝔟𝔟′} 14.7. Rappelons que

d_{c}⟨,; ⟩_{𝔟𝔟′} = ⟨,; ⟩_{𝔟′} − ⟨,; ⟩_{𝔟}

Nous voulons calculer ici d_{c}⟨aτ′_{i}, bτ′_{j}; cτ′_{k}⟩_{𝔟,𝔟′}.

Rappelons que ⟨,; ⟩_{𝔟} = ⟨,; ⟩′_{𝔟} + ⟨,; ⟩′′_{𝔟}, où

⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}⟩′_{𝔟} = −\frac{1}{2}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}dτ_{j}(c)τ_{k}(a)τ_{i}(b)

et

⟨aτ_{i}, bτ_{j}; cτ_{k}⟩′′_{𝔟} = −\frac{1}{2}d\{aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}\}_{𝔟} = \frac{1}{4}Sym_{aτ_{i},bτ_{j}}d\{τ_{k}(a)τ_{i}(b)τ_{j}(c)\},

cf. 10.14 et 13.4, 13.5.

Donc on a

d_{c}⟨aτ′_{i}, bτ′_{j}; cτ′_{k}⟩′_{𝔟𝔟′} = ⟨aτ′_{i}, bτ′_{j}; cτ′_{k}⟩′_{𝔟′} − ⟨aτ′_{i}, bτ′_{j}; cτ′_{k}⟩′_{𝔟}

Ici

−⟨aτ′_{i}, bτ′_{j}; cτ′_{k}⟩′_{𝔟′} = \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}dτ′_{j}(c)τ′_{k}(a)τ′_{i}(b) =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}d\{ϕ^{jq}τ_{q}(c)\}ϕ^{kr}τ_{r}(a)ϕ^{ip}τ_{p}(b) =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}\{dϕ^{jq}τ_{q}(c) + ϕ^{jq}dτ_{q}(c)\}ϕ^{kr}τ_{r}(a)ϕ^{ip}τ_{p}(b) =

= Δ′_{1} + Δ′_{2} D’un autre côté,

⟨aτ′_{i}, bτ′_{j}; cτ′_{k}⟩′_{𝔟} = −⟨aϕ^{ip}τ_{p}, bϕ^{jq}τ_{q}, cϕ^{kr}τ_{r}⟩′_{𝔟} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}dτ_{q}(cϕ^{kr})τ_{r}(aϕ^{ip})τ_{p}(bϕ^{jq}) =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}\{dτ_{q}(c)ϕ^{kr} + dc τ_{q}(ϕ^{kr}) + τ_{q}(c)dϕ^{kr} + c dτ_{q}(ϕ^{kr})\}×

×{τ_{r}(a)ϕ^{ip} + aτ_{r}(ϕ^{ip})}{τ_{p}(b)ϕ^{jq} + bτ_{p}(ϕ^{jq})} =: Δ

Rappelons les formules

τ′_{a}(ϕ^{bc}) = τ′_{b}(ϕ^{ac})
τ_{a}(ϕ^{bc}) = [ϕ^{−1}τ′_{b}(ϕ)]^{ac}

Donc

Δ = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}

{d[ϕ^{−1qu}τ′_{u}(c)]ϕ^{kr} + dc[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr} + ϕ^{−1qu}τ′_{u}(c)dϕ^{kr} + c d[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}}×

×{ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)ϕ^{ip} + a[ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)]^{rp}}× ×{ϕ^{−1pw}τ′_{w}(b)ϕ^{jq} + b[ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)]^{pq}} = Δ(1 + 2 + 3 + 4)(1 + 2)(1 + 2)

14.8. Les termes Δ(?.2.2) On a

Δ(2.2.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}dc τ_{q}(ϕ^{kr})aτ_{r}(ϕ^{ip})bτ_{p}(ϕ^{jq}) =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}dc[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}a[ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)]^{rp}b[ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)]^{pq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}ab dc tr\{ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)\}

De même,

Δ(4.2.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}cdτ_{q}(ϕ^{kr})ab[ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)]^{rq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}abc d[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}[ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)]^{rq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}abc tr\{d[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)\} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}abc tr\{[−ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ) + ϕ^{−1}dτ′_{k}(ϕ)]ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)\} =

= Δ(4.2.2)′ + Δ(4.2.2)′′

Ensuite,

Δ(1.2.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}d[ϕ^{−1qu}τ′_{u}(c)][aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)]^{kq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}\{−[ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{qu}τ′_{u}(c) + ϕ^{−1qu}dτ′_{u}(c)\}[aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)]^{kq} =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}\{

[aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{ku}τ′_{u}(c) − [aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{ku}dτ′_{u}(c)} = = Δ(1.2.2)′ + Δ(1.2.2)′′

Enfin,

Δ(3.2.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}}ϕ^{−1qu}τ′_{u}(c)dϕ^{kr} a[ϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)]^{rp}b[ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)]^{pq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ab[dϕϕ^{−1}τ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{ku}τ′_{u}(c)

14.9. Les termes Δ(?.1.1) D’abord,

Δ(1.1.1) + Δ′_{2} = 0

Ensuite,

Δ(2.1.1) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} dc [ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)τ′_{i}(b)ϕ^{jq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} dc [τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jv}τ′_{v}(a)τ′_{i}(b)

Δ(3.1.1) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} τ_{q}(c)dϕ^{kr}ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)τ′_{i}(b)ϕ^{jq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} τ′_{j}(c)[dϕϕ^{−1}]^{ku}τ′_{u}(a)τ′_{i}(b)

Enfin,

Δ(4.1.1) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} c d[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)τ′_{i}(b)ϕ^{jq} =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} \{

−c [dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{ju}τ′_{u}(a)τ′_{i}(b) + c [dϕϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{ju}τ′_{u}(a)τ′_{i}(b)} =

= Δ(4.1.1)′ + Δ(4.1.1)′′

14.10. Les termes Δ(?.1.2) On a

Δ(?.1.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ? × ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)bτ′_{j}(ϕ)^{iq}

Donc

Δ(1.1.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} d[ϕ^{−1qu}τ′_{u}(c)]τ′_{k}(a)bτ′_{j}(ϕ)^{iq} =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} \{[bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{iu}τ′_{u}(c)τ′_{k}(a) − [bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{iu}dτ′_{u}(c)τ′_{k}(a)\} =

= Δ(1.1.2)′ + Δ(1.1.2)′′

Ensuite,

Δ(2.1.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} dc [ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)bτ′_{j}(ϕ)^{iq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} dc [bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{qr}ϕ^{−1iv}τ′_{v}(a)

Δ(3.1.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ϕ^{−1qu}τ′_{u}(c)dϕ^{kr}ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)bτ′_{j}(ϕ)^{iq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} [bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{iu}τ′_{u}(c)[dϕϕ^{−1}]^{kv}τ′_{v}(a)

Enfin,

Δ(4.1.2) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} c d[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)bτ′_{j}(ϕ)^{iq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} c[−ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ) + ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}ϕ^{−1rv}τ′_{v}(a)bτ′_{j}(ϕ)^{iq} =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} \{[bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{iv}τ′_{v}(a)−

−c[bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{iv}τ′_{v}(a)} = Δ(4.1.2)′ + Δ(4.1.2)′′

14.11. Les termes Δ(?.2.1) Nous avons

Δ(?.2.1) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ? × [ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{rw}τ′_{w}(b)ϕ^{jq}

Donc

Δ(1.2.1) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} d[ϕ^{−1qu}τ′_{u}(c)]ϕ^{kr}[ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{rw}τ′_{w}(b)ϕ^{jq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} \{−[ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{qu}τ′_{u}(c)ϕ^{kr} + ϕ^{−1qu}dτ′_{u}(c)ϕ^{kr}\}×

×[ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{rw}τ′_{w}(b)ϕ^{jq} =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} \{[aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kw}τ′_{w}(b)[dϕϕ^{−1}]^{ju}τ′_{u}(c)−

−[aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kw}τ′_{w}(b)dτ′_{j}(c)} = Δ(1.2.1)′ + Δ(1.2.1)′′

Ensuite,

Δ(2.2.1) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} dc [ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}[ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{rw}τ′_{w}(b)ϕ^{jq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} dc [τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jw}τ′_{w}(b)

Δ(3.2.1) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ϕ^{−1qu}τ′_{u}(c)dϕ^{kr}[ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{rw}τ′_{w}(b)ϕ^{jq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} [dϕϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kw}τ′_{w}(b)τ′_{j}(c)

Enfin,

Δ(4.2.1) = −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} c d[ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)]^{qr}[ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{rw}τ′_{w}(b)ϕ^{jq} =

= −\frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} c [−ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ) + ϕ^{−1}dτ′_{k}(ϕ)]^{qr}[ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{rw}τ′_{w}(b)ϕ^{jq} =

= \frac{1}{2}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} \{[dϕϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jw}τ′_{w}(b)−

−c [dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jw}τ′_{w}(b)} = Δ(4.2.1)′ + Δ(4.2.1)′′

(c) Balance

14.12. Notre but dans (c) sera calculer la quantité

−d_{DR}h + Δ⟨,; ⟩ ∈ Č^{1}(𝔅, Hom(S^{2}T ⊗ T, Ω))

Pour faire cela, on dit ajouter 14.3, (a) et (b). 14.13. Les termes A On a

−h01′ + Δ(2.2.2) = −\frac{1}{3}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} tr\{ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)dc\}

D’autre part,

−h02(3) = \frac{1}{6}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} tr\{ϕ^{−1}aτ′_{i}(c)τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}

et

−h02(4) = \frac{1}{6}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} tr\{ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(c)τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}

Donc

−h01′ + Δ(2.2.2) − h02(3) − h02(4) = Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ⟨aτ′_{i},

\frac{1}{6}tr\{ϕ^{−1}dc τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dc τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}⟩ =

= Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ⟨aτ′_{i}, A1′⟩

Nous avons

A1 = A1′ − Dh0(1) − Dh0(3) =

= \frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{ϕ^{−1}dc τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dc τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}

De même,

−h01(3) − h01(6) − h01(8) + Δ(4.2.2)′′ = Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ⟨aτ′_{i},

\frac{1}{6}tr\{ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}⟩ =

= Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ⟨aτ′_{i}, A2′⟩

Nous avons

A2 = A2′ − Dh(02) − Dh(04) =

= \frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}

Nous avons

−h01(1) + Δ(4.2.2)′ = \frac{1}{3}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} tr\{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\};

−h01(4) = −\frac{1}{6}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} tr\{ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}

et

−h01(7) = −\frac{1}{6}Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} tr\{ϕ^{−1}aτ′_{i}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}

Cherchons une forme A3 = A3(bτ′_{j}, cτ′_{k}) telle que

−h01(1) + Δ(4.2.2)′ − h01(4) − h01(7) = Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ⟨aτ′_{i}, A3⟩

Cherchons A3 sous une forme

A3 = α Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)(ϕ^{−1}dϕ)^{2}}+

+β tr{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ},

avec α, β des coéfficients indeterminés (on rémarque que le deuxième terme est antisymétrique).

En calculant Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} ⟨aτ′_{i}, A3⟩, on trouve sur α, β trois équations

−α − β = −\frac{1}{3}; 2α = \frac{1}{6}; −α + β = \frac{1}{6},

qui admettent l’unique solution (sic!)

α = \frac{1}{12}, β = \frac{1}{4}

Donc

A3 = A3′′ + A3′ =

= \frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)(ϕ^{−1}dϕ)^{2}\}+\frac{1}{4}tr\{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}

14.14. Les termes B Tout d’abord,

−h11′ + Δ(2.2.1) = 0
−h11(1) + Δ(4.2.1)′′ = 0; −h11(2) + Δ(4.2.1)′ = 0
−h11(3) − h12(1) = 0; −h11(6) − h12(2)′′ = 0
−h12(4)′ + Δ(3.2.1) = 0

Ensuite,

−h11(4) + Δ(4.1.2)′′ = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B1′⟩,

où

B1′ = −\frac{1}{2}[dϕϕ^{−1} c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)

Donc

B1 = B1′ − Dh1(3) = −\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)

−h11(5) + Δ(4.1.2)′ = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B2′⟩,

où

B2′ = \frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1} cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)

Donc

B2 = B2′ − Dh1(1) = \frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1} cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)

−h12(2)′ + Δ(1.1.2)′ = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨bτ′_{j}, B3′′⟩ = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B3′⟩, où

B3′′ = \frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{ip}τ′_{p}(c)τ′_{k}(a)

B3′ = \frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(c)τ′_{k}(b)

Donc

B3 = B3′ − Dh2(2) = \frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(c)τ′_{k}(b)

Ensuite,

−h12(3) + Δ(2.1.2) = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B4′⟩,

où

B4′ = −\frac{1}{2}[dϕϕ^{−1} dc τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)

Donc

B4 = B4′ − Dh1(2) = −\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} dc τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)

−h12(4)′′ + Δ(1.2.2)′′ = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B5′⟩,

où

B5′ = −\frac{1}{2}[dϕϕ^{−1} bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp} dτ′_{p}(c)

Donc

B5 = B5′ − Dh1(5) = −\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp} dτ′_{p}(c)

Ensuite,

Δ(1.2.2)′ + Δ(3.2.2) = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B6′⟩,

où

B6′ = \frac{1}{2}[dϕϕ^{−1} bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{ku}τ′_{u}(c)

Donc

B6 = B6′ − Dh1(4) = \frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{ku}τ′_{u}(c)

Δ(1.1.2)′′ − h22(3)′′ = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B7′⟩,

où

B7′ = −\frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}]^{ju} dτ′_{u}(c)τ′_{k}(b)

Donc

B7 = B7′ − Dh2(3) = −\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}]^{ju} dτ′_{u}(c)τ′_{k}(b)

Δ(1.2.1)′′ − h22(4)′′ = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B8′⟩,

où

B8′ = −\frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}]^{kw} τ′_{w}(b) dτ′_{j}(c)

Donc

B8 = B8′ − Dh2(1) = −\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}]^{kw} τ′_{w}(b) dτ′_{j}(c)

Enfin,

Δ(3.1.2) + Δ(1.2.1)′ = Sym_{aτ′_{i},bτ_{j}} ⟨aτ′_{i}, B9⟩,

où

B9 = −\frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}]^{ju} τ′_{u}(c) [dϕϕ^{−1}]^{kv} τ′_{v}(b),

qui est antisymétrique en bτ′_{j}, cτ′_{k}.

14.15. Tout le reste disparaît Les termes h2? s’annulent avec les termes Δ(?.1.1):

−h21(1) + Δ(4.1.1)′ = 0; −h21(2) + Δ(4.1.1)′′ = 0

−h21(3) − h22(1)′′ = 0; −h21(4) − h22(2)′′ = 0;
−h22(1)′ + Δ′_{1} = 0; −h22(4)′ + Δ(3.1.1) = 0
−h22(2)′ − h22(3)′ = 0

Enfin,

Δ⟨τ′, τ′′; τ⟩′′_{𝔟,𝔟′′} = \frac{1}{2}Δ d\{τ, τ′, τ′′\}_{𝔟,𝔟′′} =

= \frac{1}{2}dΔ\{τ, τ′, τ′′\}_{𝔟,𝔟′′}

où

Δ{τ, τ′, τ′′}_{𝔟,𝔟′′} = Qh(τ, τ′, τ′′)_{𝔟,𝔟′′}

Donc

−\frac{1}{2}dQh(τ, τ′, τ′′)_{𝔟,𝔟′′} + Δ⟨τ′, τ′′; τ⟩′′_{𝔟,𝔟′′} = 0,

cf. (14.2.2).

14.16. Résumé En ajoutant, on obtient

−d_{DR}h + Δ⟨,; ⟩ = Qh′, h′ ∈ Č^{1}(𝔅; Hom(Λ^{2}T, Ω^{2})),

où

h′ = −(h^{′(0)} + h^{′(1)} + h^{′(2)} + h^{′(4)})

Ici

h_{𝔟𝔟′}^{′(0)}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = A3′ + A3′′ + A1 + A2 =
= h^{′(0)}(1′)_{𝔟,𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) + h^{′(0)}(1′′)_{𝔟,𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k})+
+h^{′(0)}(2)_{𝔟,𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) + h^{′(0)}(3)_{𝔟,𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) =

= \frac{1}{4}tr\{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕ\}+\frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{ϕ^{−1}cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)(ϕ^{−1}dϕ)^{2}\}+

+\frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{dc [ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ) + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}τ′_{k}(ϕ)] ϕ^{−1}dϕ\}+

+\frac{1}{12}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} tr\{[ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ) + ϕ^{−1}bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}c dτ′_{k}(ϕ)] ϕ^{−1}dϕ\}

Ensuite,

h_{𝔟𝔟′}^{′(1)}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = B1 + B2 + B5 + B6 = ∑_{i=1}^{4} h^{′(1)}(i)_{𝔟,𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} c dτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)+

+\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1} cτ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)−

−\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}]^{kp} dτ′_{p}(c)+

+\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} bτ′_{j}(ϕ)ϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{ku}τ′_{u}(c)

Ensuite,

h_{𝔟𝔟′}^{′(2)}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = B3 + B9 = ∑_{i=1}^{2} h^{′(2)}(i)_{𝔟,𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) =

= \frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}dϕϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(c)τ′_{k}(b) − \frac{1}{2}[dϕϕ^{−1}]^{ju} τ′_{u}(c) [dϕϕ^{−1}]^{kv} τ′_{v}(b)

Enfin,

h_{𝔟𝔟′}^{′(3)}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = B4 + B7 + B8 = ∑_{i=1}^{3} h^{′(3)}(i)_{𝔟,𝔟′}(bτ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1} dc τ′_{k}(ϕ)ϕ^{−1}]^{jp}τ′_{p}(b)−

−\frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}]^{ju} dτ′_{u}(c)τ′_{k}(b) − \frac{1}{4}Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} [dϕϕ^{−1}]^{kw} τ′_{w}(b) dτ′_{j}(c)

Cela achève la recherche de l’élément h′_{𝔟𝔟′}.

§15. Construction de la forme β^{12}

15.1. On utilise toujours les notations de §11. Dans cette section on calcule l’élément d_{DR}H_{𝔟𝔟′𝔟′′} + d_{c}h′_{𝔟𝔟′𝔟′′} ∈ Hom(Λ^{2}T, Ω^{2}) est montre qu’il appartiens au sous-espace ι(Ω^{4}) ⊂ Hom(Λ^{2}T, Ω^{2}).

En effet, il se trouve que cette quantité est égale à ιβ^{12}(ψ, ϕ), où la forme β^{12}(ψ, ϕ) ∈ Ω^{4} est écrite dans 3.10; donc le calcule de la presente section est une raison d’être de la forme β^{12}.

(a) Différentielle de de Rham d_{DR}H

15.2. Rappelons que H ∈ Č^{2}(𝔅; Hom(T, Ω^{2})) est défini par (cf. (9.4.1)) H = H^{(0)} + H^{(1)},

H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(aτ′′_{i}) := \frac{1}{6}a tr\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}+

+ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ϕ)} = ∑_{i=1}^{4} H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(i)(aτ′′_{i})

et

H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(1)}(aτ′′_{i}) := \frac{1}{2}[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu}τ′′_{u}(a) = \frac{1}{2}[dψdϕ]^{ip}τ_{p}(a),

Ici

ℓ(ϕ) = ϕ^{−1}dϕ; x^{ϕ} = ϕ^{−1}xϕ; ℓ′′_{i}(ϕ) = ϕ^{−1}τ′′_{i}(ϕ);
ℓ̃(ψ) = dψ ψ^{−1}

D’un autre côté, rappelons que

d_{DR} : Hom(T, Ω^{2}) ⟶ Hom(Λ^{2}T, Ω^{2})

est défini par (cf. 10.1) d_{DR} = −d_{Ch} − E, où

d_{Ch}c(τ_{1}, τ_{2}) = −c([τ_{1}, τ_{2}]) + Alt_{12} τ_{1}c(τ_{2})

et

Ec(τ_{1}, τ_{2}) = −\frac{1}{2}Alt_{12} d⟨τ_{1}, c(τ_{2})⟩

Notre but dans (a) sera calculer d_{DR}H ∈ Č^{2}(𝔅; Hom(Λ^{2}T, Ω^{2})). 15.3. On introduit les notations

m′′_{i}(ϕ) = ϕ^{−1}dτ′′_{i}(ϕ); m̃′′_{i}(ϕ) = dτ′′_{i}(ϕ) ϕ^{−1}

Rappelons aussi que

ℓ′′_{ij}(ϕ) := ϕ^{−1}τ′′_{i}τ′′_{j}(ϕ); ℓ̃′′_{ij}(ϕ) := τ′′_{i}τ′′_{j}(ϕ) ϕ^{−1}

On a τ′′_{i}ℓ(ϕ) = −ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ) + m′′_{i}(ϕ); τ′′_{i}ℓ̃(ϕ) = m̃′′_{i}(ϕ) − ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)

τ′′_{i}ℓ′′_{j}(ϕ) = −ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ϕ) + ℓ_{ij}(ϕ); τ′′_{i}ℓ̃′′_{j}(ϕ) = −ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ) + ℓ̃_{ij}(ϕ)

τ′′_{i}(x^{ϕ}) = −ℓ′′_{i}(ϕ)x^{ϕ} + x^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ) + τ′′_{i}(x)^{ϕ}
τ′′_{i}(x^{ψ^{−1}}) = ℓ̃′′_{i}(ψ)x^{ψ^{−1}} + τ′′_{i}(x)^{ψ^{−1}} − x^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)

15.4. Nous avons

(aτ′′_{i})c(bτ′′_{j}) = aτ′′_{i}c(bτ′′_{j}) + da ⟨τ′′_{i}, c(bτ′′_{j})⟩

et

d⟨aτ′′_{i}, c(bτ′′_{j})⟩ = da ⟨τ′′_{i}, c(bτ′′_{j})⟩ + a d⟨τ′′_{i}, c(bτ′′_{j})⟩

Donc

−d_{DR}c(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −c([aτ′′_{i}, bτ′′_{j}]) + Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a τ′′_{i}c(bτ′′_{j})−

−\frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a d⟨τ′′_{i}, c(bτ′′_{j})⟩ + \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} da ⟨τ′′_{i}, c(bτ′′_{j})⟩ =

= −c([aτ′′_{i}, bτ′′_{j}]) + \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} aτ′′_{i}c(bτ′′_{j})+

+\frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a⟨τ′′_{i}, dc(bτ′′_{j})⟩ + \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} da ⟨τ′′_{i}, c(bτ′′_{j})⟩

15.5. Nous avons

−c([aτ′′_{i}, bτ′′_{j}]) = Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} c(bτ′′_{j}(a)τ′′_{i})

Donc

−H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}([aτ′′_{i}, bτ′′_{j}]) = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} bτ′′_{j}(a) tr\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)−ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}+

+ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ϕ)} = ∑_{i=1}^{4} H01(i)

De même,

−H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(1)}([aτ′′_{i}, bτ′′_{j}]) = \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu}τ′′_{u}(bτ′′_{j}(a)) =

= \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu} \{bτ′′_{u}τ′′_{j}(a) + τ′′_{u}(b)τ′′_{j}(a)\} = H11(1) + H11(2)

15.6. Ensuite,

aτ′′_{i}H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(bτ′′_{j}) = aτ′′_{i}(b)H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j}) + ab τ′′_{i}H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j}),

où

Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(1)(τ′′_{j}) = H02(1) =

= \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}[tr \{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)\}] = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}[tr\{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)\}] =

= \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{τ′′_{i}\{ℓ′′_{j}(ψ)\}ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)+ℓ′′_{j}(ψ)τ′′_{i}\{ℓ(ψ)\}ℓ̃(ϕ)+ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)τ′′_{i}\{ℓ̃(ϕ)\}\} =

= ∑_{i=1}^{3} H02(1, i)

où où

H02(1, 1) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{i}(ψ)ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)\};

H02(1, 2) = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{j}(ψ)\{−ℓ′′_{i}(ψ)ℓ(ψ)+m′′_{i}(ψ)\}ℓ̃(ϕ)\} = H02(1, 2, 1)+H02(1, 2, 2)

et

H02(1, 3) = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)\{m̃′′_{i}(ϕ)−ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)\}\} = H02(1, 3, 1)+H02(1, 3, 2)

15.7.

Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(2)(τ′′_{j}) = H02(2) =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}[tr \{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}\}] = −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}[tr \{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ(ψ)\}] =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{τ′′_{i}\{ℓ′′_{j}(ψ)\}ℓ̃(ϕ)ℓ(ψ)+ℓ′′_{j}(ψ)τ′′_{i}\{ℓ̃(ϕ)\}ℓ(ψ)+ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)τ′′_{i}\{ℓ(ψ)\}\} =

= ∑_{i=1}^{3} H02(2, i)

Ici

H02(2, 1) = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{i}(ψ)ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ(ψ)\};

H02(2, 2) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{j}(ψ)\{m̃′′_{i}(ϕ)−ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)\}ℓ(ψ)\} = H02(2, 2, 1)+H02(2, 2, 2)

et

H02(2, 3) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)\{−ℓ′′_{i}(ψ)ℓ(ψ)+m′′_{i}(ψ)\}\} = H02(2, 3, 1)+H02(2, 3, 2)

15.8. Ensuite,

Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(3)(τ′′_{j}) = H02(3) =

= \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}[tr \{ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)\}] = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}[tr \{ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)\}] =

= \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{τ′′_{i}\{ℓ̃′′_{j}(ϕ)\}ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)+ℓ̃′′_{j}(ϕ)τ′′_{i}\{ℓ(ψ)\}ℓ̃(ϕ)+ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)τ′′_{i}\{ℓ̃(ϕ)\}\} =

= ∑_{i=1}^{3} H02(3, i)

Ici

H02(3, 1) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)\};

H02(3, 2) = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃′′_{j}(ϕ)\{−ℓ′′_{i}(ψ)ℓ(ψ)+m′′_{i}(ψ)\}ℓ̃(ϕ)\} = H02(3, 2, 1)+H02(3, 2, 2)

et

H02(3, 3) = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)\{m̃′′_{i}(ϕ)−ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)\}\} = H02(3, 3, 1)+H02(3, 3, 2)

15.9. Enfin,

Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(4)(τ′′_{j}) = H02(4) =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}[tr \{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ(ϕ)\}] = −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab τ′′_{i}[tr \{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ̃(ϕ)\}] =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{τ′′_{i}\{ℓ′′_{j}(ψ)\}ℓ̃(ϕ)ℓ̃(ϕ)+ℓ′′_{j}(ψ)τ′′_{i}\{ℓ̃(ϕ)\}ℓ̃(ϕ)+ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)τ′′_{i}\{ℓ̃(ϕ)\}\} =

= ∑_{i=1}^{3} H02(4, i)

Ici

H02(4, 1) = \frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{i}(ψ)ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ̃(ϕ)\};

H02(4, 2) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{j}(ψ)\{m̃′′_{i}(ϕ)−ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)\}ℓ̃(ϕ)\} = H02(4, 2, 1)+H02(4, 2, 2)

et

H02(4, 3) = −\frac{1}{6}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)\{m̃′′_{i}(ϕ) − ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)\}\} =

= H02(4, 3, 1) + H02(4, 3, 2)

15.10. D’un autre côté,

H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(1)}(bτ′′_{j}) = \frac{1}{2}[dψdϕϕ^{−1}ψ^{−1}]^{ju}τ′′_{u}(b),

d’où

Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} aτ′′_{i}H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(1)}(bτ′′_{j}) = H12 =

= \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a\{[m̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ju}τ′′_{u}(b) + [ℓ̃(ψ)m̃′′_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ju}τ′′_{u}(b)−

−[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ju}τ′′_{u}(b) − [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)]^{ju}τ′′_{u}(b)+

+[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ju}τ′′_{i}τ′′_{u}(b)} = ∑_{i=1}^{5} H12(i)

15.11. On a

\frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a⟨τ′′_{i}, dH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(bτ′′_{j})⟩ = \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a⟨τ′′_{i}, d\{bH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})\}⟩ =

= \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a⟨τ′′_{i}, db H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j}) + b dH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})⟩ =

= \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} \{aτ′′_{i}(b)H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j}) − adb⟨τ′′_{i}, H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})⟩+

+ab⟨τ′′_{i}, dH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})⟩}

15.12. Ensuite,

\frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} \{−adb⟨τ′′_{i}, H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})⟩ + da ⟨τ′′_{i}, H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(bτ′′_{j})⟩ =

= \frac{1}{2}\{−adb + bda\} Sym_{ij}⟨τ′′_{i}, H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})⟩ = H03(1)

Calculons-le:

6⟨τ′′_{i}, H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})⟩ =
= tr{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)−
−ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}+
+ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)−
−ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ) + ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)ℓ′′_{i}(ϕ)},

d’où

Sym_{ij} ⟨τ′′_{i}, H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})⟩ = \frac{1}{6}Sym_{ij} tr\{

2ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}+

+2ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ)}

Donc

H03(1) = \frac{1}{12}(−adb + bda) Sym_{ij} tr\{

2ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}+

+2ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) − ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ)}

15.13. Maintenant on veut calculer dH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j}). D’abord quelques formules simples:

dℓ′′_{j}(ψ) = −ℓ(ψ)ℓ′′_{j}(ψ) + m′′_{j}(ψ); dℓ̃′′_{j}(ϕ) = m̃′′_{j}(ϕ) − ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ̃(ϕ)

dℓ(ψ) = −ℓ(ψ)^{2}; dℓ̃(ϕ) = ℓ̃(ϕ)^{2}

15.14. Donc

6dH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j}) =

= tr d{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ(ψ) + ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ̃(ϕ)} =

= D1 + D2 + D3 + D4

Ici D1 = tr{{−ℓ(ψ)ℓ′′_{j}(ψ) + m′′_{j}(ψ)}ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)^{2}ℓ̃(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)^{2}}; D2 = −tr{{−ℓ(ψ)ℓ′′_{j}(ψ) + m′′_{j}(ψ)}ℓ̃(ϕ)ℓ(ψ) + ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{2}ℓ(ψ) + ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ(ψ)^{2}};

D3 = tr{{m̃′′_{j}(ϕ) − ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ̃(ϕ)}ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ) − ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)^{2}ℓ̃(ϕ) − ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)^{2}} et

D4 = −tr{{−ℓ(ψ)ℓ′′_{j}(ψ) + m′′_{j}(ψ)}ℓ̃(ϕ)ℓ̃(ϕ)}

15.15. On a

H03(2) = \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab⟨τ′′_{i}, dH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j})⟩ = \frac{1}{12}ab Alt_{ij}⟨τ′′_{i}, ∑_{k=1}^{4} Dk⟩

15.16. On pose

H03(3) = \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} aτ′′_{i}(b)H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(0)}(τ′′_{j}) = \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} aτ′′_{i}(b)

tr{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ(ψ) + ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ) − ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ̃(ϕ)}

En effet, il est facile à voir que les termes de ce type, qu’on rencontre aussi dans 1.7, 1.8 et 1.13, disparaîssent.

15.17. On pose

H13 = \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a⟨τ′′_{i}, dH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(1)}(bτ′′_{j})⟩

On a

dH_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(1)}(bτ′′_{j}) = \frac{1}{2}d\{[dψdϕ ϕ^{−1}ψ^{−1}]^{jp}τ′′_{p}(b)\} =

= \frac{1}{2}\{−[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{2ψ^{−1}}]^{jp}τ′′_{p}(b) − [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃(ψ)]^{jp}τ′′_{p}(b) + [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jp}dτ′′_{p}(b)\}

Donc

H13 = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a×

×⟨τ′′_{i}, −[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{2ψ^{−1}}]^{jp}τ′′_{p}(b) − [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃(ψ)]^{jp}τ′′_{p}(b) + [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jp}dτ′′_{p}(b)⟩

Enfin,

H14 := \frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} da ⟨τ′′_{i}, H_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}^{(1)}(bτ′′_{j})⟩ = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} da ⟨τ′′_{i}, [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jp}τ′′_{p}(b)⟩ =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} da \{[ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jp}τ′′_{p}(b) − [ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jp}τ′′_{p}(b)\}

15.18. On designe pour brévité H = H_{𝔟𝔟′𝔟′′}. Rappelons que (cf. 15.4) que

−d_{DR}H(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −H([aτ′′_{i}, bτ′′_{j}])+

+\frac{1}{2}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} \{aτ′′_{i}H(bτ′′_{j}) + a⟨τ′′_{i}, dH(bτ′′_{j})⟩ + da ⟨τ′′_{i}, H(τ′′_{j})⟩\}

De plus, H = H^{(0)} + H^{(1)}, où H^{(0)} est A-linéaire, H^{(0)}(aτ) = aH^{(0)}(τ). Il en suit que

d_{DR}H^{(0)}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) =

= \frac{1}{2}abAlt_{ij} \{τ′′_{i}H^{(0)}(τ′′_{j}) + ⟨τ′′_{i}, dH^{(0)}(τ′′_{j})⟩\} + \frac{1}{2}\{−adb + bda\}Sym_{ij} ⟨τ′′_{i}, H^{(0)}(τ′′_{j})⟩

cf. 15.11.

(b) Différentielle de Čech d_{c}h′ 15.19. Notre but sera calculer d_{c}h′ ∈ Č^{2}(𝔅; Hom(Λ^{2}T, Ω^{2})), où h′ ∈ Č^{1}(𝔅; Hom(Λ^{2}T, Ω^{2}))

est introduit dans 11.3 et 14.16.

Rappelons que

d_{c}f_{𝔟𝔟′𝔟′′} = f_{𝔟′𝔟′′} − f_{𝔟𝔟′′} + f_{𝔟𝔟′}

D’abord quelques formules connues.

ℓ(ψϕ) = ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ); ℓ̃(ψϕ) = ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}

ℓ_{i}(ψϕ) = ℓ_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ_{i}(ϕ); ℓ̃_{i}(ψϕ) = ℓ̃_{i}(ψ) + ℓ̃_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}}
m_{i}(ψϕ) = m_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ_{i}(ϕ) + ℓ_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) + m_{i}(ϕ);

m̃_{i}(ψϕ) = m_{i}(ψϕ)^{ϕ^{−1}ψ^{−1}} = m̃_{i}(ψ) + ℓ̃(ψ)ℓ̃_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}} + ℓ̃_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} + m̃_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}} De plus,

ψ^{jq}m′_{q}(ϕ) = m′′_{j}(ϕ) − dψ^{jq} ℓ′_{q}(ϕ),

où

dψ^{jq} ℓ′_{q}(ϕ) = ℓ̃(ψ)^{jr}ℓ′′_{r}(ϕ)

15.20. Nous avons

h^{′(0)}(1′)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = \frac{1}{4}ab tr \{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)ℓ′′_{i}(ψ)ℓ(ψ)\};

−h^{′(0)}(1′)_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −\frac{1}{4}ab tr \{ℓ′′_{j}(ψϕ)ℓ(ψϕ)ℓ′′_{i}(ψϕ)ℓ(ψϕ)\} =

= −\frac{1}{4}ab tr \{\{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ} + ℓ_{j}(ϕ)\}\{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)\}\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ_{i}(ϕ)\}\{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)\}\}

et

h^{′(0)}(1′)_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = h^{′(0)}(1′)_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =

= \frac{1}{4}aψ^{ip}bψ^{jq} tr \{ℓ′_{q}(ϕ)ℓ(ϕ)ℓ′_{p}(ϕ)ℓ(ϕ)\} = \frac{1}{4}ab tr \{ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ϕ)ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ)\}

On pose

Δ1′ = d_{c}h^{′(0)}(1′)_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j})

De même,

h^{′(0)}(1′′)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = \frac{1}{12}ab Alt_{ij} tr \{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ′′_{i}(ψ)ℓ(ψ)^{2}\};

−h^{′(0)}(1′′)_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −\frac{1}{12}ab Alt_{ij} tr \{ℓ′′_{j}(ψϕ)ℓ′′_{i}(ψϕ)ℓ(ψϕ)^{2}\} =

= −\frac{1}{12}ab Alt_{ij} tr \{\{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ} + ℓ_{j}(ϕ)\}\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{i}(ϕ)\}\{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)\}^{2}\}

et h^{′(0)}(1′′)_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = h^{′(0)}(1′′)_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =

= \frac{1}{12} Alt_{aψ^{ip}bψ^{jq}} aψ^{ip}bψ^{jq} tr \{ℓ′_{q}(ϕ)ℓ′_{p}(ϕ)ℓ(ϕ)^{2}\} =

= \frac{1}{12}ab Alt_{ij} tr \{ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ)^{2}\}

On pose

Δ1′′ = d_{c}h^{′(0)}(1′′)_{𝔟,𝔟′,𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j})

15.21. On a

h^{′(0)}(2)′_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{ℓ′′_{j}(ψ)ℓ′′_{i}(ψ)ℓ(ψ)\};

−h^{′(0)}(2)′_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −\frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{ℓ′′_{j}(ψϕ)ℓ′′_{i}(ψϕ)ℓ(ψϕ)\} =

= −\frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{\{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{j}(ϕ)\}\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{i}(ϕ)\}\{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)\}\}

et h^{′(0)}(2)′_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = h^{′(0)}(2)′_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} aψ^{ip}d(bψ^{jq}) tr\{ℓ′_{q}(ϕ)ℓ′_{p}(ϕ)ℓ(ϕ)\} =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a\{db ψ^{jq} + b dψ^{jq}\} tr\{ℓ′_{q}(ϕ)ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ)\} =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} \{adb tr\{ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ)\} + ab tr\{dψ^{jq} ℓ′_{q}(ϕ)ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ)\}\}

On pose

Δ2′ = d_{c}h^{′(0)}(2)′_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j})

De même,

h^{′(0)}(2)′′_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{ℓ′′_{i}(ψ)ℓ′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)\};

−h^{′(0)}(2)′′_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) =

= −\frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{i}(ϕ)\}\{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{j}(ϕ)\}\{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)\}\}

et

h^{′(0)}(2)′′_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} \{adb tr\{ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ϕ)ℓ(ϕ)\} + ab tr\{ℓ′′_{i}(ϕ)dψ^{jq} ℓ′_{q}(ϕ)ℓ(ϕ)\}\}

On pose

Δ2′′ = d_{c}h^{′(0)}(2)′′_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j})

15.22. Ensuite,

h^{′(0)}(3)′_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{m′′_{j}(ψ)ℓ′′_{i}(ψ)ℓ(ψ)\};

−h^{′(0)}(3)′_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −\frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{m′′_{j}(ψϕ)ℓ′′_{i}(ψϕ)ℓ(ψϕ)\} =

= −\frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{\{m′′_{j}(ψ)^{ϕ} + ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ϕ) + ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) + m′′_{j}(ϕ)\} ×

× {ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{i}(ϕ)}{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)}}

et h^{′(0)}(3)′_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = h^{′(0)}(3)′_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} aψ^{ip}bψ^{jq} tr\{m′_{q}(ϕ)ℓ′_{p}(ϕ)ℓ(ϕ)\} =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{\{m′′_{j}(ϕ) − dψ^{jq}ℓ′_{q}(ϕ)\}ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ϕ)\}

(cf. la fin de 15.19).

On pose

Δ3′ = d_{c}h^{′(0)}(3)′_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j})

De même,

h^{′(0)}(3)′′_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{i}(ψ)m′′_{j}(ψ)ℓ(ψ)\};

−h^{′(0)}(3)′′_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) =

= −\frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{\{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ} + ℓ′′_{i}(ϕ)\} ×

× {m′′_{j}(ψ)^{ϕ} + ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ϕ) + ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ) + m′′_{j}(ϕ)}{ℓ(ψ)^{ϕ} + ℓ(ϕ)}} et

h^{′(0)}(3)′′_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{i}(ϕ)\{m′′_{j}(ϕ) − dψ^{jq}ℓ′_{q}(ϕ)\}ℓ(ϕ)\}

On pose

Δ3′′ = d_{c}h^{′(0)}(3)′′_{𝔟𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j})

15.23. On a

h^{′(1)}(1)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ4_{𝔟′𝔟′′} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [ℓ̃(ψ)m̃′′_{j}(ψ)]^{ip}τ′′_{p}(a);

−h^{′(1)}(1)_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −Δ4_{𝔟𝔟′′} = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [ℓ̃(ψϕ)m̃′′_{j}(ψϕ)]^{ip}τ′′_{p}(a) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [\{ℓ̃(ψ)+ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}\{m̃′′_{j}(ψ)+ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{j}(ϕ)^{ψ^{−1}}+ℓ̃′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}+m̃′′_{j}(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ip}τ′′_{p}(a)

et

h^{′(1)}(1)_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ4_{𝔟𝔟′} = h^{′(1)}(1)_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} bψ^{jq} [ℓ̃(ϕ)m̃′_{q}(ϕ)]^{pr} τ′_{r}(aψ^{ip}) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [ℓ̃(ϕ)\{m̃′′_{j}(ϕ) − dψ^{jq} ℓ̃′_{q}(ϕ)]^{pr} \{τ′_{r}(a)ψ^{ip} + aℓ′′_{i}(ψ)^{rp}\}

On rémarque que

Δ4_{𝔟𝔟′}(1.2) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ)m̃′′_{j}(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)\}

et

Δ4_{𝔟𝔟′}(2.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ) dψ^{jq} ℓ̃′_{q}(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ψ)\}

15.24. Ensuite,

h^{′(1)}(2)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ5_{𝔟′𝔟′′} = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [ℓ̃(ψ)^{2}ℓ̃′′_{j}(ψ)]^{ip} τ′′_{p}(a);

−h^{′(1)}(2)_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −Δ5_{𝔟𝔟′′} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [ℓ̃(ψϕ)^{2}ℓ̃′′_{j}(ψϕ)]^{ip} τ′′_{p}(a) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [\{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}^{2}\{ℓ̃′′_{j}(ψ) + ℓ̃′′_{j}(ϕ)^{ψ^{−1}}\}]^{ip} τ′′_{p}(a)

et

h^{′(1)}(2)_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ5_{𝔟𝔟′} = h^{′(1)}(2)_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} bψ^{jq} [ℓ̃(ϕ)^{2}ℓ̃′_{q}(ϕ)]^{pu} τ′_{u}(aψ^{ip}) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [ℓ̃(ϕ)^{2}ℓ̃′′_{j}(ϕ)]^{pu} \{τ′_{u}(a)ψ^{ip} + aℓ′′_{i}(ψ)^{up}\}

On rémarque que

Δ5_{𝔟𝔟′}(2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ)^{2}ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)\}

15.25. Nous avons

h^{′(1)}(3)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ6_{𝔟′𝔟′′} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{j}(ψ)]^{jp} dτ′′_{p}(b);

−h^{′(1)}(3)_{𝔟𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = −Δ6_{𝔟𝔟′′} = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ψϕ)ℓ̃′′_{j}(ψϕ)]^{jp} dτ′′_{p}(b) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [\{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}\{ℓ̃′′_{i}(ψ) + ℓ̃′′_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}}\}]^{jp} dτ′′_{p}(b)

et

h^{′(1)}(3)_{𝔟𝔟′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ6_{𝔟𝔟′} = h^{′(1)}(3)_{𝔟,𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} aψ^{ip} [ℓ̃(ϕ)ℓ̃′_{p}(ϕ)]^{qu} dτ′_{u}(bψ^{jq}) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)]^{qu} dτ′_{u}(bψ^{jq})

Ici

dτ′_{u}(bψ^{jq}) = dτ′_{u}(b) ψ^{jq} + db τ′_{u}(ψ^{jq}) + τ′_{u}(b) dψ^{jq} + b dτ′_{u}(ψ^{jq});
τ′_{u}(ψ^{jq}) = ℓ′′_{j}(ψ)^{uq};
dτ′_{u}(b) = d{ψ^{−1uv}τ′′_{v}(b)} = −[ψ^{−1}dψ ψ^{−1}]^{uv}τ′′_{v}(b) + ψ^{−1uv}dτ′′_{v}(b)

On rémarque que

Δ6_{𝔟𝔟′}(1) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [(ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ))^{ψ^{−1}} ℓ̃(ψ)]^{jv} τ′′_{v}(b),

Δ6_{𝔟𝔟′}(3) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ψ)(ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ))^{ψ^{−1}}]^{jv} τ′′_{v}(b),

Δ6_{𝔟𝔟′}(2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)\}

et

Δ6_{𝔟𝔟′}(4) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)dℓ′′_{j}(ψ)\} =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)\{−ℓ(ψ)ℓ′′_{j}(ψ) + m′′_{j}(ψ)\}\}

15.26. Ensuite,

h^{′(1)}(4)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ7_{𝔟′𝔟′′} =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ψ)]^{ju} τ′′_{u}(b);

−Δ7_{𝔟𝔟′′} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ψϕ)ℓ̃′′_{i}(ψϕ)ℓ̃(ψϕ)]^{ju} τ′′_{u}(b) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [\{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}\{ℓ̃′′_{i}(ψ) + ℓ̃′′_{i}(ϕ)^{ψ^{−1}}\}\{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}]^{ju} τ′′_{u}(b)

et

Δ7_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} aψ^{ip} [ℓ̃(ϕ)ℓ̃′_{p}(ϕ)ℓ̃(ϕ)]^{qu} τ′_{u}(bψ^{jq}) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)ℓ̃(ϕ)]^{qu} \{τ′_{u}(b)ψ^{jq} + b ℓ′′_{j}(ψ)^{uq}\}

On a

Δ7_{𝔟𝔟′}(2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)ℓ̃(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)\}

15.27. Ensuite,

h^{′(2)}(1)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ8_{𝔟′𝔟′′} = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ψ)^{2}]^{ip} τ′′_{p}(b)τ′′_{j}(a);

−Δ8_{𝔟𝔟′′} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ψϕ)^{2}]^{ip} τ′′_{p}(b)τ′′_{j}(a) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [\{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}^{2}]^{ip} τ′′_{p}(b)τ′′_{j}(a)

et

Δ8_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ϕ)^{2}]^{pu} τ′_{u}(bψ^{jq})τ′_{q}(aψ^{ip}) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ϕ)^{2}]^{pu} \{τ′_{u}(b)ψ^{jq} + bℓ′′_{j}(ψ)^{uq}\}\{τ′_{q}(a)ψ^{ip} + aℓ′′_{i}(ψ)^{qp}\}

On a

Δ8_{𝔟𝔟′}(2.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ)^{2}ℓ′′_{j}(ψ)ℓ′′_{i}(ψ)\};

Δ8_{𝔟𝔟′}(1.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}2}]^{jv} τ′′_{v}(b)

et

Δ8_{𝔟𝔟′}(2.1) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}2}ℓ̃′′_{j}(ψ)]^{is} τ′′_{s}(a)

15.28. Ensuite,

h^{′(2)}(2)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ9_{𝔟′𝔟′′} = −\frac{1}{2} ℓ̃(ψ)^{iu}τ′′_{u}(b) ℓ̃(ψ)^{jv}τ′′_{v}(a);

−Δ9_{𝔟𝔟′′} = \frac{1}{2} ℓ̃(ψϕ)^{iu}τ′′_{u}(b) ℓ̃(ψϕ)^{jv}τ′′_{v}(a) =

= \frac{1}{2} \{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}^{iu}τ′′_{u}(b) \{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}^{jv}τ′′_{v}(a)

et

Δ9_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) = −\frac{1}{2} ℓ̃(ϕ)^{pu}τ′_{u}(bψ^{jq}) ℓ̃(ϕ)^{qv}τ′_{v}(aψ^{ip}) =

= −\frac{1}{2} ℓ̃(ϕ)^{pu}\{τ′_{u}(b)ψ^{jq} + bℓ′′_{j}(ψ)^{uq}\} ℓ̃(ϕ)^{qv}\{τ′_{v}(a)ψ^{ip} + aℓ′′_{i}(ψ)^{vp}\}

On a

Δ9_{𝔟𝔟′}(2.2) = −\frac{1}{2} ab tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)\};

Δ9_{𝔟𝔟′}(1.2) = \frac{1}{2} a [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ju}τ′′_{u}(b)

et

Δ9_{𝔟𝔟′}(2.1) = −\frac{1}{2} b [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu}τ′′_{u}(a)

15.29. On a

h^{′(3)}(1)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ10_{𝔟′𝔟′′} = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} db [ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{j}(ψ)]^{ip}τ_{p}(a);

−Δ10_{𝔟𝔟′′} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} db [ℓ̃(ψϕ)ℓ̃′′_{j}(ψϕ)]^{ip}τ_{p}(a) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} db [\{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}\{ℓ̃′′_{j}(ψ) + ℓ̃′′_{j}(ϕ)^{ψ^{−1}}\}]^{ip}τ_{p}(a)

et

Δ10_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} d(bψ^{jq}) [ℓ̃(ϕ)ℓ̃′_{q}(ϕ)]^{pu} τ′_{u}(aψ^{ip}) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} \{db ψ^{jq} + b dψ^{jq}\} [ℓ̃(ϕ)ℓ̃′_{q}(ϕ)]^{pu} \{τ′_{u}(a) ψ^{ip} + a ℓ′′_{i}(ψ)^{up}\}

Nous avons

Δ10_{𝔟𝔟′}(1.1) = Δ10_{𝔟𝔟′′}(2.2);

Δ10_{𝔟𝔟′}(1.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{j}(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)\};

Δ10_{𝔟𝔟′}(2.2) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ) dψ^{jq}ℓ̃′_{q}(ϕ) ℓ′′_{i}(ψ)\}

et

Δ10_{𝔟𝔟′}(2.1) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [\{ℓ̃(ϕ) dψ^{jq}ℓ̃′_{q}(ϕ)\}^{ψ^{−1}}]^{iu} τ′′_{u}(a)

15.30. Ensuite,

h^{′(3)}(2)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ11_{𝔟′𝔟′′} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ψ)^{iu} dτ′′_{u}(b) τ′′_{j}(a);

−Δ11_{𝔟𝔟′′} = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ψϕ)^{iu} dτ′′_{u}(b) τ′′_{j}(a) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} \{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}^{iu} dτ′′_{u}(b) τ′′_{j}(a)

et

Δ11_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ϕ)^{pu} dτ′_{u}(bψ^{jq}) τ′_{q}(aψ^{ip}) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ϕ)^{pu} dτ′_{u}(bψ^{jq}) \{τ′_{q}(a)ψ^{ip} + a ℓ′′_{i}(ψ)^{qp}\}

Ici

dτ′_{u}(bψ^{jq}) = d{τ′_{u}(b)ψ^{jq} + b ℓ′′_{j}(ψ)^{uq}} =
= dτ′_{u}(b) ψ^{jq} + τ′_{u}(b) dψ^{jq} + db ℓ′′_{j}(ψ)^{uq} + b dℓ′′_{j}(ψ)^{uq},

où

dτ′_{u}(b) = −[ℓ(ψ)ψ^{−1}]^{uv} τ′′_{v}(b) + ψ^{−1uv} dτ′′_{v}(b),

d’où

dτ′_{u}(bψ^{jq}) = 1 + 1′ + 2 + 3 + 4

Nous avons

Δ11_{𝔟𝔟′}(1.1) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃(ψ)]^{iv} τ′′_{v}(b)τ′′_{j}(a);

Δ11_{𝔟𝔟′}(1′.1) = Δ11_{𝔟𝔟′′}(2);

Δ11_{𝔟𝔟′}(2.1) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iv} τ′′_{v}(b) dψ^{jq} τ′_{q}(a) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iv} τ′′_{v}(b) ℓ̃(ψ)^{jp}τ′′_{p}(a);

Δ11_{𝔟𝔟′}(3.1) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} db [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{j}(ψ)]^{iq} τ′′_{q}(a)

et

Δ11_{𝔟𝔟′}(4.1) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} \{m̃′′_{j}(ψ) − ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{j}(ψ)\}]^{iq} τ′′_{q}(a)

D’autre part,

Δ11_{𝔟𝔟′}(1.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃(ψ)]^{jv} τ′′_{v}(b);

Δ11_{𝔟𝔟′}(1′.2) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jv} dτ′′_{v}(b);

Δ11_{𝔟𝔟′}(2.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jv} τ′′_{v}(b);

Δ11_{𝔟𝔟′}(3.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{ℓ′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)ℓ′′_{j}(ψ)\}

et

Δ11_{𝔟𝔟′}(4.2) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ) dℓ′′_{j}(ψ)\} =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ) \{−ℓ(ψ)ℓ′′_{j}(ψ) + m′′_{j}(ψ)\}\}

15.31. Enfin,

h^{′(3)}(3)_{𝔟′𝔟′′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = Δ12_{𝔟′𝔟′′} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ψ)^{ju} τ′′_{u}(a) dτ′′_{i}(b);

−Δ12_{𝔟𝔟′′} = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ψϕ)^{ju} τ′′_{u}(a) dτ′′_{i}(b) =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} \{ℓ̃(ψ) + ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}\}^{ju} τ′′_{u}(a) dτ′′_{i}(b)

et

Δ12_{𝔟𝔟′}(aψ^{ip}τ′_{p}, bψ^{jq}τ′_{q}) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ϕ)^{qu} τ′_{u}(aψ^{ip}) dτ′_{p}(bψ^{jq}) =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ϕ)^{qu} \{τ′_{u}(a)ψ^{ip} + a ℓ′′_{i}(ψ)^{up}\} dτ′_{p}(bψ^{jq})

Ici

dτ′_{p}(bψ^{jq}) = d{τ′_{p}(b)ψ^{jq} + b ℓ′′_{j}(ψ)^{pq}} =
= {−[ℓ(ψ)ψ^{−1}]^{pv} τ′′_{v}(b) + ψ^{−1pv} dτ′′_{v}(b)}ψ^{jq} + τ′_{p}(b) dψ^{jq}+
+db ℓ′′_{j}(ψ)^{pq} + b dℓ′′_{j}(ψ)^{pq}

Nous avons

Δ12_{𝔟𝔟′}(1.1) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}ju} τ′′_{u}(a) ℓ̃(ψ)^{iv} τ′′_{v}(b);

Δ12_{𝔟𝔟′}(1.1′) = Δ12_{𝔟𝔟′′}(2);

Δ12_{𝔟𝔟′}(1.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ju} τ′′_{u}(a)τ′′_{i}(b);

Δ12_{𝔟𝔟′}(1.3) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} db [ℓ̃′′_{j}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu} τ′′_{u}(a)

et

Δ12_{𝔟𝔟′}(1.4) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} b [\{m̃′′_{j}(ψ) − ℓ̃(ψ)ℓ̃′′_{j}(ψ)\} ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu} τ′′_{u}(a)

D’un autre côté,

Δ12_{𝔟𝔟′}(2.1) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ψ)]^{jv} τ′′_{v}(b);

Δ12_{𝔟𝔟′}(2.1′) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)]^{jv} dτ′′_{v}(b);

Δ12_{𝔟𝔟′}(2.2) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}} ℓ̃′′_{i}(ψ)]^{js} τ′′_{s}(b);

Δ12_{𝔟𝔟′}(2.3) = \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} adb tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ)ℓ′′_{j}(ψ)\}

et

Δ12_{𝔟𝔟′}(2.4) = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ) dℓ′′_{j}(ψ)\} =

= −\frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} ab tr\{ℓ̃(ϕ)ℓ′′_{i}(ψ) \{−ℓ(ψ)ℓ′′_{j}(ψ) + m′′_{j}(ψ)\}\}

(c) Balance des mauvais termes 15.32. On doit calculer d_{DR}H + Δh′. On aura les termes des types suivants qui doivent disparaître:

ab dψ^{jq}; ab m̃′′_{i}; adb; aτ′′_{i}(b); aτ′′_{p}(b); aτ′′_{i}τ′′_{p}(b); adτ′′_{p}(b); da τ′′_{p}(b)

τ′′_{p}(a)τ′′_{q}(b); et τ′′_{j}(a)τ′′_{p}(b)

15.33. Les termes du type \frac{1}{12}ab Alt_{ij} tr\{dψ^{jq} ℓ̃′_{q}(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ)ℓ̃(ϕ)\} arrivent chez Δh′ dans:

Δ2′ + Δ2′′ + Δ3′ + Δ3′′ = 0

et

Δ4_{𝔟𝔟′}(2.2) + Δ10_{𝔟𝔟′}(2.2) = 0

Il n’y a pas d’eux chez d_{DR}H. Type \frac{1}{12}ab Alt_{ij} tr\{ℓ′′_{j}(ψ)m′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)\}. Dans \frac{1}{2}ab τ′′_{i}H^{(0)}(τ′′_{j}) (8 termes) (faites attention au facteur 1/2!); dans ⟨τ′′_{i}, Dk⟩

(cf. 1.17, 1.18) (8 termes);

d’un autre cô té dans Δ3′, Δ3′′ (12 termes) et dans Δ4_{𝔟𝔟′}(1.2), Δ6_{𝔟𝔟′}(4), Δ11_{𝔟𝔟′}(4.2) et Δ12_{𝔟𝔟′}(2.4).

En ajoutant on obtient 0, comme il faut. 15.34. Type \frac{1}{12}adb tr\{ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{i}(ϕ)ℓ(ψ)^{ϕ}\}. Dans

H03(1) = \frac{1}{2}(−adb + bda) Sym_{ij}⟨τ′′_{i}, H^{(0)}(τ′′_{j})⟩,

cf. 15.12; d’autre part dans Δ2′, Δ2′′ (12 termes) et Δ6_{𝔟𝔟′}(2), Δ10_{𝔟𝔟′}(1.2), Δ11_{𝔟𝔟′}(3.2), Δ12_{𝔟𝔟′}(2.3). En ajoutant on obtient 0. Type \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a[(ℓ̃(ϕ)dψ^{jq} ℓ̃′_{q}(ϕ))^{ψ^{−1}}]^{ip}τ′′_{p}(b). Dans Δ4_{𝔟𝔟′}(2.1) + Δ10_{𝔟𝔟′}(2.1) = 0. Il n’y a pas de ce type chez d_{DR}H. 15.35. Type \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a[m̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{ju} τ′′_{u}(b).

\frac{1}{2}(H12(1) + H12(2)) − Δ4_{𝔟𝔟′′}(2.1) − Δ4_{𝔟𝔟′′}(1.4) = 0

Type \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a[ℓ̃(ψ)(ℓ̃(ϕ)ℓ̃′′_{i}(ϕ))^{ψ^{−1}}]^{ju} τ′′_{u}(b). Chez d_{DR}H: \frac{1}{2}(H12(3) + H12(4)) (cf. 1.12) et dans H13 (cf. 1.20) ( 6 termes); d’autre part, chez Δh′, dans −Δ4_{𝔟𝔟′′} (4 termes), −Δ5_{𝔟𝔟′′} (6 termes), Δ6_{𝔟𝔟′}(1),

Δ6_{𝔟𝔟′}(3), dans −Δ7_{𝔟𝔟′′} (6 termes), Δ8_{𝔟𝔟′}(1.2+2.1)+Δ9_{𝔟𝔟′}(1.2+2.1)+Δ11_{𝔟𝔟′}(1.2+2.2+4.1)+Δ12_{𝔟𝔟′}(1.4+2.1+2.2). En rajoutant, on aura 0. 15.36. Type \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} da [ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jp} τ′′_{p}(b). H14 − Δ10_{𝔟𝔟′′}(1.2 + 2.1) + Δ11_{𝔟𝔟′}(3.1) + Δ12_{𝔟𝔟′}(1.3) = 0 Type \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a[ℓ̃′′_{i}(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jp} dτ′′_{p}(b). H13(3) − Δ6_{𝔟𝔟′′}(1.2 + 2.1) + Δ11_{𝔟𝔟′}(1′.2) + Δ12_{𝔟𝔟′}(2.1′) = 0. Type \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} a[ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{jp} τ′′_{i}τ′′_{p}(b). H13(3.3) + \frac{1}{2}H12(5) + H11(1) = 0 Type \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iv} τ′′_{v}(b) ℓ̃(ψ)^{ju} τ′′_{u}(a). Δ11_{𝔟𝔟′}(2.1) + Δ12_{𝔟𝔟′}(1.1) − Δ9_{𝔟𝔟′′}(1.2 + 2.1) = 0. Enfin, le type \frac{1}{4}Alt_{aτ′′_{i},bτ′′_{j}} [ℓ̃(ψ)ℓ̃(ϕ)^{ψ^{−1}}]^{iu} τ′′_{u}(b)τ′′_{j}(a). H11(2) − Δ8_{𝔟𝔟′′}(1.2 + 2.1) + Δ11_{𝔟𝔟′′}(1.1) + Δ11_{𝔟𝔟′′}(1.2) = 0 (d) Les termes principaux

15.37. Les termes principaux de d_{DR}H + Δh′ sont du type

ab Alt_{ij} tr{ℓ′′_{i}(ψ)^{ϕ}ℓ′′_{j}(ψ)^{ϕ}ℓ(ψ)^{ϕ}ℓ(ϕ)

Ils arrivent chez d_{DR}H dans \frac{1}{2}(H(01) + … + H(04)) (cf. 1.8 - 1.11). Après l’addition on trouve H02(1) + H02(3) = 0, et H02(2) + H02(4) donne 6 termes avec le coéfficient 1/12.

Ils se trouvent aussi dans ⟨τ′′_{i}, D1 + … + D4⟩ (cf. 15.14, 15.15), ce qui donne après l’addition 8 termes avec le coéfficient 1/12.

D’un autre côté, chez Δh′ ils arrivent dans: Δ1′ (14 termes), avec le coéfficient 1/4, il n’y a pas d’alternation, car le forme

est déjà antisymétrique en i, j; Δ1′′, également 14 termes, avec le coéfficient 1/12; Δ3′ + Δ3′′, 16 termes, avec le coéfficient 1/12; Δ5_{𝔟𝔟′}(2) + Δ6_{𝔟𝔟′}(4) + Δ7_{𝔟𝔟′}(2) + Δ8_{𝔟𝔟′}(2.2) + Δ11_{𝔟𝔟′}(4.2) + Δ12_{𝔟𝔟′}(2.4), avec

le coéfficient 1/4

et dans Δ9_{𝔟𝔟′}(2.2), avec le coéfficient 1/2 mais il n’y a pas d’alternation non plus.

15.38. En ajoutant, on obtient après un calcul la formule principale:

−{d_{DR}H + Δh′}(aτ′′_{i}, bτ′′_{j}) = ⟨aτ′′_{i}, ⟨bτ′′_{j}, β^{12}⟩⟩,

où

β^{12} = β^{12}(ψ, ϕ) = −\frac{1}{12} tr\{ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ)^{3}\} − \frac{1}{12} tr\{ℓ(ψ)^{3}ℓ̃(ϕ)\}−

−\frac{1}{24} tr\{(ℓ(ψ)ℓ̃(ϕ))^{2}\} + \frac{1}{12} tr\{ℓ(ψ)^{2}ℓ̃(ϕ)^{2}\}

Cela est la relation (11.5.2).

§16. Vérification de la relation d_{DR}h′_{𝔟𝔟′} + Rh_{𝔟𝔟′} + d_{c}c_{𝔟𝔟′} = ιβ^{21}(ϕ)

16.1. On utilise toujours les notations de §11. Dans cette section on calcule la quantité d_{DR}h′_{𝔟𝔟′} + Rh_{𝔟𝔟′} + d_{c}c_{𝔟𝔟′} ∈ Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}); on montre qu’elle appartient à ι(Ω^{5}) ⊂ Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) et est égale à ιβ^{21}(ϕ), où β^{21}(ϕ) = −\frac{1}{60} tr\{(ϕ^{−1}dϕ)^{5}\}, cf. 3.9.

(a) Différentielle de de Rham d_{DR}h′: les termes tr

16.2. Rappelons (cf. 10.1) que la différentielle de de Rham d_{DR} : Hom(Λ^{2}T, Ω^{2}) ⟶ Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) est définie par d_{DR} = −d_{Ch} − E, où

d_{Ch}c(τ, τ′, τ′′) = Cycle_{ττ′τ′′} {−c([τ, τ′], τ′′) + τc(τ′, τ′′)}

et

Ec(τ, τ′, τ′′) = −\frac{1}{3}Cycle_{ττ′τ′′} d⟨τ, c(τ′, τ′′)⟩

Si c est A-linéaire et 𝔟 = {τ_{i}} ∈ 𝔅 est une base abélienne, alors

−d_{DR}c(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = Cycle_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} {−c(aτ_{i}(b)τ_{j} − bτ_{j}(a)τ_{i}, cτ_{k})+

+(aτ_{i})c(bτ_{j}, cτ_{k}) − \frac{1}{3}d⟨aτ_{i}, c(bτ_{j}, cτ_{k})⟩\} =

= Cycle_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} {−aτ_{i}(b)c c(τ_{j}, τ_{k}) + bτ_{j}(a)c c(τ_{i}, τ_{k})+

+da bc⟨τ_{i}, c(τ_{j}, τ_{k})⟩ + a{τ_{i}(b)c + bτ_{i}(c)} c(τ_{j}, τ_{k}) + abc τ_{i}c(τ_{j}, τ_{k})

−\frac{1}{3} d(abc) ⟨τ_{i}, c(τ_{j}, τ_{k})⟩ − \frac{1}{3}abc d⟨τ_{i}, c(τ_{j}, τ_{k})⟩\} =

= abc Cycle_{ijk} \{τ_{i}c(τ_{j}, τ_{k}) − \frac{1}{3}d⟨τ_{i}, c(τ_{j}, τ_{k})⟩\}−

−\frac{1}{3} d(abc) Cycle_{ijk} ⟨τ_{i}, c(τ_{j}, τ_{k})⟩ + Cycle_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} \{da bc⟨τ_{i}, c(τ_{j}, τ_{k})⟩\}

16.3. L’élément h′ = h′_{𝔟𝔟′} ∈ Hom(Λ^{2}T, Ω^{2}) est défini dans 11.3 et 14.6.

Pour brévité, on utilisera les notations ℓ = ℓ(ϕ), ℓ′_{i} = ℓ′_{i}(ϕ), etc.

On a

dℓ = −ℓ^{2}, dℓ_{i} = −ℓℓ_{i} + m_{i};
τ_{i}ℓ = −ℓ_{i}ℓ + m_{i}, τ_{i}ℓ_{j} = −ℓ_{i}ℓ_{j} + ℓ_{ij}
τ_{i}m_{j} = −ℓ_{i}m_{j} + m_{ij}; dm_{i} = −ℓm_{i}

16.4. On a

h′1′(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = \frac{1}{4}ab tr\{ℓ′_{j}ℓℓ′_{i}ℓ\} = \frac{1}{8}ab Alt_{ij} tr\{ℓ′_{j}ℓℓ′_{i}ℓ\}

Donc

Cycle_{ijk} τ′_{i}h′1′(τ′_{j}, τ′_{k}) = \frac{1}{8}Alt_{ijk} tr \{τ′_{i}(ℓ′_{k}ℓℓ′_{j}ℓ)\} =

= \frac{1}{8}Alt_{ijk} tr \{(−ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓℓ′_{j}ℓ + ℓ′_{k}(−ℓ′_{i}ℓ + m′_{i})ℓ′_{j}ℓ − ℓ′_{k}ℓℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ + ℓ′_{k}ℓℓ′_{j}(−ℓ′_{i}ℓ + m′_{i})\} =

= \frac{1}{4}Alt_{ijk} tr \{ℓ′_{i}m′_{j}ℓ_{k}ℓ\}

D’un autre côté,

⟨τ′_{i}, h′1′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{4}tr \{⟨τ′_{i}, ℓ′_{k}ℓℓ′_{j}ℓ⟩\} =

= \frac{1}{4}tr \{ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ − ℓ′_{k}ℓℓ′_{j}ℓ′_{i}\} = \frac{1}{4}tr \{ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ − ℓ′_{j}ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ\}

et

Cycle_{ijk} ⟨τ′_{i}, h′1′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{8}Alt_{ijk} tr \{⟨τ′_{i}, ℓ′_{k}ℓℓ′_{j}ℓ⟩\} = \frac{1}{8}Alt_{ijk} tr \{ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ−ℓ′_{k}ℓℓ′_{j}ℓ′_{i}\} =

= \frac{1}{4}Alt_{ijk} tr \{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ\}

Donc

Cycle_{ijk} d⟨τ′_{i}, h′1′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{4}Alt_{ijk} tr \{d(ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ)\} =

= \frac{1}{4}Alt_{ijk} tr \{(−ℓℓ′_{i} + m′_{i})ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{i}(−ℓℓ′_{j} + m′_{j})ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{i}ℓ′_{j}(−ℓℓ′_{k} + m′_{k})ℓ − ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ^{2}\} =

= \frac{1}{4}Alt_{ijk} tr \{(m′_{i}ℓ′_{i}ℓ′_{k} + ℓ′_{i}m′_{j}ℓ′_{k} + ℓ′_{i}ℓ′_{j}m′_{k}) ℓ\}

Il en suit que

−d_{DR}h′1′(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{12}abc Alt_{ijk} tr \{(m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k} − 2ℓ′_{i}m′_{j}ℓ′_{k} + ℓ′_{i}ℓ′_{j}m′_{k}) ℓ\}−

−\frac{1}{12}d(abc) Alt_{ijk} tr \{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ\} + \frac{1}{4}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ − ℓ′_{j}ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ\}\},

cf. 16.2. Ici:

−\frac{1}{12}d(abc) Alt_{ijk} tr \{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ\} =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{(−ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k} + ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j} − ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j})ℓ\}\}

et

\frac{1}{4}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ − ℓ′_{j}ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ\}\} =

= \frac{1}{4}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ\}\} = −\frac{1}{4}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ\}\}

En ajoutant,

−d_{DR}h′1′(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{12}abc Alt_{ijk} tr \{(m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k} − 2ℓ′_{i}m′_{j}ℓ′_{k} + ℓ′_{i}ℓ′_{j}m′_{k}) ℓ\}−

−\frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{(ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k} + 2ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j})ℓ\}\}

16.5. Ensuite,

h′1′′(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = \frac{1}{12}ab Alt_{ij} tr \{ℓ′_{j}ℓ′_{i}ℓ^{2}\}

D’où

Cycle_{ijk} τ′_{i}h′1′′(τ′_{j}, τ′_{k}) = \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr \{τ′_{i}(ℓ′_{k}ℓ_{j}ℓ^{2})\} =

= \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr \{−ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ^{2} − ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ^{2} + ℓ′_{k}ℓ′_{j}(−ℓ′_{i}ℓ + m′_{i})ℓ + ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ(−ℓ′_{i}ℓ + m′_{i})\} =

= \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr \{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ^{2} + ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓℓ′_{k}ℓ + m′_{i}ℓ′_{j}ℓ_{k}ℓ − ℓ′_{i}ℓ′_{j}m′_{k}ℓ\}

D’autre part,

⟨τ′_{i}, h′1′′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{12}Alt_{jk} tr ⟨τ′_{i}, ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ^{2}\} =

= \frac{1}{12}Alt_{jk} tr \{ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i}ℓ − ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓℓ′_{i}\} = \frac{1}{12}Alt_{jk} tr \{ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i}ℓ − ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ\}

et

Cycle_{ijk} ⟨τ′_{i}, h′1′′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr \{⟨τ′_{i}, ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ^{2}⟩\} =

= \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr \{ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i}ℓ − ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓℓ′_{i}\} = 0

Il en suit que

−d_{DR}h′1′′(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{12}abc Alt_{ijk} tr \{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ^{2}+ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓℓ′_{k}ℓ+m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ−ℓ′_{i}ℓ′_{j}m′_{k}ℓ\}+

+\frac{1}{12}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i} − ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j} − ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ′_{i} + ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}) ℓ\}\}

Ici

\frac{1}{12}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i} − ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j} − ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ′_{i} + ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}) ℓ\}\} =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i} − ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j})ℓ\}\} =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{(−ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k} + ℓ′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j})ℓ\}\}

D’où les termes ab dc dans −d_{DR}h′1:

−\frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{(ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k} + ℓ′_{i}ℓ′_{k}ℓ′_{j})ℓ\}\}

16.6. Ensuite,

h′3′(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{12}bc Alt_{jk} tr\{m′_{k}ℓ′_{j}ℓ\}

Donc

Cycle_{ijk} τ′_{i}h′3′(τ′_{j}, τ′_{k}) = \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{τ′_{i}(m′_{k}ℓ′_{j}ℓ)\} =

= \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{−ℓ′_{i}m′_{k}ℓ′_{j}ℓ − m′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ − m′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i}ℓ + m′_{k}ℓ′_{j}m′_{i}\} =

= \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{ℓ′_{i}m′_{j}ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{i}m′_{j}m′_{k}\}

D’un autre côté,

⟨τ′_{i}, h′3′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{12}Alt_{jk} tr⟨τ′_{i}, m′_{k}ℓ′_{j}ℓ⟩ =

= \frac{1}{12}Alt_{jk} tr\{ℓ′_{ik}ℓ′_{j}ℓ − m′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i}\}

et

Cycle_{ijk} ⟨τ′_{i}, h′3′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{⟨τ′_{i}, m′_{k}ℓ′_{j}ℓ⟩\} =

= \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{ℓ′_{ik}ℓ′_{j}ℓ − m′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i}\} = −\frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{m′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i}\} = \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}\}

Il en suit que

−d_{DR}h′3′(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{12}abc Alt_{ijk} tr\{ℓ′_{i}m′_{j}ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{i}m′_{j}m′_{k} − \frac{1}{3}d(m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k})\}−

−\frac{1}{36}d(abc) Alt_{ijk} tr\{m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}\}+

+\frac{1}{12}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{ℓ′_{ik}ℓ′_{j}ℓ − m′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i} − ℓ′_{ij}ℓ′_{k}ℓ + m′_{j}ℓ′_{k}ℓ′_{i}\}\}

Ici

\frac{1}{12}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{ℓ′_{ik}ℓ′_{j}ℓ − m′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i} − ℓ′_{ij}ℓ′_{k}ℓ + m′_{j}ℓ′_{k}ℓ′_{i}\}\} =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{−ℓ′_{ik}ℓ′_{j}ℓ + ℓ′_{j}ℓ′_{k}m′_{i}\}\}

16.7. D’autre part,

h′3′′(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{12}bc Alt_{jk} tr\{ℓ′_{j}m′_{k}ℓ\}

Donc

Cycle_{ijk} τ′_{i}h′3′′(τ′_{j}, τ′_{k}) = \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{τ′_{i}(ℓ′_{j}m′_{k}ℓ)\} =

= \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{−ℓ′_{i}ℓ′_{j}m′_{k}ℓ − ℓ′_{j}ℓ′_{i}m′_{k}ℓ + ℓ′_{j}m′_{k}(−ℓ′_{i}ℓ + m′_{i})\} =

= \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{−ℓ′_{i}m′_{j}ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{i}m′_{j}m′_{k}\}

Ensuite,

⟨τ′_{i}, h′3′′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{12}Alt_{jk} tr⟨τ′_{i}, ℓ′_{j}m′_{k}ℓ⟩ =

= \frac{1}{12}Alt_{jk} tr\{ℓ′_{j}ℓ′_{ik}ℓ − ℓ′_{j}m′_{k}ℓ′_{i}\}

et et

Cycle_{ijk} ⟨τ′_{i}, h′3′′(τ′_{j}, τ′_{k})⟩ = \frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{⟨τ′_{i}, ℓ′_{j}m′_{k}ℓ⟩\} =

= −\frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{ℓ′_{j}m′_{k}ℓ′_{i}\} = −\frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{m′_{k}ℓ′_{i}ℓ′_{j}\} = −\frac{1}{12}Alt_{ijk} tr\{m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}\}

Il en suit que

−d_{DR}h′3′′(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{12}abc Alt_{ijk} tr\{−ℓ′_{i}m′_{j}ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{i}m′_{j}m′_{k} + \frac{1}{3}d(m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k})\}+

+\frac{1}{36}d(abc) Alt_{ijk} tr\{m′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}\}+

+\frac{1}{12}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{ℓ′_{j}ℓ′_{ik}ℓ − ℓ′_{j}m′_{k}ℓ′_{i} − ℓ′_{k}ℓ′_{ij}ℓ + ℓ′_{k}m′_{j}ℓ′_{i}\}\}

Ici

\frac{1}{12}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da bc tr\{ℓ′_{j}ℓ′_{ik}ℓ − ℓ′_{j}m′_{k}ℓ′_{i} − ℓ′_{k}ℓ′_{ij}ℓ + ℓ′_{k}m′_{j}ℓ′_{i}\}\} =

= \frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{−ℓ′_{j}ℓ′_{ik}ℓ + ℓ′_{k}ℓ′_{j}m′_{i}\}\}

16.8. En ajoutant les termes du type abc dans −d_{DR}(h′1′ + h′1′′ + h′3′ + h′3′′), on aura:

\frac{1}{12}abc Alt_{ijk} tr\{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ^{2} + ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓℓ′_{k}ℓ+

+2ℓ′_{i}m′_{j}ℓ′_{k}ℓ − 2ℓ′_{i}ℓ′_{j}m′_{k}ℓ + 2ℓ′_{i}m′_{j}m′_{k}}

16.9. Maintenant on va calculer d_{DR}h′2. On a

h′2(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{12} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} \{b dc tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} \} =

= \frac{1}{12} (b dc − c db) tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} \}

Donc

−Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′2([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′2(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(aτ′_{i}(b)dc − c da τ′_{i}(b) + ca dτ′_{i}(b)) tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} \}

Ensuite,

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} (aτ′_{i})h′2(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(aτ′_{i}(b)dc+ab dτ′_{i}(c)) tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j}+ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} +

+ab dc tr{(−ℓ′_{i}ℓ′_{k} + ℓ′_{ik})ℓ′_{j}ℓ + (−ℓ′_{i}ℓ′_{j} + ℓ′_{ij})ℓ′_{k}ℓ+

+ℓ′_{k}(−ℓ′_{i}ℓ′_{j} + ℓ′_{ij})ℓ + ℓ′_{j}(−ℓ′_{i}ℓ′_{k} + ℓ′_{ik})ℓ + ℓ′_{k}ℓ′_{j}(−ℓ′_{i}ℓ + m′_{i}) + ℓ′_{j}ℓ′_{k}(−ℓ′_{i}ℓ + m′_{i})}+

+da bτ′_{i}(c) tr{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ} − da b dc tr{ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ′_{i} + ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ′_{i}} } =

= \frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(aτ′_{i}(b)dc − c da τ′_{i}(b) + ca dτ′_{i}(b)) tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} +

+ab dc tr{(ℓ′_{ik}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{ik})ℓ + (ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})m′_{i}} + 2a db dc tr{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}} } Enfin,

−\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′2(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{36} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{ abτ′_{i}(c) tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} − a dc b tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} \} =

= −\frac{1}{36} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{ abτ′_{i}(c) tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} \} = −Rh0(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k})

(pour la définition de Rh0, cf. 16.18 ci-dessous).

Après sommation,

−d_{DR}h′2(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{\frac{1}{12} \{ab dc tr\{(ℓ′_{ik}ℓ′_{j}+ℓ′_{j}ℓ′_{ik})ℓ+(ℓ′_{k}ℓ′_{j}+ℓ′_{j}ℓ′_{k})m′_{i}\}+

+2a db dc tr\{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}\} \} − \frac{1}{36} d\{ abτ′_{i}(c) tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} \} \}

16.10. Type ab dc dans −d_{DR}(h′2 + h′3):

\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})m′_{i}\}\}

(b) Différentielle de Čech d_{c}c: les termes principaux 16.11. Rappelons (cf. 10.14) l’élément c_{𝔟} ∈ Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) défini par

c_{𝔟}(aτ_{i}, bτ_{j}, cτ_{k}) = \frac{1}{6}Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} τ_{k}(a) dτ_{i}(b) dτ_{j}(c)

On veut calculer

d_{c}c_{𝔟𝔟′} = c_{𝔟′} − c_{𝔟}

On aura:

c_{𝔟′}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} τ′_{k}(a) dτ′_{i}(b) dτ′_{j}(c)

D’un autre côté, −c_{𝔟}(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −c_{𝔟}(aϕ^{ip}τ_{p}, bϕ^{jq}τ_{q}, cϕ^{kr}τ_{r}) =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} τ_{r}(aϕ^{ip}) dτ_{p}(bϕ^{jq}) dτ_{q}(cϕ^{kr}) =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(τ_{r}(a)ϕ^{ip} + aℓ_{i}^{′rp}) d(τ_{p}(b)ϕ^{jq} + bℓ_{j}^{′pq}) d(τ_{q}(c)ϕ^{kr} + cℓ_{k}^{′qr})\} =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(ϕ^{−1ru}τ′_{u}(a)ϕ^{ip} + aℓ_{i}^{′rp}) ×

× d(ϕ^{−1pv}τ′_{v}(b)ϕ^{jq} + bℓ_{j}^{′pq}) d(ϕ^{−1qw}τ′_{w}(c)ϕ^{kr} + cℓ_{k}^{′qr})} =

= −\frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(ϕ^{−1ru}τ′_{u}(a)ϕ^{ip} + aℓ_{i}^{′rp}) ×

× (−[ϕ^{−1}dϕ ϕ^{−1}]^{pv}τ′_{v}(b)ϕ^{jq} +ϕ^{−1pv}dτ′_{v}(b)ϕ^{jq} +ϕ^{−1pv}τ′_{v}(b)dϕ^{jq} +db ℓ_{j}^{′pq} +b dℓ_{j}^{′pq}) × × (−[ϕ^{−1}dϕ ϕ^{−1}]^{qw}τ′_{w}(c)ϕ^{kr}+ϕ^{−1qw} dτ′_{w}(c)ϕ^{kr}+ϕ^{−1qw}τ′_{w}(c)dϕ^{kr}+dc ℓ_{k}^{′qr}+c dℓ_{k}^{′qr})}

16.12. Les termes principaux dans d_{c}c sont les termes du type abc:

−\frac{1}{6}abc Alt_{ijk} tr\{ℓ′_{i} dℓ′_{j} dℓ′_{k}\} = −\frac{1}{6}abc Alt_{ijk} tr\{ℓ′_{i}(−ℓℓ′_{j} + m′_{j})(−ℓℓ′_{k} + m′_{k})\}

En ajoutant avec 16.8, on obtient le type abc dans d_{DR}h′ + d_{c}c:

\frac{1}{12}abc Alt_{ijk} tr\{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ^{2} − ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓℓ′_{k}ℓ\}

16.13. De l’autre côté, un calcul facile montre que

⟨τ_{k}, tr{ℓ^{5}}⟩ = 5 tr{ℓ_{k}ℓ^{4}}

⟨τ_{j}, ⟨τ_{k}, tr{ℓ^{5}}⟩⟩ = 5 tr{ℓ_{k}(ℓ_{j}ℓ^{3} − ℓℓ_{j}ℓ^{2} + ℓ^{2}ℓ_{j}ℓ − ℓ^{3}ℓ_{j})}

et

⟨τ_{i}, ⟨τ_{j}, ⟨τ_{k}, tr{ℓ^{5}}⟩⟩⟩ = 30 tr{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ^{2} − ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓℓ′_{k}ℓ} =
= 5 Alt_{ijk} tr{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ^{2} − ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓℓ′_{k}ℓ}

Rappelons la forme

β^{21}(ϕ) = −\frac{1}{60} tr\{(ϕ^{−1}dϕ)^{5}\}

Alors l’expression 16.12 sera égale à −⟨τ_{i}, ⟨τ_{j}, ⟨τ_{k}, β^{21}(ϕ)⟩⟩⟩

16.14. Type ab dc dans d_{c}c:

−\frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{−ab dc tr\{ℓ′_{i} dℓ′_{j} ℓ′_{k}\} + a db c tr\{ℓ′_{i}ℓ′_{j} dℓ′_{k}\}\}

(attention au signe dans le premier terme: il apparaît car dc doit être transposé avec dℓ′_{j})

= \frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{ℓ′_{i}(−ℓℓ′_{j} + m′_{i})ℓ′_{k}\} − a db c tr\{ℓ′_{i}ℓ′_{j}(−ℓℓ′_{k} + m′_{k})\} \} =

= \frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ab dc tr\{−(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})m′_{i} + ℓ′_{i}(ℓ′_{k}ℓ′_{j} + ℓ′_{j}ℓ′_{k})ℓ\} \}

En comparant avec 16.10 et la fin de 16.5, on voit que ce type disparaît dans d_{c}c − d_{DR}h′(1 + 2 + 3).

16.15. Type a db dc:

−\frac{1}{6}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{a db dc tr\{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ′_{k}\}\}

En comparant avec la fin de 16.9, on voit que ce type-la disparaît dans d_{c}c−d_{DR}h′2. Ceci, combiné avec le resultat principal de (f) ci-dessous, cf. 16.42, entraîne 16.16. Théorème. On a

d_{DR}h′_{𝔟𝔟′} + Rh_{𝔟𝔟′} + Δc_{𝔟𝔟′} = ιβ^{21}(ϕ),

où

β^{21}(ϕ) = −\frac{1}{60} tr\{(ϕ^{−1}dϕ)^{5}\} ∈ Ω^{5}

et l’inclusion ι : Ω^{5} ↪ Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) est définie par

ιω(τ, τ′, τ′′) = ⟨τ′, ⟨τ′, ⟨τ, ω⟩⟩⟩

(c) L’élément Rh

16.17. Rappelons l’application R : Hom(S^{2}T, Ω) ⟶ Hom(Λ^{3}T, Ω^{2}) (cf. 10.4):

Rc(τ_{1}, τ_{2}, τ_{3}) = −\frac{1}{6} Cycle_{123} dc([τ_{1}, τ_{2}], τ_{3})

De l’autre côté, rappelons l’élément h = h_{𝔟𝔟′} ∈ Hom(S^{2}T, Ω) (cf. (9.3.1)):

h(aτ′_{i}, bτ′_{j}) = Sym_{aτ′_{i},bτ′_{j}} \{\frac{1}{6} ab tr\{ℓ′_{i}ℓ′_{j}ℓ\} + \frac{1}{2} a [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(b) + \frac{1}{2} τ′_{i}(b) ℓ̃^{jp} τ′_{p}(a)\} =

= h0 + h1 + h2

16.18. On a

Rh(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} dh(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k})

Par exemple,

h0(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{6} aτ′_{i}(b)c tr\{ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ\},

donc

Rh0(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{36} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{aτ′_{i}(b)c tr\{ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ\}\} =

= \frac{1}{36} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{aτ′_{i}(c)b tr\{ℓ′_{j}ℓ′_{k}ℓ + ℓ′_{k}ℓ′_{j}ℓ\}\},

cf. la fin de 16.9: ceci disparaît dans Rh0 − d_{DR}h′2.

16.19. Ensuite,

h1(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{2}\{b[ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp}τ′_{p}(c) + c[ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp}τ′_{p}(b)\},

d’où

Rh1(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{aτ′_{i}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp}τ′_{p}(c) + c[ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} (τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + aτ′_{p}τ′_{i}(b)) \}

Ici le premier et le troisième termes disparaîtront dans −d_{DR}h′10 et −d_{DR}h′6 respectivement, cf. 16.21 et 16.22 ci-dessous.

Par contre le deuxième est égale à

Rh1(2) = −\frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{c[ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)\} =

= −\frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{dc [ℓ̃ℓ̃_{k}]^{jp} (τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + c [ℓ̃^{2}ℓ̃′_{k} − ℓ̃(m′_{k} − ℓ̃_{k}ℓ̃)] ^{jp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)+

−c[ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(a)τ′_{i}(b) − c[ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(a)dτ′_{i}(b)}

16.20. Enfin,

h2(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{2}\{τ′_{j}(c)ℓ̃^{kp}τ′_{p}(b) + τ′_{k}(b)ℓ̃^{jp}τ′_{p}(c)\},

d’où

Rh2(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{12}Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{τ′_{j}(c)ℓ̃^{kp} (τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + aτ′_{i}τ′_{p}(b))+

+(τ′_{k}(a)τ′_{i}(b) + aτ′_{i}τ′_{k}(b)) ℓ̃^{jp}τ′_{p}(c) }

De nouveau, le deuxième et le quatrième termes disparaîssent dans Eh′11 est Eh′12 respectivement, cf. 16.23 et 16.24 ci-dessous.

Les termes restants sont égaux, d’où

Rh2(1 + 3) = 2 Rh2(1) = −\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{τ′_{j}(c)ℓ̃^{kp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)\} =

= −\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{dτ′_{j}(c)ℓ̃^{kp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + τ′_{j}(c)[ℓ̃^{2}]^{kp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)−

−τ′_{j}(c)ℓ̃^{kp} dτ′_{p}(a)τ′_{i}(b) − τ′_{j}(c)ℓ̃^{kp} τ′_{p}(a)dτ′_{i}(b)}

(d) Différentielle de de Rham d_{DR}h′: le reste 16.21. Nous avons

h′6(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} c [ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(b)

Donc

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′6(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{aτ′_{i}(c) [ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(b)+

+ac [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃′_{k} + ℓ̃(ℓ̃′_{ik} − ℓ̃′_{k}ℓ̃′_{i})]^{jp} dτ′_{p}(b) + ac [ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{i}τ′_{p}(b) }

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}, h′6(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da \{c [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(b) − c [ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{i}τ′_{p}(b) \}

et

−Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′6([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′6(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{c [ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} (dτ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + da τ′_{p}τ′_{i}(b)+

+τ′_{p}(a) dτ′_{i}(b) + a dτ′_{p}τ′_{i}(b)) − aτ′_{i}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp} dτ′_{p}(c) }

En ajoutant,

d_{Ch}h′6(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ac [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃′_{k} − ℓ̃ℓ̃′_{k}ℓ̃′_{i}]^{jp} dτ′_{p}(b)+

+da c [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(b) − c [ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} (dτ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + τ′_{p}(a) dτ′_{i}(b)) }

D’un autre côté,

Eh′6(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′6(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{ac [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(b) − c [ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{jp} aτ′_{i}τ′_{p}(b) \}

Ici le deuxième terme s’annule avec celui de Rh1 (cf. 16.19). Par contre, le premier sera

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(da c + a dc) [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(b)+

+ac [(m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃)ℓ̃′_{k} + ℓ̃′_{i}(m̃′_{k} − ℓ̃′_{k}ℓ̃)]^{jp} dτ′_{p}(b)}

16.22. De même,

h′10(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} db [ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c),

d’où

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′10(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{a dτ′_{i}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c)+

+a db [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃′_{j} + ℓ̃(ℓ̃′_{ij} − ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i})]^{kp} τ′_{p}(c) + a db [ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{i}τ′_{p}(c) };

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}, h′10(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da \{τ′_{i}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c) − db [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c) \}

et

−Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′10([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′10(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(da τ′_{i}(b)+a dτ′_{i}(b)) [ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c)−dc [ℓ̃ℓ̃_{k}]^{jp} (τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)+a τ′_{p}τ′_{i}(b)) \}

Après la sommation,

d_{Ch}h′10(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{−a db [(m̃′_{i} −ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃′_{j} +ℓ̃(ℓ̃′_{ij} −ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i})]^{kp} τ′_{p}(c)+

+da db [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c) − dc [ℓ̃ℓ̃_{k}]^{jp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)}

D’autre part,

Eh′10(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3}Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′10(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= \frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{aτ′_{i}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c) − a db [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c) \}

Ici le premier terme s’annule avec celui dans Rh1 (cf. 16.19), tandis que le deuxième sera

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da db [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c)−

−a db [(m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃)ℓ̃′_{j} + ℓ̃′_{i}(m̃′_{j} − ℓ̃′_{j}ℓ̃)]^{kp} τ′_{p}(c) − a db [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} dτ′_{p}(c)} 16.23. Ensuite,

h′11(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} τ′_{j}(c) ℓ̃^{ku} dτ′_{u}(b)

Donc

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′11(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{aτ′_{i}τ′_{j}(c) ℓ̃^{ku} dτ′_{u}(b)+

+aτ′_{j}(c) [m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} dτ′_{u}(b) + aτ′_{j}(c) ℓ̃^{ku} dτ′_{i}τ′_{u}(b) };

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}h′11(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da \{τ′_{j}(c) ℓ̃_{i}^{′ku} dτ′_{u}(b) − τ′_{j}(c) ℓ̃^{ku} τ′_{i}τ′_{u}(b) \}

et

−Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′11([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′11(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{τ′_{j}(c) ℓ̃^{ku} (dτ′_{u}(a) τ′_{i}(b)+da τ′_{u}τ′_{i}(b)+τ′_{u}(a)dτ′_{i}(b)+a dτ′_{u}τ′_{i}(b))−

−(τ′_{k}(a)τ′_{i}(b) + aτ′_{k}τ′_{i}(b))ℓ̃^{ju} dτ′_{u}(c) }

En ajoutant,

d_{Ch}h′11(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{aτ′_{j}(c) [m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} dτ′_{u}(b)+

+da τ′_{j}(c) ℓ̃_{i}^{′ku} dτ′_{u}(b) − τ′_{j}(c) ℓ̃^{ku} (dτ′_{u}(a) τ′_{i}(b) + τ′_{u}(a)dτ′_{i}(b))+

+τ′_{k}(a)τ′_{i}(b)ℓ̃^{ju} dτ′_{u}(c) }

D’un autre côté,

Eh′11(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′11(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{aτ′_{j}(c) ℓ̃_{i}^{′ku} dτ′_{u}(b) − τ′_{j}(c) ℓ̃^{ku} aτ′_{i}τ′_{u}(b) \}

Ici le deuxième terme s’annule avec celui de Rh2 (cf. 16.20), tandis que le premier sera

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da τ′_{j}(c) ℓ̃_{i}^{′ku} dτ′_{u}(b) + a dτ′_{j}(c) ℓ̃_{i}^{′ku} dτ′_{u}(b)+

+aτ′_{j}(c) [m̃′_{i} − ℓ̃_{i}ℓ̃]^{ku} dτ′_{u}(b)}

16.24. On a

h′12(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} dτ′_{k}(b) ℓ̃^{jw} τ′_{w}(c),

d’où

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′12(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{a dτ′_{i}τ′_{k}(b) ℓ̃^{jw} τ′_{w}(c)+

+a dτ′_{k}(b) [m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jw} τ′_{w}(c) + dτ′_{k}(b) ℓ̃^{jw} aτ′_{i}τ′_{w}(c) };

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}, h′12(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da \{τ′_{i}τ′_{k}(b) ℓ̃^{jw} τ′_{w}(c) − dτ′_{k}(b) ℓ̃_{i}^{′jw} τ′_{w}(c) \}

et

−Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′12([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′12(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(dτ′_{k}(a)τ′_{i}(b) + da τ′_{k}τ′_{i}(b) + τ′_{k}(a) dτ′_{i}(b) + a dτ′_{k}τ′_{i}(b)) ℓ̃^{jw} τ′_{w}(c)−

−dτ′_{j}(c) ℓ̃^{kw} (τ′_{w}(a)τ′_{i}(b) + a τ′_{w}τ′_{i}(b)) }

En ajoutant,

d_{Ch}h′12(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{−a dτ′_{k}(b) [m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jw} τ′_{w}(c)+

+da dτ′_{k}(b) ℓ̃_{i}^{′jw} τ′_{w}(c) − dτ′_{k}(a) τ′_{i}(b) ℓ̃^{jw} τ′_{w}(c) }

D’autre part,

Eh′12(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′12(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= \frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{aτ′_{i}τ′_{k}(b) ℓ̃^{jw} τ′_{w}(c) − a dτ′_{k}(b) ℓ̃_{i}^{′jw} τ′_{w}(c) \}

Ici le premier terme s’annule sur celui de Rh2 (cf. 16.20), tandis que le deuxième sera

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da dτ′_{k}(b) ℓ̃_{i}^{′jw} τ′_{w}(c) −

−a dτ′_{k}(b) [m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{jw} τ′_{w}(c) − a dτ′_{k}(b) ℓ̃_{i}^{′jw} dτ′_{w}(c) }

16.25. On a

h′4(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} c [ℓ̃ m̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b),

donc

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′4(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{aτ′_{i}(c) [ℓ̃ m̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b)+

+ac [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})m̃′_{k} + ℓ̃(m̃′_{ik} − m̃′_{k}ℓ̃′_{i})]^{jp} τ′_{p}(b)+

+c [ℓ̃ m̃′_{k}]^{jp} aτ′_{i}τ′_{p}(b) };
Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}, h′4(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da \{c [ℓ̃′_{i} m̃′_{k} − ℓ̃ ℓ̃′_{ik}]^{jp} τ′_{p}(b) \}

et

−Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′4([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′4(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{c [ℓ̃ m̃′_{k}]^{jp} (τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + a τ′_{p}τ′_{i}(b)) − aτ′_{i}(b) [ℓ̃ m̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c) \}

Après sommation,

d_{Ch}h′4(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ac [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})m̃′_{k} − ℓ̃m̃′_{k}ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(b)+

+da c [ℓ̃′_{i} m̃′_{k} − ℓ̃ ℓ̃′_{ik}]^{jp} τ′_{p}(b) − c [ℓ̃ m̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) }

D’un autre côté,

Eh′4(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′4(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= \frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{ac [ℓ̃′_{i} m̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b) \} =

= \frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(da c + a dc) [ℓ̃′_{i} m̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b)+

+ac [(m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃)m̃′_{k} + ℓ̃′_{i}m̃′_{k}ℓ̃]^{jp} τ′_{p}(b) − ac [ℓ̃′_{i} m̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(b) }

16.26. On a

h′5(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} c [ℓ̃^{2} ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b)

Donc

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′5(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{aτ′_{i}(c) [ℓ̃^{2} ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b)+

+ac [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃ℓ̃′_{k} + ℓ̃(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃′_{k} + ℓ̃^{2} (ℓ̃′_{ik} − ℓ̃′_{k}ℓ̃′_{i})]^{jp} τ′_{p}(b)+
+ac [ℓ̃^{2} ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b) };

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}, h′5(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da c [(ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}) ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b)

et −Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′5(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′5(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{c [ℓ̃^{2} ℓ̃′_{k}]^{jp} (τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) + aτ′_{p}τ′_{i}(b)) − aτ′_{i}(b) [ℓ̃^{2} ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c) \}

En ajoutant,

d_{Ch}h′5(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ac [(m̃′_{i}−ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃ℓ̃′_{k}+ℓ̃(m̃′_{i}−ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃′_{k}−ℓ̃^{2}ℓ̃′_{k}ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(b)+

+da c [(ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}) ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b) − c [ℓ̃^{2} ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) }

Par contre,

Eh′5(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′5(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{ ac [(ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}) ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b) \} =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(da c + a dc) [(ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}) ℓ̃′_{k}]^{jp} τ′_{p}(b)+

+ac [(m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃) ℓ̃ℓ̃′_{k} + ℓ̃′_{i}ℓ̃^{2}ℓ̃′_{k} − ℓ̃′_{i}ℓ̃ (m̃′_{k} − ℓ̃′_{k}ℓ̃)−
−ℓ̃^{2}ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{k} + ℓ̃ (m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃) ℓ̃′_{k} + ℓ̃ℓ̃′_{i} (m̃′_{k} − ℓ̃′_{k}ℓ̃)]^{jp} τ′_{p}(b)−
−ac [(ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}) ℓ̃′_{k}]^{jp} dτ′_{p}(b) }

16.27. On a

h′7(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} b [ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃]^{ku} τ′_{u}(c),

d’où

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′7(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{aτ′_{i}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃]^{ku} τ′_{u}(c)+

+ab [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}) ℓ̃′_{j}ℓ̃+ ℓ̃(ℓ̃′_{ij} − ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i})ℓ̃+ ℓ̃ℓ̃′_{j} (m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})]^{ku} τ′_{u}(c)+
+ab [ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃]^{ku} τ′_{i}τ′_{u}(c) };

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}, h′7(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da b [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{ku} τ′_{u}(c)

et −Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′7([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′7(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{aτ′_{i}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃]^{ku} τ′_{u}(c) − c [ℓ̃ℓ̃′_{k}ℓ̃]^{ju} (τ′_{u}(a)τ′_{i}(b) + aτ′_{u}τ′_{i}(b)) \}

Après sommation,

d_{Ch}h′7(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{

ab [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}) ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}ℓ̃+ ℓ̃ℓ̃′_{j} (m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})]^{ku} τ′_{u}(c)+
+da b [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{ku} τ′_{u}(c)+
+c [ℓ̃ℓ̃′_{k}ℓ̃]^{ju} τ′_{u}(a)τ′_{i}(b) }

Par contre,

Eh′7(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′7(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{ab [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{ku} τ′_{u}(c) \} =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(da b + a db) [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{ku} τ′_{u}(c)+

+ab [(m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃) ℓ̃′_{j}ℓ̃+ ℓ̃′_{i}(m̃′_{j} − ℓ̃′_{j}ℓ̃)ℓ̃+ ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃^{2}−

−ℓ̃^{2}ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i} + ℓ̃(m̃′_{j} − ℓ̃′_{j}ℓ̃)ℓ̃′_{i} + ℓ̃ℓ̃′_{j} (m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃)]^{ku} τ′_{u}(c)−

−ab [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{ku} dτ′_{u}(c) }

16.28. On a

h′8(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} τ′_{k}(b) ℓ̃^{2 jp} τ′_{p}(c)

Donc

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′8(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{aτ′_{i}τ′_{k}(b) ℓ̃^{2 jp} τ′_{p}(c)+

aτ′_{k}(b) [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃+ ℓ̃(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})]^{jp} τ′_{p}(c) + aτ′_{k}(b) ℓ̃^{2 jp} τ′_{i}τ′_{p}(c) };

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}, h′8(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da τ′_{k}(b) [ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(c)

et −Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′8([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′8(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(τ′_{k}(a)τ′_{i}(b)+a τ′_{k}τ′_{i}(b))ℓ̃^{2 jp} τ′_{p}(c)−τ′_{j}(c) ℓ̃^{2 kp} (τ′_{p}(a)τ′_{i}(b)+aτ′_{p}τ′_{i}(b))\}

En ajoutant,

d_{Ch}h′8(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}}

{aτ′_{k}(b) [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃+ ℓ̃(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})]^{jp} τ′_{p}(c)+

+da τ′_{k}(b) [ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(c) − τ′_{k}(a)τ′_{i}(b) ℓ̃^{2 jp} τ′_{p}(c) + τ′_{j}(c) ℓ̃^{2 kp} τ′_{p}(a)τ′_{i}(b) } Par contre,

Eh′8(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d⟨aτ′_{i}, h′8(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{aτ′_{k}(b) [ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(c)\} =

= −\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{(da τ′_{k}(b) + a dτ′_{k}(b)) [ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(c)+

+aτ′_{k}(b) [(m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃)ℓ̃+ ℓ̃′_{i}ℓ̃^{2} − ℓ̃^{2}ℓ̃′_{i} + ℓ̃(m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃)]^{jp} τ′_{p}(c)

−aτ′_{k}(b) [ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jp} dτ′_{p}(c)}

16.29. Enfin,

h′9(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{2} ℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) = −\frac{1}{4} Alt_{bτ′_{j},cτ′_{k}} ℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b)

D’ici

Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{i}h′9(bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{a[m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b)+

+aℓ̃^{ju} τ′_{i}τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) + aℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) [m̃′_{k} − ℓ̃ℓ̃′_{k}]^{kv} τ′_{v}(b) + aℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{i}τ′_{v}(b) }; Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ⟨τ′_{i}, h′9(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da \{ℓ̃_{i}^{′ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) − ℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃_{i}^{′kv} τ′_{v}(b)\}

et −h′9([aτ′_{i}, bτ′_{j}], cτ′_{k}) = −Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} h′9(aτ′_{i}(b)τ′_{j}, cτ′_{k}) =

= \frac{1}{2} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} (τ′_{v}(a)τ′_{i}(b) + aτ′_{v}τ′_{i}(b))

Après la sommation,

d_{Ch}h′9(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{2} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{a[m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b)+

+da ℓ̃_{i}^{′ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) − ℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(a)τ′_{i}(b) }

Par contre,

Eh′9(aτ′_{i}, bτ′_{j}, cτ′_{k}) = −\frac{1}{3} Cycle_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d ⟨aτ′_{i}, h′9(bτ′_{j}, cτ′_{k})⟩ =

= \frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} d\{a ℓ̃_{i}^{′ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b)\} =

= \frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{da ℓ̃_{i}^{′ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) + a [m̃′_{i} − ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b)+

+a ℓ̃_{i}^{′ju} dτ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) + a ℓ̃_{i}^{′ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{2 kv} τ′_{v}(b) − a ℓ̃_{i}^{′ju} τ′_{u}(c) ℓ̃^{kv} dτ′_{v}(b) }

(e) Diffŕentielle de Čech d_{c}c: les termes restants

16.30. On a les termes suivants dans Δc: Groupe A: abc (1), ab dc (2), ab τ(c) (5), ab dτ(c) (2); a db dc (1), a db τ(c) (6), a db dτ(c) (2); aτ(b)τ(c) (8), aτ(b) dτ(c) (6); a dτ(b) dτ(b) (1) En somme, 34 termes. Rémarquons que les types abc, ab dc et a db dc ont été déjà traités dans (b) (4

termes). Groupe B: da db τ(c) (1); da τ(b)τ(c) (4), da τ(b) dτ(c) (2); 7 termes. Groupe C: τ(a)τ(b)τ(c) (4), τ(a)τ(b)dτ(c) (4)

8 termes. En somme, 49 termes. Le 50 -ième, τ(a) dτ(b) dτ(c) disparaît de Δc.

16.31. Groupe A AAC : ab τ(c) 251 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} ab [ℓ̃′_{i} (m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{j}) ℓ̃]^{kw} τ′_{w}(c) 253 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} ab [ℓ̃ℓ̃′_{i} (m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{j})]^{kw} τ′_{w}(c) 215 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} ab [(m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{j}) ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{kw} τ′_{w}(c) 235 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} ab [ℓ̃ (m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{j}) ℓ̃′_{i}]^{kw} τ′_{w}(c) et 155 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} ab [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}) (m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{j})]^{kw} τ′_{w}(c)

AAD : ab dτ(c) 252 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} ab [ℓ̃′_{i} (m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{j})]^{kw} dτ′_{w}(c) et 225 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} ab [(m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{j}) ℓ̃′_{i}]^{kw} dτ′_{w}(c)

ABC : a db τ(c) 243 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a db [ℓ̃ℓ̃′_{i} ℓ̃′_{j}]^{kw} τ′_{w}(c) 241 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a db [ℓ̃′_{i} ℓ̃′_{j} ℓ̃]^{kw} τ′_{w}(c) 234 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a db [ℓ̃ ℓ̃′_{j} ℓ̃′_{i}]^{kw} τ′_{w}(c) 214 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a db [ℓ̃′_{j} ℓ̃′_{i} ℓ̃]^{kw} τ′_{w}(c) 154 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a db [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}) ℓ̃′_{j}]^{kw} τ′_{w}(c) et 145 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a db [ℓ̃′_{j} (m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})]^{kw} τ′_{w}(c)

ABD : a db dτ(c) 242 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a db [ℓ̃′_{i} ℓ̃′_{j}]^{kw} dτ′_{w}(c) et 224 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a db [ℓ̃′_{j} ℓ̃′_{i}]^{kw} dτ′_{w}(c)

ACC : a τ(b) τ(c). Un grand groupe, 8 termes. 233 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a ℓ̃^{kw} τ′_{w}(b) [ℓ̃ ℓ̃′_{i}]^{jv} τ′_{v}(c)

231 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a ℓ̃^{2 kw} τ′_{w}(b) ℓ̃_{i}^{′ jv} τ′_{v}(c) 213 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a τ′_{k}(b) [ℓ̃ ℓ̃′_{i} ℓ̃]^{jv} τ′_{v}(c) 211 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a ℓ̃^{kw} τ′_{w}(b) [ℓ̃′_{i} ℓ̃]^{jv} τ′_{v}(c) De plus, 153 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a ℓ̃^{ku} τ′_{u}(b) [m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jv} τ′_{v}(c) 151 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a τ′_{k}(b) [(m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})ℓ̃]^{jv} τ′_{v}(c), cf. 213, 135 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a τ′_{k}(b) [ℓ̃ (m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i})]^{jv} τ′_{v}(c) et 115 = 153

ACD : a τ(b) dτ(c) 232 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a ℓ̃_{i}^{′ kv} τ_{v}(b) ℓ̃^{jw} dτ′_{w}(c) 212 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a [ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{kv} τ_{v}(b) dτ′_{j}(c) 152 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a τ′_{k}(b) [m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jv} dτ′_{v}(c) 223 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a τ′_{k}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{jv} dτ′_{v}(c) 221 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a ℓ̃^{kw} τ′_{w}(b) ℓ̃_{i}^{′ jv} dτ′_{v}(c) et 125 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a [m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} τ′_{u}(b) dτ′_{j}(c)

ADD : a dτ(b) dτ(c) 222 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} a ℓ̃_{i}^{′ kv} dτ′_{v}(b) dτ′_{j}(c)

16.32. Groupe B

BBC : da da τ(c) 244 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} da db [ℓ̃′_{i} ℓ̃′_{j}]^{ku} τ′_{u}(c)

BCC : da τ(b)τ(c) 143 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} da ℓ̃_{i}^{′ kw} τ′_{w}(b) ℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) = 114 141 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} da [ℓ̃′_{i} ℓ̃]^{kw} τ′_{w}(b) τ′_{j}(c) 134 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} da [ℓ̃ ℓ̃′_{i}]^{kw} τ′_{w}(b) τ′_{j}(c) 114 = 143 BCD : da τ(b) dτ(c) 142 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} da τ′_{k}(b) ℓ̃_{i}^{′ jw} dτ′_{w}(c) 124 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} da ℓ̃_{i}^{′ ku} τ′_{u}(b) dτ′_{j}(c)

16.33. Groupe C

CCC : τ(a)τ(b)τ(c) 133 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} τ′_{k}(a) ℓ̃^{iw} τ′_{w}(b) ℓ̃^{ju} τ′_{u}(c) 131 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} τ′_{k}(a) τ′_{i}(b) ℓ̃^{2 jv} τ′_{v}(c) 113 = 133 111 = 133

CCD : τ(a)τ(b) dτ(c) 132 : −\frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} τ′_{k}(a) τ′_{i}(b) ℓ̃^{jv} dτ′_{v}(c) 112 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} τ′_{k}(a) ℓ̃^{iu} τ′_{u}(b) dτ′_{j}(c) 123 = 112 121 : \frac{1}{6} Alt_{aτ_{i},bτ_{j},cτ_{k}} τ′_{k}(a) dτ′_{i}(b) ℓ̃^{jv} τ′_{v}(c)

(f) Balance des termes restants

16.34. Distribution des groupes. Dans: Rh1 : ACC ACD BCC Rh2 : CCC CCD Dans: d_{DR}h′6 : AAD ABD ACD d_{DR}h′10 : ABC ABD BBC BCC

d_{DR}h′11 : ACD ADD BCD CCD d_{DR}h′12 : ACD ADD BCD CCD

d_{DR}h′4 : AAC AAD ABC ACC d_{DR}h′5 : AAC AAD ABC ACC d_{DR}h′7 : AAC AAD ABC ACC

d_{DR}h′8 : ACC ACD BCC d_{DR}h′9 : ACC ACD BCC CCC

16.35. Groupe C

CCC Rh2 = −131 −d_{DR}h′9 = −(133 + 113 + 111) CCD Rh2 :

\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} \{ℓ̃^{kp} dτ′_{p}(a) τ′_{i}(b) τ′_{j}(c) + ℓ̃^{kp} τ′_{p}(a) dτ′_{i}(b) τ′_{j}(c)+

+ℓ̃^{kp} τ′_{p}(a) τ′_{i}(b) dτ′_{j}(c)}

−d_{DR}h′11 :

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ℓ̃^{kp} τ′_{p}(a) dτ′_{i}(b) τ′_{j}(c)

−d_{DR}h′12, le même:

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ℓ̃^{kp} τ′_{p}(a) dτ′_{i}(b) τ′_{j}(c),

dont la somme est égale à −(132 + 121 + 112 + 123)

16.36. Groupe B

BBC −d_{DR}h′11 = −244 BCC Rh1 :

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} [ℓ̃ ℓ̃_{k}]^{jp} τ′_{p}(a) τ′_{i}(b) dc

−d_{DR}h′10 :

\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} [ℓ̃ ℓ̃_{k}]^{jp} τ′_{p}(a) τ′_{i}(b) dc

−d_{DR}h′8 :

\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} [ℓ̃_{k}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃_{k}]^{jp} τ′_{p}(a) τ′_{i}(b) dc,

dont la somme est égale à −(134 + 141), et −d_{DR}h′9 :

\frac{1}{3} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} da ℓ̃_{i}^{′ ku} τ′_{u}(b) ℓ̃^{jv} τ′_{v}(c) = −(114 + 143)

BCD −d_{DR}h′11 = −142 et −d_{DR}h′12 = −124 Groupe A 16.37. AAD −d_{DR}h′6 :

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}ℓ̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{kp} dτ′_{p}(c)

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}ℓ̃′_{j} − ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} + ℓ̃′_{i}m̃′_{j} − ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃]^{kp} dτ′_{p}(c)

−d_{DR}h′5 :

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} dτ′_{p}(c)

−d_{DR}h′4 :

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [ℓ̃′_{i}m̃′_{j}]^{kp} dτ′_{p}(c)

et −d_{DR}h′7 :

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{kp} dτ′_{p}(c)

La somme est bien égale à −(252 + 225). 16.38. ABC −d_{DR}h′10 :

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [m̃′_{i}ℓ̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j} + ℓ̃ℓ̃′_{ij} − ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(c)

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [m̃′_{i}ℓ̃′_{j} − ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} + ℓ̃′_{i}m̃′_{j} − ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃]^{kp} τ′_{p}(c)

−d_{DR}h′4 :

−\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [ℓ̃′_{j}m̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(c)

\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [ℓ̃ℓ̃′_{ij}]^{kp} τ′_{p}(c)

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [ℓ̃′_{i}m̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c)

−d_{DR}h′5 :

\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [ℓ̃′_{j}ℓ̃ℓ̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(c)

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c)

−d_{DR}h′7 :

−\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c)

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a db [ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(c)

La somme est égale à −(243 + 241 + 234 + 214 + 145 + 154).

16.39. ACD Rh1 :

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{kp} dτ′_{p}(b) τ′_{j}(c)

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(b) dτ′_{j}(c)

−d_{DR}h′11 :

\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a m̃_{i}^{′ ku} dτ′_{u}(b) τ′_{j}(c)

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} dτ′_{u}(b) τ′_{j}(c)

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{ku} dτ′_{u}(b) τ′_{j}(c),

tandis que −d_{DR}h′12 est pareil:

−\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a m̃_{i}^{′ ku} τ′_{u}(b) dτ′_{j}(c)

\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} τ′_{u}(b) dτ′_{j}(c)

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{ku} τ′_{u}(b) dτ′_{j}(c)

−d_{DR}h′8:

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} τ′_{u}(b) dτ′_{j}(c)

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} dτ′_{u}(b) τ′_{j}(c)

−d_{DR}h′6 :

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} dτ′_{u}(b) τ′_{j}(c)

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ku} τ′_{u}(b) dτ′_{j}(c)

La somme des termes déjà ecrits sera −(212 + 152 + 223 + 125). D’un autre côté, −d_{DR}h′9 :

−\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a ℓ̃_{i}^{′ku} dτ′_{u}(b) ℓ̃^{jv} τ′_{v}(c) = −221

et

\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a ℓ̃_{i}^{′ku} τ′_{u}(b) ℓ̃^{jv} dτ′_{v}(c) = −232

Le terme ACD est servi.

16.40. ACC Rh1 :

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{k}(b) [ℓ̃^{2}ℓ̃_{i} − ℓ̃m̃′_{i} + ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{jp} τ′_{p}(c)

−d_{DR}h′4 :

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{k}(b) [ℓ̃m̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(c)

−d_{DR}h′5 :

\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{k}(b) [ℓ̃^{2}ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(c)

−d_{DR}h′7 :

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{k}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{jp} τ′_{p}(c)

−d_{DR}h′8 :

\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{k}(b) [m̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃+ ℓ̃m̃′_{i} − ℓ̃^{2}ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(c)

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} aτ′_{k}(b) [m̃′_{i}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃+ ℓ̃m̃′_{i} − ℓ̃^{2}ℓ̃′_{i}]^{jp} τ′_{p}(c)

La somme de ses termes sera égale à −(213 + 151 + 135). De l’autre côté, dans −d_{DR}h′9 nous avons les termes:

\frac{1}{3} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) m̃_{i}^{′ ju} τ′_{u}(c)

−\frac{1}{2} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) [ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{ju} τ′_{u}(c)

dont la somme est égale à −(233 + 153 + 115),

\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a ℓ̃^{kv} τ′_{v}(b) [ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{ju} τ′_{u}(c) = −211

et

−\frac{1}{6} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} a ℓ̃_{i}^{′ kv} τ′_{v}(b) ℓ̃^{2 ju} τ′_{u}(c) = −231

Enfin, 16.41. AAC −d_{DR}h′4 :

\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}m̃′_{j} − ℓ̃m̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(c)

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}m̃′_{j} − ℓ̃′_{i}ℓ̃m̃′_{j} − ℓ̃′_{i}m̃′_{j}ℓ̃]^{kp} τ′_{p}(c)

On rémarque que nos expressions sont alternées en i, j.

−d_{DR}h′5 :

−\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} + ℓ̃m̃′_{i}ℓ̃′_{j} − ℓ̃^{2}ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j} − ℓ̃^{2}ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(c) =

= −\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} + ℓ̃m̃′_{i}ℓ̃′_{j}]^{kp} τ′_{p}(c)

\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} − ℓ̃′_{i}ℓ̃m̃′_{j} + ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃^{2}ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}+

+ℓ̃m̃′_{i}ℓ̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j} + ℓ̃ℓ̃′_{i}m̃′_{j} − ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃]^{kp} τ′_{p}(c)

−d_{DR}h′7 :

\frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}ℓ̃+ ℓ̃ℓ̃′_{j}m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(c) =

= \frac{1}{4} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃+ ℓ̃ℓ̃′_{j}m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃ℓ̃′_{i}]^{kp} τ′_{p}(c)

−\frac{1}{12} Alt_{aτ′_{i},bτ′_{j},cτ′_{k}} ab [m̃′_{i}ℓ̃′_{j}ℓ̃− ℓ̃′_{i}ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃+ ℓ̃′_{i}m̃_{j}ℓ̃− ℓ̃^{2}ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}+

+ℓ̃m̃′_{j}ℓ̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃ℓ̃′_{i} + ℓ̃ℓ̃′_{j}m̃′_{i} − ℓ̃ℓ̃′_{j}ℓ̃′_{i}ℓ̃]^{kp} τ′_{p}(c)

En ajoutant, on obtient bien −(251 + 253 + 215 + 235 + 155).

16.42. On en conclut que les termes restants dans d_{DR}h′ + Rh + d_{c}c s’annulent complétement.

Bibliographie

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