function TP3 

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%                                                               %
%                         SUJET                                 %
%                                                               %
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% QUESTION 1
% On introduit la fonction
%                  f: x---> 2 cos(x^2)/3
% Completez la fonction matlab d' evaluation de f
%               function y=f(x)
% qui se trouve en fin de fichier
% Testez cette fonction avec les valeurs suivantes de x
%    x=0
%    x=[-1, 0, 1]
% Vous devez trouver f(0) = 0.666666666666667
% et f([-1,0,1]) =  0.360201537245427   0.666666666666667   0.360201537245427



Pause('Fin Question 1')

% QUESTION 2
% Repr'esentez  graphiquement en bleu la fonction f
% et en rouge la droite d'equation y=x
% sur l'intervalle [-1,1]
% REPONSE


Pause('Fin Question 2')

% QUESTION 3
% Normalement, on voit sur la figure que la fonction f admet
% un unique point fixe X dans [-1,1].
% On va calculer une approximation de ce point fixe par la
% m'ethode des approximations successives.
% On se donne donc un vecteur x de taille 20.
% D'efinissez les composantes de ce vecteur de telle sorte que :
%    - x(1) soit une bonne premi`ere approximation de X (`a d'eterminer
% `a partir de la figure)
%    - pour tout k, 1<=k<50, x(k+1) = f(x(k))
% Affichez le vecteur x obtenu
% REPONSE
x = zeros(1,20);

Pause('Fin Question 3')

% QUESTION 4
% Sur la figure precedente, rajoutez en noir le colimacon forme par les segments
% (x(k),x(k)), (x(k),x(k+1)), (x(k+1),x(k+1)), (x(k+1), f(x(k+1)))


Pause('Fin Question 4')

% QUESTION 5
% Tracer la courbe d erreur x(k) - X en fonction de k, a l aide de la fonction semilogy 


Pause('Fin Question 5')

% QUESTION 6
% Nous allons maintenant calculer X par une methode de Newton
% Pour cela, nous transformons l equation f(X) = X en f(X) - X = G(X) = 0
% Completez les fonctions G et dG en fin de fichier, qui calcule respectivement la
% fonction G(x) = f(x) - x et sa derivee
% Testez les avec le vecteur [0,0.5,1]. Vous devez obtenir
% G([0,0.5,1]) = 0.666666666666667   0.145941614473763  -0.639798462754573
% dG([0,0.5,1]) = -1.00000000000000  -1.16493597283635  -2.12196131307720


Pause('Fin Question 6')

% QUESTION 7
% Tracez sur une meme figure la fonction G et l axe des abscisses, sur l intervalle [0,1]


Pause('Fin Question 7')

% QUESTION 8
% Calculez 5 iterations de la methode de Newton, en prenant comme point de depart le point d abscisse 1,
% que vous stockerez dans un vecteur x que vous afficherez
% Rajoutez sur la courbe precedente les segments reliant les points
% (x(k),G(x(k))), (x(k+1),0), et (x(k+1),G(x(k+1))) pour k allant de 1 à 4

x = zeros(1,5); x(1) = 1;


Pause('Fin Question 8')
%%%%%%%   FONCTIONS A COMPLETER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function y=f(x)

% ----------------------------------------------------- %
function y = G(x)

% ----------------------------------------------------- %
function y = dG(x)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% /!\ NE PAS TOUCHER A CETTE FONCTION /!\ %%%%%%%%%%
function Pause(c)
disp(strcat(c,'. Appuyer sur une touche pour continuer'))
pause
