Ce cours est une introduction au théorème de l’indice local
pour les opérateurs de Dirac.
Il suivra d’assez près les chapitres I, II, II, IV et X du livre
Heat kernels and Dirac operators de
Berline-Getzler-Vergne (Springer Grundlehren 298 - 3ème tirage
corrigé 2002). La bibliothèque possède trois exemplaires de ce
livre.
Les prérequis du cours sont une connaissance de base de la
topologie différentielle sur les variétés différentiables, telle
qu’elle est exposée par exemple dans les premiers chapitres du
livre de Guillemin et Pollack Differential Topology (AMS
Chelsea publishing). Une familiarité avec quelques constructions
de classes caractéristiques, telle qu’elle est exposée dans le
livre Morse Theory de Milnor et Stasheff (Princeton
Univ. Press) est également utile. Enfin, nous ferons souvent
référence à la cohomologie de de Rham des variétés
différentiables compactes et les notions de groupes de Lie et
d'algèbre de Lie joueront un rôle. Une référence couvrant toutes
les bases nécessaires en dehors des classes caractéristiques est
le premier volume de la monographie A comprehensive
introduction to differential geometry de M. Spivak
(Publish or Perish).
Voici une table des matières plus détaillée:
0) Exemples. Le théorème de la signature de Hirzebruch et le théorème de Gauss-Chern-Bonnet
1) Les algèbres de Clifford et leurs représentations
2) Fibrés, connexions, superconnexions, classes caractéristiques
3) Opérateurs différentiels, Laplaciens
4) Le noyau de la chaleur. Conséquences de l'existence du
noyau de la chaleur.
5) Modules de Clifford et opérateurs de Dirac
6) La formule de McKean-Singer. La formule de Lichnerowicz.
7) Formulation du théorème de l’indice local; exemples
(Gauss-Chern-Bonnet, signature)
8) La formule de Mehler. Démonstration du théorème de l’indice
local
9) La superconnexion de Bismut et le théorème de l’indice local
en famille (s’il reste assez de temps - détails à fixer).