ALGEBRE ET ARITHMETIQUE - 1LMG03M

(36h cours, 54h TD)





Groupes

Définitions, sous-groupes, homomorphismes, groupes quotients, factorisation des homomorphismes.

Etude des sous-groupes et des quotients du groupe des entiers relatifs.

Théorie de Sylow, p-groupes finis, groupes résolubles.

Structure des groupes commutatifs finis.



Anneaux (commutatifs)

Définition, sous-anneaux, idéaux, homomorphismes, anneaux quotients, factorisation des homomorphismes. Corps des fractions et anneau de fractions d'un anneau intègre.

Anneaux de polynômes à plusieurs variables à coefficients dans un anneau commutatif et unitaire, division euclidienne.

Modules, quotients, applications linéaires.

Anneaux principaux. Etude de leurs quotients.

Anneaux euclidiens.

Anneaux noethériens (exemple des anneaux de polynômes).

Anneaux factoriels, factorialité des anneaux de fractions.

Anneaux factoriels et polynômes : factorialité des anneaux de polynômes, critère d'irréductibilité d'Eisenstein.



Nombres algébriques et transcendants; Equations diophandiennes.

Définitions.

Exemples de nombres transcendants dont les nombres de Liouville.

Etude algébrique et analytique de quelques équations diophantiennes simples, par exemple : x2+y2=n et x2+ay2=1.