UNIVERSITE PAUL SABATIER SCIENCES

TOULOUSE III

U.F.R. MATHEMATIQUE INFORMATIQUE GESTION

LICENCE DE MATHEMATIQUES

Majeure Mathématiques Générales

et

Majeure Ingénierie Mathématique

PRESENTATION DES ENSEIGNEMENTS

Syllabus

Année Universitaire 2000-2001

"LA LICENCE DE MATHEMATIQUES "

PRESENTATION DE LA FORMATION

La licence de mathématiques comporte deux filières :

- la filière "Mathématiques générales" plus orientée vers les métiers de l'enseignement et de la recherche

- la filière "Ingénierie Mathématique" plus orientée vers les carrières de type ingénieur mathématicien.

CONDITIONS D'INSCRIPTION

- Accès de plein droit aux étudiants titulaires d'un DEUG Sciences ou d'un DEUG MASS.

- Accès sur dossiers examinés par la Commission de Scolarité. Ceci concerne:

a) les étudiants titulaires d'un BTS ou DUT à dominante Mathématique et Informatique,

b) les étudiants des classes préparatoires aux grandes écoles et les étudiants des grandes écoles toulousaines,

c) les étudiants étrangers titulaires d'un diplôme équivalent au DEUG.

Majeure "Mathématiques Générales" - 1LMAT1

Responsable Majeure : F. de Thélin

ORGANISATION DES ENSEIGNEMENTS

Description de la majeure "Mathématiques Générales"

Les modules sont semestriels.

Le premier semestre est constitué de trois modules obligatoires :

1. Topologie (36 h de cours, 54 h de T.D.)

2. Intégration (36 h de cours, 54 h de T.D.)

3. Algèbre et Arithmétique (36 h de cours, 54 h de T.D.)

Au second semestre, l'étudiant devra choisir l'une des deux options suivantes :

* option 1 : "Mathématiques Fondamentales"

* option 2 : "Mathématiques pour l'Enseignement"

a) l'option 1 : "Mathématiques Fondamentales" est composée des cinq modules suivants, tous obligatoires pour l'option en question :

4. Calcul Différentiel, Equations Différentielles (36h de cours, 54h de TD)

5. Fonctions Holomorphes (36h de cours, 54h de TD)

6. Analyse Numérique Matricielle (24h de cours, 36h de TD)

7. Probabilités (18h de cours, 24h de TD)

8. Travaux Pratiques (6h de cours, 24h de TP)

b) l'option 2 : "Mathématiques pour l'Enseignement" est composée des cinq modules suivants, tous obligatoires pour l'option en question :

8. Travaux Pratiques (6h de cours, 24h de TP)

9. Analyse Réelle et Complexe (48h de cours, 72h de TD)

10. Géométrie (24h de cours, 36h de TD)

11. Analyse Numérique (18h de cours, 27h de TD)

12. Probabilités et Statistique (18h de cours, 27h de TD)

Mise en place d'un oral obligatoire (une liste de questions d'oral est établie dans chaque module). Les étudiants passeront un oral au 1^er semestre et un autre au 2^ème semestre sur un des modules préparés.

Responsable de la formation

François DE THELIN, Professeur,

U.F.R. M.I.G. (Mathématiques/Informatique/Gestion)

Secrétariat pédagogique

Madame LABRUYERE, salle B10, Bât. 1TP1. Tel. 05 61 55 60 69 (ap. midi)

Majeure "Ingénierie Mathématique" - 1LMAT2

Responsable Majeure : Michel PRADEL

ORGANISATION DES ENSEIGNEMENTS

L'étudiant doit obtenir 6 modules obligatoires et un module optionnel. Les modules obligatoires à l'exception du Projet/Stage sont annuels. Le module optionnel est effectué au second semestre. Le Projet/Stage est effectué à partir du 20 mai.

Les modules obligatoires sont :

1 - Calcul Intégral, Analyse Hilbertienne - (48 h de cours, 48 h de T.D).

2 - Probabilités, Calcul Différentiel - (48 h de cours, 48 h de T.D).

3 - Statistiques - (48 h de cours, 72 h de T.D).

4 - Calcul Scientifique - (48 h de cours, 72 h de T.D).

5 - Outils Informatiques - (34 h de cours, 42 h de T.D.).

6 - Projet ou Stage

Le module optionnel est à choisir parmi les deux suivants :

7 - Algèbre et Géométrie - (24 h de cours, 24 h de T.D).

8 - Anglais - (25h de cours, 25h de TD).

Responsable de la formation

Michel PRADEL, Maître de Conférences,

U.F.R. M.I.G. (Mathématiques/Informatique/Gestion)

Secrétariat pédagogique

Madame RASSIE, salle B9, Bât. 1TP1. Tel. 05 61 55 64 12.

Majeure "Mathématiques Générales" - 1LMAT1

Responsable Majeure : F. de Thélin

TOPOLOGIE - 1LMG01M

(36h cours, 54h T.D.)

1. Topologie

Espaces topologiques

Ouverts, fermés, voisinages. Espaces séparés, suites convergentes, limites.

Fonctions continues. Sous-espace, produit (fini).

Espaces métriques

Topologie définie par une distance. Continuité et continuité uniforme,

Espaces métriques complets, théorème du point fixe et théorème de prolongement des applications uniformément continues, propriété de Baire.

Topologie de la convergence uniforme.

Espaces compacts

Axiome de Borel-Lebesgue, propriétés fondamentales.

Espaces métriques compacts,

Espaces localement compacts, théorème d'Alexandroff.

Espaces connexes

Propriétés fondamentales. Parties connexes de R, espaces connexes par arc. Composante connexe, espaces localement connexes.

2. Espaces de Banach

Application linéaire continue.

Espaces de dimension finie, théorème de F. Riesz.

Séries convergentes et absolument convergentes,

Famille sommable et absolument sommable.

3. Espaces de Hilbert

Théorème de projection, théorème de représentation de F. Riesz.

Somme hilbertienne, base hilbertienne. Espaces de Hilbert séparables.

INTEGRATION - 1LMG02M

(36h cours, 54h TD)

Théorie de la mesure

Tribus, mesures positives, probabilité, théorème de Carathéodory (admis), théorème de complétion.

Mesures de Lebesgue-Stieltjes, régularité, invariance par translation de la mesure de Lebesgue.

Intégrale par rapport à une mesure

Fonctions étagées, fonctions mesurables, variables aléatoires.

Construction et propriétés fondamentales de l'intégrale, espérance mathématique d'une variable aléatoire, image d'une mesure.

Théorèmes de convergence : théorèmes de la convergence monotone, de Beppo-Lévi, de Lebesgue, lemme de Fatou.

Mesures admettant une densité et intégration.

Fonctions définies par une intégrale : continuité et différentiabilité.

Lien avec l'intégrale de Riemann.

Produit d'espaces mesurés

Mesure produit, théorème de Fubini, variables aléatoires indépendantes.

Mesures de Lebesgue sur Rⁿ, formule de changement de variables (admis).

L'algèbre de convolution L¹.

Espaces L^p

Inégalités de Minkowski et de Hölder.

Continuité en moyenne d'ordre p.

Régularisation par convolution, théorèmes de densité.

Transformation de Fourier

Transformation de Fourier d'une mesure bornée, d'une fonction intégrable (lemme de Riemann-Lebesgue), formules d'inversion,

Transformation de Fourier sur S et L² : théorème de Plancherel.

ALGEBRE ET ARITHMETIQUE - 1LMG03M

(36h cours, 54h TD)

Groupes

Définitions, sous-groupes, homomorphismes, groupes quotients, factorisation des homomorphismes.

Etude des sous-groupes et des quotients du groupe des entiers relatifs.

Théorie de Sylow, p-groupes finis, groupes résolubles.

Structure des groupes commutatifs finis.

Anneaux (commutatifs)

Définition, sous-anneaux, idéaux, homomorphismes, anneaux quotients, factorisation des homomorphismes. Corps des fractions et anneau de fractions d'un anneau intègre.

Anneaux de polynômes à plusieurs variables à coefficients dans un anneau commutatif et unitaire, division euclidienne.

Modules, quotients, applications linéaires.

Anneaux principaux. Etude de leurs quotients.

Anneaux euclidiens.

Anneaux noethériens (exemple des anneaux de polynômes).

Anneaux factoriels, factorialité des anneaux de fractions.

Anneaux factoriels et polynômes : factorialité des anneaux de polynômes, critère d'irréductibilité d'Eisenstein.

Nombres algébriques et transcendants; Equations diophandiennes.

Définitions.

Exemples de nombres transcendants dont les nombres de Liouville.

Etude algébrique et analytique de quelques équations diophantiennes simples, par exemple : x²+y²=n et x²+ay²=1.

OPTION 1 - MATHEMATIQUES FONDAMENTALES - 1LMCH1I

CALCUL DIFFERENTIEL, EQUATIONS DIFFERENTIELLES - 1LMG04M

(36h cours, 54h TD)

Fonctions différentiables

Fonctions différentiables. Différentiation des fonctions composées.

Différentielles partielles.

Théorèmes des accroissements finis ou des valeurs moyennes.

Suite de fonctions différentiables.

Différentielles d'ordre supérieur ; fonctions de classe C^p. Formules de Taylor.

Théorèmes d'inversion locale, des fonctions implicites et leurs applications.

Théorèmes d'inversion locale, des fonctions implicites.

Application aux conditions d'optimalité du premier et du deuxième ordres : problèmes sans contrainte, problèmes avec contraintes du type égalité (conditions du premier ordre uniquement dans ce cas).

Introduction aux sous-variétés de Rⁿ (cas particuliers des courbes et des surfaces). Sous-espace tangent, normal. Représentation locale par des équations ou des paramétrages.

Equations différentielles

Théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales, dépendance des conditions initiales et des paramètres. intégrales premières.

Equations différentielles linéaires. Résolvante. Wronskien. Méthode de variation des constantes. Equations à coefficients constants.

Introduction aux problèmes variationnels.

A partir d'un exemple modélisant une situation d'applications (mécanique, physique, etc...), on montrera comment les concepts et résultats acquis précédemment permettent de résoudre des problèmes posés ou, à défaut, de mieux les cerner.

FONCTIONS HOLOMORPHES - 1LMG05M

(36h cours, 54h TD)

La théorie de Cauchy

Notions d'homotopie, d'espaces simplement connexes.

Fonctions C-différentiables, Cauchy-Riemann.

Le théorème de Cauchy, formules de Cauchy, inégalités de Cauchy, analyticité, principe du prolongement analytique, théorèmes de Liouville et d'Alembert.

Primitive, la fonction logarithme.

Fonction holomorphe définie par une intégrale (exemple de la fonction gamma).

Suites et séries de fonctions holomorphes.

Singularités isolées, théorèmes des résidus, théorème de Rouché.

Fonctions entières, théorème de factorisation de Weierstrass, applications aux fonctions sinus, G, développement de Mittag-Leffler de la fonction cotg.

Transformation de Laplace

Formule d'inversion.

Comportement à l'infini, développement asymptotique, théorème de Stirling.

Applications à l'étude d'équations différentielles : Laplace, Bessel, ...

Fonctions harmoniques

Propriété de la valeur moyenne, principe du maximum, formule de Poisson.

Analyticité.

ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE - 1LMG06M

(24h cours, 36h TD)

Ce cours a pour but l'introduction aux différentes méthodes d'étude des systèmes linéaires (décompositions matricielles, méthodes de résolution, calculs de valeurs et vecteurs propres) utilisées en mathématiques appliquées (analyse numérique, statistique...).

Décompositions matricielles et méthodes directes de résolution : décompositions LU, QR, de Cholesky, décomposition en valeurs singulières.

Normes matricielles, conditionnement. Localisation des valeurs propres, théorème de Gershgorin-Hadamard.

Méthodes itératives de résolution des systèmes : Jacobi, Gauss-Seidel, SOR.

Optimisation des formes quadratiques : méthodes du gradient, du gradient conjugué.

Calculs spectraux : méthode de la puissance, de Jacobi, LR, matrices tridiagonales.

Matrices positives : Théorème de Perron.

Quelques problèmes modèles : discrétisation du Laplacien sur un carré du plan, méthode des moindres carrés. Modèles issus de l'économie.

PROBABILITES - 1LMG07M

(18h cours, 24h T.D.)

Le cours suppose qu'un cours standard de Mesure et Intégration a été suivi avant.

Exemples d'espaces de probabilité : le cas fini ou dénombrable, le cas des épreuves de Bernoulli en nombre infini, le cas de la droite réelle, le cas de IRⁿ.

Loi d'une variable aléatoire réelle (v.a.), espérance mathématique, théorème du transport. Moments.

Fonction génératrice d'une v.a. dans les entiers positifs, transformées de Laplace et de Fourier d'une v.a. de IR et de IRⁿ.

Indépendance d'évènements, de tribus et de v.a. Somme de v.a. indépendantes, exemples classiques.

Conditionnement et dépendance : lois conditionnelles dans le cas de lois discrètes ou de lois à densité.

Modes classiques de convergence des suites de v.a. : presque sûre, en probabilité, L^p et en loi. Lois des grands nombres, théorème central limite.

TRAVAUX PRATIQUES - 1LMG08M

(6 h de cours et 24 h de T.P.)

Le but de ce module est l'illustration des mathématiques étudiées dans les divers modules de la licence à l'aide du logiciel Maple. Ce logiciel permet de réaliser de véritables travaux pratiques de mathématiques avec un investissement relativement faible en "informatique utilitaire". Par ce biais, il est possible de faire résoudre par les étudiants des problèmes impossibles à aborder au cours d'un TD, soit à cause des contraintes horaires, soit à cause de la longueur des calculs ou de l'utilisation d'outils mathématiques extérieurs au module.

Le module de travaux pratiques est constitué de 6 sujets correspondants chacun à un module. La liste suivante est donnée à titre indicatif.

TP 1 : Calcul dans les groupes finis, base d'idéaux, division euclidienne.

TP 2 : Transformation de Fourier, séries de Fourier.

TP 3 : Fonction Zeta.

TP 4 : Méthodes itératives matricielles.

TP 5 : Méthode de Monte-Carlo.

TP 6 : Représentation des courbes implicites par des méthodes de décomposition algébrique cylindrique et/ou par des méthodes numériques.

OPTION 2 - MATHEMATIQUES POUR L'ENSEIGNEMENT - 1LMCH2I

TRAVAUX PRATIQUES - 1LMG08M

(6 h de cours et 24 h de T.P.)

Le but de ce module est l'illustration des mathématiques étudiées dans les divers modules de la licence à l'aide du logiciel Maple. Ce logiciel permet de réaliser de véritables travaux pratiques de mathématiques avec un investissement relativement faible en "informatique utilitaire". Par ce biais, il est possible de faire résoudre par les étudiants des problèmes impossibles à aborder au cours d'un TD, soit à cause des contraintes horaires, soit à cause de la longueur des calculs ou de l'utilisation d'outils mathématiques extérieurs au module.

Le module de travaux pratiques est constitué de 6 sujets correspondants chacun à un module. la liste suivante est donnée à titre indicatif.

TP 1 : Calcul dans les groupes finis, base d'idéaux, division euclidienne.

TP 2 : Transformation de Fourier, séries de Fourier.

TP 3 : Fonction Zeta.

TP 4 : Méthodes itératives matricielles.

TP 5 : Méthode de Monte-Carlo.

TP 6 : Représentation des courbes implicites par des méthodes de décomposition algébrique cylindrique et/ou par des méthodes numériques.

ANALYSE REELLE ET COMPLEXE - 1LMG09M

(48 h de cours, 72 h de T.D.)

I. Calcul différentiel réel en dimension finie. (~ 22 h)

• Différentiabilité. Différentielle, dérivées partielles, matrice jacobienne. Différentielle d'une application composée, celle d'une intégrale dépendant d'un paramètre.

• Fonctions de classe C^K. Formules de Taylor. Applications : extréma libres, dérivation terme-à-terme d'une série de fonctions de classe C^K.

• Champs de vecteurs. Théorèmes généraux de la théorie de Cauchy-Lipchitz. Equations différentielles linéaires, résolvante, méthode de variation de la constante.

II. Fonctions holomorphes d'une variable complexe (~ 20h)

• Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes, conservation des angles, inversion locale.

• Séries entières. Fonctions exp z, cos z, sin z. Fonction logarithme complexe.

• Premiers éléments de la théorie de Cauchy. Théorème et formule de Cauchy avec intégration sur le bord d'un compact de Jordan. Existence de primitives dans un ouvert étoilé.

• Développement en série de Taylor. Conséquences : inégalités de Cauchy, théorème de Liouville, théorème des zéros isolés, principe du module maximum et lemme de Schwarz.

• Série de Laurent d'une fonction holomorphe dans une couronne. Points singuliers isolés, résidus.

• Théorème des résidus. Applications : Théorème de Rouché, calcul d'intégrales.

• Suites et séries de fonctions holomorphe.

• Transformations conformes. Fonctions homographiques dans le plan complexe complété, automorphismes analytiques du disque unité et demi-plan supérieur.

• La fonction G d'Euler.

III. Séries de Fourier (~ 6h)

• Aspects hilbertiens. Inégalité de Bessel et formule de Parseval.

• Conditions de Dirichlet et de Jordan pour la convergence.

• Convergence en moyenne arithmétique. Théorème de Fejér, application : théorème d'approximation polynomiale de Weierstrass.

GEOMETRIE - 1LMG10M

(24 h de cours, 36 h de T.D.)

Géométrie affine euclidienne.

Groupe des isométries.

Formes quadratiques et coniques

Nombres complexes et géométrie

Etude des courbes. Trièdre de Frénet.

ANALYSE NUMERIQUE - 1LMG11M

(18h de cours, 27 h de cours)

Normes matricielles, conditionnement

Théorème de Gershgorin-Hadamard

Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires : Gauss, Househölder, Cholesky

Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires : Jacobi, Gauss-Seidel

Approximation polynomiale et interpolation

Valeur approchée d'une intégrale, méthode de Romberg.

PROBABILITES ET STATISTIQUE - 1LMG12M

(18 h de cours, 27 h de T.D.)

Le cours suppose qu'un cours standard de Mesure et Intégration a été suivi avant.

- Exemples d'espaces de probabilité : le cas fini ou dénombrable, le cas de la droite réelle, le cas de Rⁿ.

- Loi d'une variable aléatoire réelle (v.a), espérance mathématique, théorème du transport. Moments.

- Fonction génératrice d'une v.a dans les entiers positifs, transformées de Laplace et de Fourier d'une v.a de R et de Rⁿ.

- Indépendance d'évènements, de tribus et de v.a. Somme de v.a. indépendantes, exemples classiques. Conditionnement et dépendance : lois conditionnelles dans le cas de lois discrètes ou de lois à densité.

- Covariance et lois gaussiennes

- Modes classiques de convergence des suites de v.a. : presque sûre, en probabilité, L^p et en loi.

Lois des grands nombres, théorème central limite

- Statistique exploratoire élémentaire : fonction de répartition et moments empiriques. Définition d'un modèle.

- Estimateur d'un paramètre réel. Biais et variance d'un estimateur. Principe de la méthode du maximum de vraisemblance. Estimation par moments empiriques.

- Tests : hypothèse nulle, erreur de 1^ère et 2^ème espèce et puissance d'un test.

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Majeure "INGENIERIE MATHEMATIQUE" - 1LMAT2

Responsable majeure : Michel PRADEL

CALCUL INTEGRAL, ANALYSE HILBERTIENNE - 1LM201M

(48h de cours et 48h de T.D.)

Intégration

Mesure de Lebesgue dans Rⁿ - Ensembles mesurables.

Fonctions mesurables - Convergence presque partout - Suite de fonctions mesurables.

Intégrale de Lebesgue - Théorèmes de passage à la limite.

Continuité et dérivation des intégrales dépendant d'un paramètre.

Théorème de Fubini. Les espaces L^p, inégalité de Hölder.

Comparaison des modes de convergence.

Convolution des fonctions

Convolution des fonctions de L^{1 -} Propriétés.

Approximation des fonctions de L^p par des fonctions de classe C^• à support compact.

Transformation de Fourier (T.F.)

T.F. des fonctions de L¹ - Propriétés.

T.F. dans S (Rⁿ) - Formule d'inversion.

T.F. des fonctions de L^2.

Théorème de Radon - Nikodym. Dualité.

Topologie et analyse hilbertienne : une introduction

Distances, espaces métriques. Normes, espaces vectoriels normés. Espaces préhilbertiens. Introduction à la topologie générale.

Suites de points dans un espace métrique. Espaces métriques complets. Espace de Banach, espaces de Hilbert. Complété d'un espace métrique, d'un espace vectoriel normé, d'un espace préhilbertien.

Fermés d'un espace métrique. Densité. Séparabilité. Ouvert d'un espace métrique. Parties complètes, compactes, d'un espace métrique.

Applications continues, uniformément continues. Homéomorphismes. Applications linéaires continues. Applications continues définies sur un compact. Prolongements d'applications continues.

Point fixe des applications contractantes, méthodes des approximations successives. Projection sur un convexe complet d'un espace préhilbertien.

Analyse Hilbertienne (suite) : isométrie de F. Riesz d'un espace de Hilbert, opérateur adjoint d'un opérateur, une application : problèmes de moindres carrés, bases hilbertiennes.

PROBABILITES, CALCUL DIFFERENTIEL - 1LM202M

(48h de cours et 48h de T.D.)

1. Probabilités.

Le modèle probabiliste est défini en Calcul Intégral.

Rappels : lois classiques et situations dans lesquelles elles sont utilisées.

Variables aléatoires indépendantes. Construction sur un ensemble produit dans le cas fini.

Fonctions génératrices et caractéristiques. Application au calcul de la loi de la somme de variables aléatoires indépendantes.

Vecteurs gaussiens.

Convergences. Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson : modélisation des phénomènes d'attente. Loi des grands nombres : application à la construction d'un modèle probabiliste sur un ensemble fini. Théorème de la limite centrée.

Chaines de Markov à valeurs dans un ensemble fini. Transitions, irréductibilité, mesure invariante, théorème ergodique et loi des grands nombres.

Processus de Poisson : Introduction.

Filtre de Kalman discret.

2. Calcul différentiel.

Fonctions Différentiables. Fonctions Différentiables. Différentiation des fonctions composées. Différentielles partielles. Théorème des accroissements finis. Formules de Taylor. Théorème d'inversion locale. Théorème des fonctions implicites.

Applications. Condition d'optimalité pour des problèmes avec contraintes d'égalité. Courbes et surfaces. Champs de vecteurs et éléments d'analyse vectorielle.

Equations Différentielles. Equations différentielles linéaires (coefficients constants et non constants) Théorème de Cauchy-Lipschitz. Dépendance des solutions par rapport aux conditions initiales.

STATISTIQUE - 1LM203M

(48h de cours et 72h de T.D.)

Après une introduction générale à la statistique, ce cours se compose en 2 parties, chacune correspondant à un semestre.

1.Statistique Descriptive Multivariée.

- Cas unidimensionnel. Tableaux statistiques, représentations graphiques usuelles, calcul de caractéristiques numériques (tendance centrale et dispersion.).

- Cas bidimensionnel. Notion de liaison. Nuages de points, corrélation linéaire, régression linéaire simple. Rapport de corrélation. Table de contingence, profils, indicateurs de liaison liés au Khi-deux.

- Outils Mathématiques. Représentation de données dans des espaces euclidiens. Projecteurs orthogonaux. Décomposition en Valeurs Singulières d'une matrice.

- Analyse en composantes principales. Principes généraux. Résolution dans l'espace des individus, puis dans celui des variables. Représentations graphiques et interprétation.

- Analyse Factorielle des Correspondances Multiples. Tableau disjonctif complet et tableau de Burt. Etude de l'A.F.C. binaire de ces deux tableaux. Principe de l'A.F.C. multiple. Interprétation des graphiques obtenus.

- Analyse Factorielle Discriminante. Description générale de la méthode. L'A.F.C. en tant qu'A.F.C. particulière. Représentations graphiques et interprétation.

2. Statistique Inférentielle.

- Introduction à l'inférence statistique. Notion de modèle statistique. Notions d'estimation et de test. Fonction de vraisemblance.

- Estimation ponctuelle d'un paramètre. Notion d'estimateur ; biais et convergence. Inégalité de Cramer-Rao et efficacité. Méthode des moindres carrés, des moments et du maximum de vraisemblance. Introduction à l'estimation d'un paramètre multidimensionnel.

- Estimation par intervalle de confiance. Principe. Cas des paramètres de la loi normale. Cas d'une proportion. Intervalles de confiance asymptotique.

- Généralités sur les tests. Notion d'hypothèse, de test, de risque, de puissance et de convergence. Lemme de Neyman-Pearson et applications. Cas d'une alternative composée (fonction puissance, test U.M.P. et U.M.P.U.).

- Tests paramétriques usuels. Tests relatifs aux paramètres d'une ou de deux lois normales, puis binominales.

- Tests non paramétriques usuels. Test de signes, de Wilcoxon, de Mann-Whitney et de Kolmogorov-Smirnov. Introduction au test du Khi-deux.

Nota : Les T.D. incluent l'apprentissage et l'utilisation du logiciel SAS.

CALCUL SCIENTIFIQUE - 1LM204M

(48h de cours et 72h de T.D.)

Analyse Numérique Matricielle

- Résolution d'un système linéaire - Gauss - Cholesky - Householder. Normes matricielles -Conditionnement d'une matrice.

- Résolution itérative d'un système linéaire - Jacobi - Gauss-Seidel - Méthodes de relaxation.

- Méthodes de Krylov.

- Méthode du gradient conjugué.

- Calculs de valeurs propres - Puissance itérée - Méthodes LR, QR - Valeurs singulières.

Analyse numérique des fonctions d'une variable

- Interpolation.

- Intégration approchée - Newton-Cotes - Noyau de Peano - Méthode de Romberg.

Polynômes orthogonaux - Méthode de Newton.

Approximation - Polynômes de Tchebychev - Fonctions splines - Fonctions de Bézier.

Résolution des équations différentielles ordinaires

Méthode d'Euler.

Méthodes numériques à un pas - Consistance - Stabilité - Convergence - Runge-Kutta.

Méthodes à pas multiples - Adams-Bashforth - Adams-Moulton - Prédiction, correction.

Nota : Les T.D. incluent l'apprentissage et l'utilisation du logiciel Matlab.

OUTILS INFORMATIQUES - 1LM205M

(34h de cours et 42 h de T.D.)

Programmation (32 h)

C++ Programmation orientée - Objet - Notion de classe, de sous-classe - Mécanisme d'héritage.

Fortran 90 (24 h)

Programmation algorithmique - Structures de données - Pointeurs - Récursivité - Modules.

Calcul avec Maple (12 h)

Mise en évidence de la spécificité des approches formelles, numérique et graphique dans la résolution de problèmes mathématiques.

Initiation aux logiciels de bureautique (8 h)

STAGE - 1LM2SP1 / PROJET - 1LM2SP2

- Chaque étudiant doit choisir entre un stage en entreprise d'une durée de 2 mois et demi ou un projet à réaliser à l'Université.

- Le projet et le stage feront l'objet d'un rapport et d'une soutenance orale.

ALGEBRE ET GEOMETRIE - 1LM206M

(24 h de cours et 24h de T.D.)

Groupes

- Définition, sous-groupes, homomorphismes, sous-groupes distingués, groupes quotients, factorisation

des homomorphismes Groupe symétrique. Groupes cycliques.

- Groupes opérant sur un ensemble, formule des classes.

- Groupe linéaire réel.

Géométrie

- Espaces affines, applications affines.

- Géométrie euclidienne. Isométries de IRⁿ (cas particuliers : n=2,3). Sous-groupes finis des rotations de IR² et IR^3. Géométrie euclidienne affine. Isométries affines.

Anglais - 1LM2LVI

(25h de cours, 25h de TD)

Le cours est axé sur l'étude de la langue scientifique.

Oral

Prendre des notes dans le cadre d'un cours suivi à l'étranger - Intervenir lors des colloques - etc... .

Ecrit

Rédiger une communication, un rapport scientifique.