Théorème des transformations conformes de Liouville

Gérard Letac^{∗}

I Introduction

On se fixe un espace euclidien E de dimension n. Le groupe des automorphismes orthogonaux de E est noté O(E). Une similitude vectorielle s de E est un automorphisme de E tel qu’il existe (p, q) dans ]0, +∞[×O(E) satisfaisant s(x) = pq(x) pour tout x de E. Le nombre positif p est alors appelé rapport de similitude de s.

On se fixe également un ouvert connexe U de E. On dira qu’une fonction f : U → E est conforme dans U si elle est de classe C^{4}(U) et si sa différentielle f′_{u} est une similitude vectorielle pour tout u de U. Historiquement, ces transformations ont d’abord été considérées parce qu’elles conservent les angles. Plus précisément, si deux courbes lisses se coupent en u ∈ U, et que l’angle de leurs tangentes en u soit θ, leurs images par la transformation conforme f sont deux courbes lisses se coupant en f(u) et dont les tangentes en f(u) forment le même angle θ. C’est vrai en particulier si c’est un angle droit: aussi appellait t-on également parfois les transformations conformes des transformations orthogonales, terme aujourd’hui réservé aux applications linéaires. Il est fascinant de voir, si dim E ≥ 2, deux réseaux de courbes orthogonales entre elles (par exemple les droites parallèles aux axes dans IR^{2} euclidien) être déformés par une transformation conforme en deux nouveaux réseaux de courbes orthogonales. On a une remarque analogue si dim E ≥ 3 avec trois feuilletages par des surfaces de dimension 2: en un point, si on suppose que les normales aux trois surfaces passant par ce point sont deux à deux orthogonales, cette propriété est conservée par transformation conforme. Ce n’est pas une digression inutile, car le fait pour un automorphisme q d’un espace euclidien de changer un couple de vecteurs orthogonaux en un couple de vecteurs orthogonaux est caractéristique des similitudes vectorielles (c’est un exercice qui se fait par exemple en appliquant la méthode de la Proposition 6, en montrant que les formes linéaires φ_{x} : y ↦ ⟨q(x), q(y)⟩ − \frac{∥q(x)∥^{2}}{∥x∥^{2}} ⟨x, y⟩ sont nulles). Aussi les auteurs de la littérature donnent ils différentes définitions des transformations conformes (préservation des angles ou de l’orthogonalité) qui sont équivalentes à celle donnée ci dessus.

Il est facile de voir que si E est de dimension 1 les transformations conformes sur un intervalle ouvert U sont les fonctions f de classe C^{4} telles que f′(x) ≠ 0 pour tout x. Si E est de dimension 2 il y en a encore énormément, et nous commenterons ce point à la section 6. Nous allons trouver toutes les transformations conformes dans U quand n ≥ 3. Le problème a été résolu par Liouville (Théorème 5). Sa solution a des applications dans de nombreux domaines : en probabilités (Letac 1986), en analyse et en géométrie. L’auteur du présent exposé s’est basé sur Nevanlinna (1960) et Dobrouvine et al (1984). Il a également profité d’une longue conversation sur les systèmes triples-orthogonaux de sphères avec Gustave Choquet en 1977. On rappelle les faits suivants: si F est un espace vectoriel réel de dimension finie d, si g : U → F est de classe C^{k}(U), avec k ≥ 1, et si u est fixé dans U alors il existe une application linéaire g′_{u} : E → F et une fonction ϵ^{(1)} : U → F telle que lim_{x→0} ϵ^{(1)}(u + x) = 0 et telle que

∗Laboratoire de statistique et probabilités, Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse.

g(u + x) = g(u) + g′_{u}(x) + ||x||ϵ^{(1)}(u + x)  (1.1)

pour u+x ∈ U. L’application linéaire x ↦ g′_{u}(x) est appelée la différentielle de g au point u. Si d = 1, comme ici E est euclidien, g′_{u} est identifié à un élément de E par g′_{u}(x) = ⟨g′_{u}, x⟩.

De même, si k ≥ 2, il existe une application bilinéaire symétrique g′′_{u} : E × E → F et une fonction u ↦ ϵ_{u}^{(2)} définie dans U et à valeurs dans l’espace des applications linéaires L(E, F) de E dans F telle que lim_{x→0} ϵ_{u+x}^{(2)} = 0 et telle que, si (u + x, y) ∈ U × E, on ait

g′_{u+x}(y) = g′_{u}(y) + g′′_{u}(x, y) + ||x||ϵ_{u+x}^{(2)}(y).  (1.2)

En d’autres termes, y ↦ g′′_{u}(x, y) est la différentielle de u ↦ g′_{u}(x). Le fait que l’application (x, y) ↦ g′′_{u}(x, y) soit symétrique en x et y n’est pas évident à partir de sa définition (1.2), et constitue l’important théorème de Schwarz. Si k ≥ 3 il existe de même une application trilinéaire g′′′_{u} : E×E×E → F telle que z ↦ g′′′_{u}(x, y, z) soit la différentielle de u ↦ g′′_{u}(x, y). Le théorème de Schwarz permet de montrer que l’application trilinéaire g′′′_{u} est symétrique.

Désormais, on se fixe f : U → E conforme et on désigne par p(u) le rapport de similitude de f′_{u}. Enfin, on note, si (u, x, y, z) est dans U × E^{3} :

F_{u}(x, y, z) = ⟨f′′_{u}(x, y), f′_{u}(z)⟩.  (1.3)

II Similitudes affines

Il est bien évident que les similitudes affines fournissent un exemple un peu décevant de transformations conformes. La proposition suivante montre qu’on ne s’en évade pas si facilement.

Proposition 1. Si f : U → E est conforme, avec U connexe, et telle que le rapport de similitude u ↦ p(u) est constant sur U, alors f est la restriction à U d’une similitude affine.

Démonstration. Soit p la valeur constante du rapport de similitude. On voit que

⟨f′_{u}(x), f′_{u}(y)⟩ = p^{2}⟨x, y⟩.  (2.4)

Ecrivons en effet f′_{u} = pq_{u} avec q_{u} dans O(E). Puisque ⟨q_{u}(x), q_{u}(y)⟩ = ⟨x, y⟩, on a bien (2.4).

Ensuite, on applique dans (2.4) à la fonction u ↦ f′_{u} la définition (1.1) de la différentielle: si u + z ∈ U,

p^{2}⟨x, y⟩ = ⟨f′_{u+z}(x), f′_{u+z}(y)⟩
= ⟨f′_{u}(x) + f′′_{u}(x, z) + o(z), f′_{u}(y) + f′′_{u}(y, z) + o(z)⟩
= ⟨f′_{u}(x), f′_{u}(y)⟩ + F_{u}(x, z, y) + F_{u}(y, z, x) + o(z),

où la notation (1.3) a été utilisée. Donc F_{u}(x, z, y) + F_{u}(y, z, x) = o(z). On en déduit, que pour tout (x, y, z) de E^{3} on a

F_{u}(x, z, y) + F_{u}(y, z, x) = 0.  (2.5)

En effet z ↦ l(z) = F_{u}(x, z, y) + F_{u}(y, z, x) est une fonction à la fois linéaire et o(z). Elle est donc nulle: en effet s’il existait un z_{0} tel que c = l(z_{0}) ≠ 0, alors pour t réel l(tz_{0}) = tc serait un o(1) mais pas un o(t) : contradiction. L’égalité (2.5) est donc montrée.

L’astuce est alors de déduire de (2.5) que pour tout (x, y, z) de E^{3} on a F_{u}(x, y, z) = 0. Cela découle des 6 égalités suivantes, qui sont justifiées en alternant (1) et la symétrie de f′′_{u}.

F_{u}(x, y, z) = −F_{u}(z, y, x) = −F_{u}(x, y, z)
= F_{u}(x, z, y) = F_{u}(z, x, y)
= −F_{u}(y, x, z) = −F_{u}(x, y, z)

et donc F_{u}(x, y, z) = 0.

Ensuite z ↦ f′_{u}(z) est surjectif, étant une similitude vectorielle. Donc F_{u}(x, y, z) = 0 pour tout z implique que f′′_{u}(x, y) = 0. Ceci étant vrai pour tout (x, y), on a f′′_{u} = 0 pour tout u de U. La fonction u ↦ f′_{u} est donc constante sur l’ouvert U, car celui ci est connexe par hypothèse. Il existe donc q ∈ O(E) tel que f′_{u} = pq. La différentielle de f étant constante, f est la restriction à U d’une fonction affine. Ou encore: la fonction u ↦ f(u) − pq(u) a une différentielle nulle sur l’ouvert connexe U et est donc égale à une constante v_{0}. La Proposition 1 est donc montrée.

On en tire un corollaire qui ne va pas servir ensuite, mais intéressant:

Corollaire 2. Si f et g sont conformes sur l’ouvert connexe U ⊂ E avec le même rapport de similitude p(u) en tout point u, alors il existe un déplacement s de E tel que f(x) = s(g(x)) pour tout x de U.

Démonstration. Soit u_{0} ∈ U. Le théorème des fonctions implicites garantit l’existence d’un voisinage ouvert connexe U_{0} de u_{0} et d’un ouvert V_{0} tels que la restriction de g à U_{0} soit un difféomorphisme sur V_{0}. Il est facile de voir que g^{−1} et h = f ∘ g^{−1} sont conformes sur V_{0}, et que le rapport de similitude pour h est la constante 1. La Proposition 1 montre que h est la restriction à V_{0} d’un déplacement s_{u_{0}}. En résumé, pour tout u_{0} de U il existe un voisinage ouvert connexe U_{0} de u_{0} et un déplacement s_{u_{0}} tel que f = s_{u_{0}} ∘ g sur U_{0}. Pour voir que en fait s_{u_{0}} ne dépend pas de u_{0}, on observe que donc u ↦ f′_{u} ∘ (g^{−1})′_{u} est localement constante sur le connexe U, donc constante: la transformation orthogonale vectorielle q associée à s_{u_{0}} ne dépend donc pas de u_{0}. De même v_{u_{0}} = f(u) − q ∘ g(u) est localement constante, donc constante.

III Les inversions sont conformes.

Nous commencons par donner un exemple de transformation conforme moins trivial que les similitudes affines.

Proposition 3. On suppose U = E \ {0}. Alors l’inversion i de pôle 0 et de rayon 1, c’est à dire la fonction sur U définie par

i(v) = \frac{v}{||v||^{2}}

est telle que ||v||^{2}i′_{v} est une symétrie orthogonale par rapport à l’espace orthogonal à v. En particulier i est conforme sur U avec pour rapport de similitude p(v) = ∥v∥^{−2}.

Démonstration. ||v + x||^{2} = ||v||^{2} + 2⟨v, x⟩ + ||x||^{2}. Donc:

||v||^{2}(i(v + x) − i(v)) = \frac{||v||^{2}}{||v||^{2} + 2⟨v, x⟩ + ||x||^{2}} (v + x) − v

= [1 + \frac{2}{||v||}⟨\frac{v}{||v||}, x⟩ + \frac{||x||^{2}}{||v||^{2}} ]^{−1}[(v + x) − v − 2\frac{v}{||v||}⟨\frac{v}{||v||}, x⟩ − ||x||^{2} \frac{v}{||v||^{2}} ]

= [x − 2\frac{v}{||v||}⟨\frac{v}{||v||}, x⟩] + o(x).

Si q_{v}(x) = x − 2\frac{v}{||v||}⟨\frac{v}{||v||}, x⟩, l’expression précédente montre que ||v||^{2}i′_{v} = q_{v}. C’est la symétrie orthogonale par rapport à l’espace orthogonal à v. Donc, puisque i′_{v} = ||v||^{−2}q_{v}, i est conforme, avec pour rapport de similitude ||v||^{−2}.

La proposition suivante montre que les inversions exercent le même genre d’attraction que les similitudes affines parmi les transformations conformes.

Proposition 4. Soit U un ouvert connexe de E euclidien ne contenant pas 0. Soit f : U → E conforme satisfaisant la condition suivante: il existe un nombre P > 0 tel que pour tout u de U on ait

p(u) = \frac{P}{||u||^{2}} .

Alors il existe une similitude affine s de rapport de similitude P telle que f = s ∘ i, où i est l’inversion de pôle 0 et de puissance 1.

Démonstration. Soit V = i(U) et f̃ : V → E définie par f̃(v) = f(i(v)). Comme i est une bijection de E \ {0} sur lui même, et que i^{2} =identité, on a i(V) = U. D’après le théorème de composition des applications différentiables, f̃′_{v} = f′_{i(v)} ∘ i′_{v}. La composée de 2 similitudes est une similitude, donc f̃ est conforme dans V. Si P_{v} est le rapport de similitude de f̃′_{v}, on a:

P_{v} = p(i(v))||v||^{−2} = p(\frac{v}{||v||^{2}} )||v||^{−2} = P.

D’après la Proposition 1 il existe donc v_{0} dans E et q ∈ O(E) tels que f̃(v) = v_{0} + P q(v). Donc f ∘ i(v) = v_{0} + P q(v), donc

f(u) = f(i^{2}(u)) = v_{0} + P q(i(u)).

IV Transformations conformes en dimension ≥ 3.

Au vu des deux premières sections, nous disposons déjà d’un petit arsenal de transformations conformes sur l’ouvert connexe U ⊂ E :

• Les restrictions à U des similitudes affines;

• Les restrictions à U des fonctions de la forme f(u) = s ∘ i(u − u_{0}) où s est une similitude affine et où u_{0} ∉ U.

Le but de cette section est de montrer qu’en dimension ≥ 3 il n’y en a pas d’autres:

Théorème 5. (Liouville) Si E est de dimension ≥ 3 et si U ⊂ E est un ouvert connexe, les seules transformations conformes sur U sont du type précédent. En particulier, les seules transformations conformes sur tout E sont les similitudes affines.

Sa démonstration est évidemment très ingénieuse et nous la fractionnerons en plusieurs propositions. Compte tenu des deux sections précédentes on va chercher à montrer soit que ρ(u) = 1/p(u) est soit constante, soit égal à ∥u − u_{0}∥^{2}/P pour quelque nombre P > 0 et quelque u_{0} ∉ U. En fait, ces deux situations ne sont pas si opposées. Elles ont en commun de satisfaire

ρ′′_{u}(x, y) = σ⟨x, y⟩  (4.6)

pour une constante σ. La première partie (cette section) montre (4.6). Elle résulte d’une lecture de Nevanlinna (1960). La seconde (section 4) discute ses solutions et son idée est celle de Dobrouvine et al. (1984). Auparavant, nous allons démontrer un curieux résultat d’algèbre linéaire.

Proposition 6. Soit U un ouvert connexe de l’espace euclidien E et u ↦ ρ(u) une fonction réelle de classe C^{3}(U) telle que ρ′′_{u}(x, y) = 0 pour tout couple (x, y) de vecteurs orthogonaux de E. Alors il existe u_{0} ∈ E, ainsi que α et β réels tels que

ρ(u) = α∥u − u_{0}∥^{2} + β.  (4.7)

Démonstration. Pour u ∈ U on définit la fonction réelle B_{u} sur E × E par B_{u}(0, y) = 0 et, pour x ≠ 0,

B_{u}(x, y) = ρ′′_{u}(x, y) − \frac{⟨x, y⟩}{||x||^{2}}ρ′′_{u}(x, x).

Nous allons montrer que B_{u}(x, y) = 0 pour tout (x, y) de E ×E. Pour x ≠ 0, y ↦ B_{u}(x, y) est linéaire. De plus, si y = λx + z avec ⟨x, z⟩ = 0, alors

B_{u}(x, y) = B_{u}(x, λx + z) = λB_{u}(x, x) + B_{u}(x, z).

Or B_{u}(x, x) = 0 par définition, et B_{u}(x, z) = 0 par hypothèse, puisque x et z sont orthogonaux. On a donc bien B_{u}(x, y) = 0 pour tout (x, y).

On réécrit ce résultat sous la forme ρ′′_{u}(x, y) = ⟨x, y⟩σ_{u,x}, où, lorsque x ≠ 0,

σ_{u,x} = \frac{ρ′′_{u}(x, x)}{||x||^{2}}.

Donc, comme ρ′′_{u} est symétrique, ρ′′_{u}(x, y) = σ_{u,y}⟨x, y⟩. Donc, si x, y sont non orthogonaux, σ_{u,x} = σ_{u,y}. Si ensuite x et y sont orthogonaux et tous deux non nuls, alors x+y est non nul et n’est orthogonal ni à x, ni à y. Donc d’après ce qui précède on a σ_{u,x} = σ_{u,x+y} = σ_{u,y}. Donc pour tous x et y non nuls on a σ_{u,x} = σ_{u,y}, et il existe donc σ : U → IR tel que ρ′′_{u}(x, y) = ⟨x, y⟩σ(u). Enfin, σ est de classe C^{1}, car pour x ≠ 0, alors u ↦ ρ′′_{u}(x, x)/||x||^{2} est de classe C^{1}.

Pour terminer on observe que ρ′′′_{u}(x, y, z) = ⟨x, y⟩⟨σ′_{u}, z⟩ est une expression symétrique en (x, y, z). Si σ′_{u} ≠ 0, prenons x = y= orthogonal à σ′_{u}, et z = σ′_{u}. Alors

ρ′′′_{u}(x, x, σ′_{u}) = ||x||^{2}||σ′_{u}||^{2} = ρ′′′_{u}(x, σ′_{u}, x) = 0.

D’où σ′_{u} = 0. Donc il existe une constante σ telle que pour tout u de U on ait σ(u) = σ. Donc ρ′′_{u}(x, y) = ⟨x, y⟩σ. Donc ρ est une fonction sur l’ouvert connexe U dont la Hessienne est proportionnelle à l’identité; c’est la restriction à U d’un polynôme du 2ième degré à n variables dont la partie homogène de degré 2 est

\frac{σ}{2} (u_{1}^{2} + ⋯ + u_{n}^{2}).

Si α = \frac{σ}{2} , si u ↦ −σ⟨u, u_{0}⟩ est la partie homogène de degré 1 du polynôme et si β +α||u_{0}||^{2} est sa partie constante, alors

ρ(u) = α||u − u_{0}||^{2} + β

et la Proposition 6 est montrée.

Pour la première fois, le fait que la dimension soit ≥ 3 apparait dans la difficile proposition suivante.

Proposition 7. Si E est de dimension ≥ 3 et si U ⊂ E est un ouvert connexe, soit f : U → E une transformation conforme et u → p(u) son rapport de similitude. Alors il existe u_{0} ∉ U, α et β tels que

\frac{1}{p(u)} = α∥u − u_{0}∥^{2} + β.  (4.8)

Démonstration. On considère trois vecteurs orthonormaux e_{1}, e_{2}, e_{3} de IR^{n} et on note v_{j} = f′_{u}(e_{j}).

Nous montrons d’abord que

F_{u}(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 0.  (4.9)

On part de 0 = ⟨f′_{u}(e_{j}), f′_{u}(e_{k})⟩. Donc, en différentiant par rapport à u, et pour tout z:

0 = ⟨f′′_{u}(e_{j}, z), f′_{u}(e_{k})⟩ + ⟨f′_{u}(e_{j}), f′′_{u}(e_{k}, z)⟩ + o(z).

Comme il y a linéarité en z, cela entraîne que F_{u}(e_{j}, z, e_{k}) + F_{u}(e_{k}, z, e_{j}) = 0. C’est vrai en particulier si z = e_{i}, avec i ∈ {1, 2, 3} et i ≠ j, k. Appelons quelques instants "(A)" la propriété que nous venons de montrer, à savoir que F_{u}(x, y, z) + F_{u}(z, y, x) = 0 quand (x, y, z) sont orthogonaux. Alors

F_{u}(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = −F_{u}(e_{3}, e_{2}, e_{1}) = −F_{u}(e_{2}, e_{3}, e_{1}) = F_{u}(e_{1}, e_{3}, e_{2})
= F_{u}(e_{3}, e_{1}, e_{2}) = −F_{u}(e_{2}, e_{1}, e_{3}) = −F_{u}(e_{1}, e_{2}, e_{3}).

Ces 6 égalités utilisent en alternance la propriété (A) et la symétrie de f′′_{u}. Donc finalement F_{u}(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 0.

On en déduit ensuite que f′′_{u}(e_{1}, e_{2}) est dans l’espace engendré par v_{1} et v_{2}. En effet, d’après (4.9) f′′_{u}(e_{1}, e_{2}) est orthogonal à v_{3} quel que soit e_{3} orthogonal à e_{1}, e_{2}. Si la projection w de f′′_{u}(e_{1}, e_{2}) sur l’espace orthogonal à v_{1}, v_{2} n’est pas nulle, notons w′ = (f′_{u})^{−1}(w). Or (f′_{u})^{−1} est une similitude, w′ est donc orthogonal à e_{1} et e_{2}, et est non nul. Prenant e_{3} = w′/∥w′∥, on voit que v_{3} = f′_{u}(e_{3}) est proportionnel à w et f′′_{u}(e_{1}, e_{2}) n’est pas orthogonal à v_{3}: contradiction.

Observons que p est de classe C^{3}(U), puisque (p(u))^{2} = ⟨f′_{u}(e_{1}), f′_{u}(e_{1})⟩ est de classe C^{3}(U), que p ne s’annule pas et que x ↦ 1/√x est C^{∞} sur ]0, ∞[. On utilise cela pour différentier u ↦ ⟨f′_{u}(e_{1}), f′_{u}(e_{1})⟩ = (p(u))^{2}. Puisque

(p(u + x))^{2} − (p(u))^{2} = 2p(u)⟨p′_{u}, x⟩ + o(x)

cela donne

(p(u + x))^{2} = ⟨f′_{u+x}(e_{1}), f′_{u+x}(e_{1})⟩ = (p(u))^{2} + 2F_{u}(e_{1}, x, e_{1}) + o(x).

Prenons en particulier x = e_{2} : On tire des 2 lignes précédentes que F_{u}(e_{1}, e_{2}, e_{1}) = p(u)⟨p′_{u}, e_{2}⟩, et donc que

⟨f′′_{u}(e_{1}, e_{2}), v_{1}⟩ = p(u)⟨p′_{u}, e_{2}⟩.

De même

⟨f′′_{u}(e_{1}, e_{2}), v_{2}⟩ = p(u)⟨p′_{u}, e_{1}⟩.

Comme f′′_{u}(e_{1}, e_{2}) est dans l’espace engendré par v_{1} et v_{2}, et comme ||v_{1}|| = p(u), on a

f′′_{u}(e_{1}, e_{2}) = \frac{1}{p(u)}(⟨p′_{u}, e_{2}⟩v_{1} + ⟨p′_{u}, e_{1}⟩v_{2}).  (4.10)

En conséquence si on pose ρ(u) = \frac{1}{p(u)} et

h(u) = ⟨ρ′_{u}, e_{2}⟩v_{1} + ⟨ρ′_{u}, e_{1}⟩v_{2} + ρ(u)f′′_{u}(e_{1}, e_{2}),  (4.11)

comme ρ′_{u} = −p′_{u}/(p(u))^{2} une reformulation de (4.10) est h(u) = 0 pour tout u de U.

Ignorons pendant quelques instants le fait que h = 0 et dérivons l’expression de h par rapport à u, en notant

H(u, e_{1}, e_{2}, e_{3}) = h′_{u}(e_{3}) − ρ′′_{u}(e_{2}, e_{3})v_{1}.

Nous allons montrer que H(u, e_{1}, e_{2}, e_{3}) = H(u, e_{3}, e_{2}, e_{1}). On a h′_{u}(e_{3}) − ρ′′_{u}(e_{2}, e_{3})v_{1} = ⟨ρ′_{u}, e_{2}⟩f′′_{u}(e_{1}, e_{3}) + ρ′′_{u}(e_{1}, e_{3})v_{2} + ⟨ρ′_{u}, e_{1}⟩f′′_{u}(e_{2}, e_{3})

+⟨ρ′_{u}, e_{3}⟩f′′_{u}(e_{1}, e_{2}) + ρ(u)f′′′_{u}(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = H(u, e_{1}, e_{2}, e_{3}).

H(u, e_{1}, e_{2}, e_{3}) est donc la somme de 5 termes. En échangeant e_{1} et e_{3}, les termes 1,2 et 5 sont conservés, les termes 3 et 4 s’échangent. Donc

H(u, e_{1}, e_{2}, e_{3}) = H(u, e_{3}, e_{2}, e_{1}).

On en déduit que H est une fonction symétrique de (e_{1}, e_{2}, e_{3}). En effet, puisque h′_{u}(e_{3}) est nul, et puisque ρ′′_{u} est symétrique, on a

H(u, e_{1}, e_{2}, e_{3}) = H(u, e_{1}, e_{3}, e_{2}).

Comme 2 transpositions engendrent le groupe symétrique des permutations à 3 objets, H est une fonction symétrique. En particulier

H(u, e_{1}, e_{2}, e_{3}) = H(u, e_{2}, e_{1}, e_{3}).  (4.12)

Utilisons alors h(u) = 0. On déduit de l’égalité (4.12)

ρ′′_{u}(e_{2}, e_{3})v_{1} = ρ′′_{u}(e_{1}, e_{3})v_{2}.

Comme v_{1} et v_{2} sont indépendants, on a ρ′′_{u}(e_{2}, e_{3}) = ρ′′_{u}(e_{1}, e_{3}) = 0. Comme e_{1} et e_{3} sont des vecteurs orthonormaux quelconques, un résultat essentiel est maintenant que ρ′′_{u}(x, y) = 0 pour tous x, y tels que ⟨x, y⟩ = 0. On applique en effet maintenant la Proposition 6, et donc la Proposition 7 est montrée.

A ce point, on voit que si dans la Proposition 7 on a α = 0 alors la transformation conforme f est une similitude affine, d’après la Proposition 1. De même si dans la Proposition 7 on a β = 0 alors la transformation conforme f est de la forme f(u) = s_{∘}i(u − u_{0}) où s est une similitude affine et où u_{0} ∉ U.. En effet, d’après la Proposition 4 il existe v_{0} dans IR^{n} et q dans O(E) tels que

f(u) = v_{0} + αq(i(u − u_{0})).

Dans ce cas, nécessairement u_{0} est extérieur à U.

On voit maintenant que le théorème de Liouville sera montré dès que l’égalité αβ = 0 sera prouvée. C’est un point long à acquérir. Commencons par l’observation suivante sur l’inverse d’une transformation conforme.

Corollaire 8. Soit f conforme sur l’ouvert connexe U de l’espace euclidien E de dimension ≥ 3 et α, β, u_{0} définis par (4.8). Alors il existe γ, δ, v_{0} et un ouvert connexe U_{1} ⊂ U tels que f restreint à U_{1} soit un difféomorphisme sur V_{1} = f(V_{1}) et tels que pour tout u de U_{1} on ait

(α||u − u_{0}||^{2} + β)(γ||f(u) − v_{0}||^{2} + δ) = 1  (4.13)

avec γ ≠ 0 si α ≠ 0.

Démonstration. Soit u_{1} dans U fixé. Puisque f′_{u_{1}} ≠ 0, d’après le théorème des fonctions implicites, f est localement inversible et il existe un ouvert connexe U_{1}, avec u_{1} ∈ U_{1} ⊂ U, tel que f restreint à U_{1} soit un C^{4}(U_{1}) difféomorphisme sur V_{1}) = f(U_{1}). Puisque

(f^{−1})′_{f(u)}f′_{u} = identit,

on a

(f^{−1})′_{v} = (f′_{f^{−1}(v)})^{−1} = \frac{1}{p(f^{−1}(v))}q_{f^{−1}(v)}^{−1},

et f est donc conforme sur V_{1}, avec pour rapport de similitude

P (v) = \frac{1}{p(f^{−1}(v))}.

Il existe donc γ, δ et v_{0} tels que

p(f^{−1}(v)) = \frac{1}{P (v)} = γ||v − v_{0}||^{2} + δ.

Comme p(u) = α||u − u_{0}||^{2} + β, on a donc (4.13) pour tout u de U_{1}.

Si α ≠ 0, alors γ = 0 est impossible; car alors il existerait r > 0 tel que ||u − u_{0}|| = r pour tout u de U_{1}, ce qui contredit le fait que U_{1} soit un ouvert non vide (Par exemple, la boule fermée de centre (1, 0, …, 0) et de rayon ϵ > 0 ne peut être contenu dans la sphère des x de norme 1, puisque (1 − ϵ, 0, …, 0) est contenu dans cette boule et non dans la sphère). D’où la contradiction : le corollaire est montré.

V Fin de la démonstration du théorème de Liouville

Comme expliqué ci dessus on cherche à montrer que αβ = 0 avec α, β définis par (4.8). Nous allons le faire de la facon suivante: nous supposons que α ≠ 0 et montrons qu’alors β = δ = 0 où δ est défini par (4.13). Sans perte de généralité, au vu du Corollaire 8 nous allons supposer que f est un difféomorphisme de U sur V et que u_{0} = v_{0} = 0 dans (4.13). Nous allons démontrer l’existence d’une fonction continue k : U → IR \ {0} telle que pour tout u de U on ait

f′_{u}(u) = k(u)f(u).  (5.14)

Nous ferons usage pour cela de l’équation tirée du Corollaire 8, qui s’écrit maintenant

(α||u||^{2} + β)(γ||f(u)||^{2} + δ) = 1.  (5.15)

Soit u dans U et v dans E \ {0}, avec ⟨u, v⟩ = 0. Il existe un nombre r > 0 et une fonction c :] − r, r[→ U de classe C^{1} telle que c(0) = u, ||c(t)|| = ||u|| pour −r < t < r, et c′(0) = v. Il suffit en effet de prendre

c(t) = u cos \frac{||v||t}{||u||} + v \frac{||u||}{||v||} sin \frac{||v||t}{||u||}.

Puisque U est ouvert et que u ∈ U, il existe r > 0 tel que c(t) ∈ U pour tout |t| < r : en effet, c est trivialement continue sur IR,, c^{−1}(U) est donc un ouvert de IR contenant 0.

Considérons alors la courbe t ↦ f(c(t)). Sa tangente en t = 0 est f′_{c(t)}(c′(t)) = f′_{u}(v). En outre, d’après (5.15)

(α||u||^{2} + β)(γ||f(c(t))||^{2} + δ) = 1,

et donc t ↦ ⟨f(c(t)), f(c(t))⟩ est constante. Sa dérivée en 0 est donc nulle, et donc, pour tout v orthogonal à u on a ⟨f′_{u}(v), f(u)⟩ = 0. Si F et F′ sont les espaces orthogonaux à u et f(u) respectivement, et puisque par hypothèse f(u) ≠ 0, on voit que f′_{u}(F) ⊂ F′. Comme les dimensions de F et F′ sont égales (à n − 1), et que f′_{u} est un automorphisme, alors f′_{u}(F) = F′. Comme f′_{u} préserve l’orthogonalité, l’image de l’orthogonal de F est égale à l’orthogonal de F′, et donc il existe un réel non nul k(u) tel que (5.14) soit vrai. De plus, la fonction u ↦ k(u), de U vers IR \ {0}, est continue. En effet, f(u) n’est jamais nul. Si u_{0} est fixé dans U, il existe un vecteur w dans IR^{n} tel que ⟨w, f(u_{0})⟩ ≠ 0. Comme u ↦ ⟨w, f(u)⟩ est continue, il existe un voisinage U_{0} de u_{0} où elle ne s’annule pas. Et donc

u ↦ k(u) = \frac{⟨w, f′_{u}(u)⟩}{⟨w, f(u)⟩}

est continue dans U_{0}. L’égalité (5.14) est donc complètement montrée.

Soit u_{0} dans U fixé et I =]a, b[ tel que 0 ≤ a < 1 < b ≤ +∞ et tel que tu_{0} soit dans U pour tout t de I. Soit K : I →]0, +∞[ définie par:

K(t) = exp(∫_{1}^{t} k(su_{0})\frac{ds}{s}).  (5.16)

On va maintenant tirer de (5.14) une expression explicite de K. Plus précisément nous allons montrer que K^{2} est une fonction homographique de t^{2}.

Dérivons t ↦ f(tu_{0}) : c’est f′_{tu_{0}}(u_{0}). Or, d’après (5.14)

tf′_{tu_{0}}(u_{0}) = k(tu_{0})f(tu_{0}).

Donc, si a < t < b :

\frac{d}{dt}f(tu_{0}) = \frac{K′(t)}{K(t)}f(tu_{0}).

Donc f(tu_{0}) = K(t)f(u_{0}). Appliquons alors (5.15):

(αt^{2}||u_{0}||^{2} + β)(γ||f(u_{0})||^{2}K^{2}(t) + δ) = 1.

On en tire, sur t ∈ I : K^{2}(t) = \frac{1}{γ||f(u_{0})||^{2}} [\frac{1}{αt^{2}||u_{0}||^{2}+β} − δ] ou

K^{2}(t) = \frac{At^{2} + B}{Ct^{2} + D} ,  (5.17)

avec

C = α||u_{0}||^{2}, D = β, A = \frac{α||u_{0}||^{2}δ}{γ||f(u_{0})||^{2}} , B = \frac{1 − βδ}{γ||f(u_{0})||^{2}} .

Enfin, C ≠ 0 puisque α ≠ 0. Et AD − BC ≠ 0, car alors K^{2} serait constant, alors qu’il est clair que t ↦ \frac{1}{αt^{2}||u_{0}||^{2}+β} ne l’est pas sur I.

Terminons, maintenant: f(tu_{0}) = K(t)f(u_{0}) implique f′_{tu_{0}}(u_{0}) = K′(t)f(u_{0}), et donc p(tu_{0})||u_{0}|| = |K′(t)| ||f(u_{0}||. Or K′ est du signe de k, qui ne s’annule jamais. Donc il existe un nombre E, en fait égal à (signe k)\frac{||u_{0}||}{||f(u_{0}||}, tel que K′(t) = \frac{E}{Ct^{2}+D} . On en tire:

\frac{AD − BC}{Ct^{2} + D} 2t = 2K(t)K′(t) = \frac{2EK(t)}{Ct^{2} + D} ,

et donc

K(t) = \frac{AD − BC}{E} \frac{t}{Ct^{2} + D} , K′(t) = \frac{AD − BC}{E} × \frac{−Ct^{2} + D}{(Ct^{2} + D)^{2}} ,

D’où (AD −BC)(−Ct^{2} +D) = E^{2}(Ct^{2} +D), ce qui entraîne D = 0. Donc K(t) = −B/Et, K^{2}(t) = B^{2}/E^{2}t^{2} = (At^{2} + B)/(Ct^{2} + D), et donc A = 0. Donc β = δ = 0.

VI Le cas du plan euclidien.

On suppose maintenant que l’espace euclidien est de dimension 2. Sans perte de généralité, on peut identifier E à IR^{2} et aux nombres complexes: on choisit une base orthonormale (e_{1}, e_{2}) et on fait correspondre au vecteur xe_{1} + ye_{2} le nombre complexe z = x + iy.

Soit U un ouvert connexe de E. Soit f conforme dans U. On note pour simplifier par (x, y) les éléments de U, et f(x, y) = (X(x, y), Y (x, y)). Alors comme U est connexe, le déterminant de la matrice jacobienne

J(x, y) = [ \begin{matrix}\frac{∂X}{∂x} & \frac{∂X}{∂y} \\ \frac{∂Y}{∂x} & \frac{∂Y}{∂y} \end{matrix} ]

est de signe constant sur U. Supposons que ce soit le signe positif. Par définition des transformations conformes, J(x, y) est proportionnelle à une matrice orthogonale de déterminant 1. C’est dire que

\frac{∂X}{∂x} = \frac{∂Y}{∂y} , \frac{∂X}{∂y} = −\frac{∂Y}{∂x} .

Ces équations sont appelées les équations de Cauchy Riemann. Il est très facile de voir que réciproquement si les équations de Cauchy Riemann sont satisfaites et si J(x, y) ≠ 0 alors f est conforme. Ceci fait de la dimension 2 un cas exceptionnel, puisque les équations de Cauchy Riemann sont linéaires, ce qui entraîne que la somme de deux transformations conformes f et g sur U telles que les jacobiens J_{f}(x, y) et J_{g}(x, y) soient positifs est encore conforme, au moins sur l’ouvert des u = (x, y) ∈ U tels que J_{f}(x, y) + J_{g}(x, y) = J_{f+g}(x, y) ≠ 0.

L’exemple fondamental est alors celui de z^{n}, c’est à dire de

X(x, y) = \frac{1}{2}(x + iy)^{n} + \frac{1}{2}(x − iy)^{n}, Y (x, y) = \frac{1}{2i}(x + iy)^{n} − \frac{1}{2i}(x − iy)^{n}.

Il est facile de voir que les équations de Cauchy Riemann sont satisfaites. De la remarque sur l’additivité, on tire que tout polynôme P donne naissance à la transformation conforme z ↦ P (z) sur l’ouvert U des z tels que P′(z) ≠ 0. Plus généralement, un résultat important de l’analyse classique dit que les équations de Cauchy Riemann sont satisfaites sur U si et seulement si la fonction complexe sur U définie par z ↦ f(z) = X + iY est holomorphe dans U, c’est à dire telle que pour tout z_{0} ∈ U h ↦ f(z_{0} + h) est la somme d’une série entière de rayon de convergence >0.

Si le déterminant de J(x, y) a le signe négatif, c’est alors la fonction z ↦ f(\overline{z}) qui est holomorphe dans U . On dit alors f est antiholomorphe dans U. Les meilleurs exemples sont la symétrie par rapport à l’axe réel z ↦ \overline{z}, et l’inversion de pôle 0 z ↦ 1/\overline{z}.

Les transformations conformes dans U sont donc les fonctions holomorphes ou antiholomorphes dans U dont la différentielle ne s’annule pas dans U. Ceci fournit évidemment une infinité d’exemples de transformations conformes qui ne sont ni des similitudes affines, ni des composées d’une inversion et d’une similitude. En voici deux, simples et importantes: pour α ∈ IR f(r(cos t + i sin t)) = r^{α}(cos αt + i sin αt), pour U = {r(cos t + i sin t); r > 0, |t| < π} et f(z) = exp z pour U = E.

VII Références

B. Doubrovine, S. Novikov, A. Fomenko (1984) Géométrie contemporaine, méthodes et applications, Tome I, Editions MIR, Moscou, Pages 140-144. G. Letac (1986) “Seul le groupe des similitudes-inversions préserve le type de la loi de Cauchy conforme de IR^{n} pour n > 1”. J. Funct. Anal., 68 43-54. R. Nevanlinna (1960) “On differentiable mappings” . Dans Analytic functions, Princeton Math. Series 24, Princeton University Press, Pages 3-6.