L’ellipsoide de John et la distance de Banach Mazur

Gérard Letac

I Introduction.

Nous allons expliquer un résultat à la fois très simple, et en même temps puissant et non trivial. Il a été trouvé indépendamment par Fritz John (dans une question de mécanique) et par Carl Loewner (qui étudiait des fonctions de variables complexes), tous deux dans les années 40. Le cas de la dimension 2 remonte à Behrend dans les années 30. Le résultat dit que pour toute partie bornée A d’un espace euclidien d’intérieur non vide alors il existe un et un seul ellipsoide centré à l’origine de volume minimal et qui contienne A. Nous allons d’abord montrer ce résultat et des résultats voisins, puis nous en donnerons des applications. Le présent exposé est une adaptation des pages 656-659 de "Convexity", Marcel Berger, Amer. Math. Monthly, 1990, vol 97.

II La plus petite boule.

Soit E un espace euclidien, c’est à dire un espace réel de dimension finie muni d’un produit scalaire défini positif. On note par \overline{B}(x, r) la boule fermée de centre x et de rayon r. On se fixe une partie A de E bornée qui l’engendre, pas nécessairement fermée.

Proposition 2.1. Soit A une partie génératrice bornée de l’espace euclidien E. Alors il existe une unique boule fermée \overline{B}(x_{1}, r_{1}) contenant A de plus petit volume.

Démonstration. Si I_{A} = \{r ≥ 0; A ⊂ \overline{B}(0, r)\} alors I_{A} est une demi droite non vide qui est fermée, puisque si r_{n} est une suite de I_{A} qui tend vers la borne inférieure R de I_{A} alors \overline{B}(0, R) = ∩_{n}\overline{B}(0, r_{n}) ⊃ A. Donc I_{A} = [R, ∞[. Ensuite, soit

F_{A} = \{(x, r) ∈ E × [0, ∞[; A ⊂ \overline{B}(0, r)\}.

Alors F_{A} est fermé dans E × IR. En effet si (x_{n}, r_{n}) est une suite de F_{A} qui converge vers (x_{0}, r_{0}) alors pour tout a ∈ A on a ∥a − x_{n}∥ ≤ r_{n} et donc ∥a − x_{0}∥ ≤ r_{0} par continuité de la norme. Ensuite, l’application (x, r) ↦ r de F_{A} dans IR atteint son minimum. En effet, elle est continue (comme restriction d’une forme linéaire à F_{A}), son inf r_{1} ≥ 0 est ≤ R et enfin (\overline{B}(0, R) × [0, R]) ∩ F_{A} est compact, car fermé borné. Le minimum r_{1} est donc atteint sur ce compact en un point (x_{1}, r_{1}). Reste à voir l’unicité : si le minimum est atteint en un autre point (x′_{1}, r_{1}) alors pour tout a de A on a ∥x_{1} − a∥ ≤ r_{1} et ∥x′_{1} − a∥ ≤ r_{1}, donc ∥x_{1} − x′_{1}∥ ≤ 2r_{1} et donc

p^{2} = r_{1}^{2} − \frac{1}{4}∥x_{1} − x′_{1}∥^{2} ≥ 0,

avec 0 ≤ p < r_{1}. Dans ces conditions la boule \overline{B}(\frac{x_{1}+x′_{1}}{2} , p) contient aussi A. Pour le voir, on prend x ∈ \overline{B}(x_{1}, r_{1}) ∩ \overline{B}(x′_{1}, r_{1}), on applique l’égalité du parallèlogramme

∥a + b∥^{2} + ∥a − b∥^{2} = 2∥a∥^{2} + 2∥b∥^{2}

à a = x − x_{1} et b = x − x′_{1}. On obtient

∥x − \frac{x_{1} + x′_{1}}{2} ∥^{2} = \frac{1}{2}∥x − x_{1}∥^{2} + \frac{1}{2}∥x − x′_{1}∥^{2} − \frac{1}{4}∥x_{1} − x′_{1}∥^{2} ≤ p^{2},

ce qui montre que x est dans \overline{B}(\frac{x_{1}+x′_{1}}{2} , p). Comme p < r_{1} si x_{1} ≠ x′_{1}, cela contredirait le fait que r_{1} est le minimum et la proposition est montrée.

III Le volume d’un ellipsoide.

Soit V l’ensemble des endomorphismes symétriques de E et soit V_{+} l’ensemble de ceux qui sont de plus définis positifs. Il est commode de munir V d’une structure d’espace euclidien par le produit scalaire ⟨a, b⟩ = trace (ab). C’est bien un produit scalaire : la bilinéarité est évidente, la symétrie est une propriété connue des traces, et la positivité se montre par exemple en prenant une base orthonormée e de E pour écrire [a]_{e}^{e} = (a_{ij}) et donc ⟨a, a⟩ = ∑_{ij} a_{ij}^{2} ≥ 0.

Si a ∈ V_{+} l’ensemble

E_{a} = {x ∈ E; ⟨x, a(x)⟩ ≤ 1}

s’appelle l’ellipsoide associé à a. Nous allons calculer le volume de E_{a} avec la normalisation suivante : le volume d’un cube unité construit sur une base orthonormale est 1.

Proposition 3.1. Le volume de l’ellipsoide E_{a} est

∫_{E_{a}} dx = \frac{π^{n/2}}{Γ(\frac{n}{2} + 1)} \frac{1}{(det a)^{1/2}}

Démonstration. Le point délicat est le cas où a est l’identité, c’est à dire le volume de la sphère euclidienne de rayon 1. On accepte sans démonstration l’égalité classique

∫_{−∞}^{∞} e^{− \frac{t^{2}}{2}} dt = (2π)^{1/2},

d’où on déduit pour s > 0 :

(2π)^{−n/2} ∫_{−∞}^{∞} … ∫_{−∞}^{∞} e^{− \frac{s}{2} (t_{1}^{2}+···+t_{n}^{2})}dt_{1} … dt_{n} = s^{−n/2}.

Une reformulation est alors, si n = dim E

(2π)^{−n/2} ∫_{E} e^{− \frac{1}{2} s∥x∥^{2}}dx = s^{−n/2}.

D’autre part on sait que

\frac{1}{Γ(n/2)} ∫_{0}^{∞} e^{−su}u^{(n−2)/2}du = s^{−n/2}.

C’est dire que l’image de (2π)^{−n/2}dx par x ↦ u = ∥x∥^{2}/2 est \frac{1}{Γ(n/2)}u^{(n−2)/2}1_{[0,∞[}(u)du car ces deux mesures ont même transformée de Laplace. Si on veut, c’est dire que pour toute fonction f sur [0, ∞[ raisonnable, on a

∫_{E} f(∥x∥^{2}/2)dx = \frac{(2π)^{n/2}}{Γ(n/2)} ∫_{0}^{∞} f(u)u^{(n−2)/2}du.  (3.1)

Appliquons cela à f(u) = 1_{[0,1/2]}(u) ou f(∥x∥^{2}/2) = 1_{B(0,1)}(x). Le membre de gauche de (3.1) devient le volume de la boule unité qui est donc égal à

\frac{(2π)^{n/2}}{Γ(n/2)} ∫_{0}^{1/2} u^{(n−2)/2}du = \frac{2(2π)^{n/2}}{n2^{n/2}Γ(n/2)} = \frac{π^{n/2}}{Γ(\frac{n}{2} + 1)}.

Pour passer au cas de l’ellipsoide général E_{a} on introduit la racine b = \sqrt{a}, c’est à dire l’unique élément de V_{+} tel que a = b^{2}. Alors E_{a} = {x ∈ E; ∥b(x)∥^{2} ≤ 1}. Faisons alors le changement de variable y = b(x), de jacobien det b = (det a)^{1/2}, dans l’intégrale définissant le volume de E_{a} :

∫_{E_{a}} dx = ∫_{E} 1_{E_{a}}(x)dx = \frac{1}{det b} ∫_{E} 1_{B(0,1}(y)dy.

Avec le calcul déjà fait du volume de la boule unité, la proposition est montrée.

IV Le plus petit ellipsoide.

Voici d’abord l’énoncé du théorème de John et Loewner :

Théorème 4.1. Soit A une partie génératrice bornée de l’espace euclidien E. Alors il existe un unique ellipsoide E_{a} contenant A de plus petit volume.

Démonstration. Soit V_{A} = {a ∈ V_{+}; A ⊂ E_{a}}. L’ensemble V_{A} paramètre donc l’ensemble des ellipsoides qui contiennent A. Il est clair que V_{A} est non vide, puisque A est borné. D’après la Proposition 3.1, il nous faut montrer que a ↦ det a est borné sur V_{A} et y atteint son maximum en un point unique.

Etape 1 : Il existe un nombre k > 0 tel que pour tout a ∈ V_{A} on ait \overline{B}(0, k) ⊂ E_{a}. Cela montrera en particulier que a ↦ det a est borné sur V_{A} par 1/k^{2n}.

Pour cela on choisit une base f = (f_{1}, …, f_{n}) de E formée d’éléments de A (c’est possible, puisque A est génératrice de E par hypothèse). On définit alors la norme p sur E par p(x_{1}f_{1} + ⋯ + x_{n}f_{n}) = |x_{1}| + ⋯ + |x_{n}|. Notons que si A ⊂ E_{a} alors −A ⊂ E_{a}. Comme E_{a} est convexe et symétrique alors l’enveloppe convexe de A ∪ (−A) est contenue dans E_{a}. Maintenant, la boule unité suivant p est contenue dans l’enveloppe convexe de A ∪ (−A) et est donc contenue dans E_{a}. En résumé :

p(x) ≤ 1 ⇒ x ∈ E_{a} ∀ a ∈ V_{A}.

Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie garantit l’existence d’un nombre k > 0 tel que pour tout x ∈ E on a ∥x∥ ≥ kp(x). Il est clair maintenant que \overline{B}(0, k) ⊂ E_{a} pour tout a ∈ V_{A}.

Etape 2 : Si k est défini à l’étape 1, alors a ∈ V_{A} alors trace a^{2} ≤ n/k^{4}. En particulier, V_{A} est borné dans V. En effet soit e = (e_{1}, …, e_{n}) une base orthonormale (bon) qui diagonalise a et soit [a]_{e}^{e} = diag(λ_{1}, …, λ_{n}) la matrice représentative de a dans cette base. L’étape 1 implique que x = ke_{i} est dans E_{a}, c’est à dire que 1 ≥ ⟨a(x), x⟩ = λ_{i}k^{2}. Donc trace a^{2} = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}^{2} ≤ n/k^{4}.

Etape 3 : Soit R > 0 tel que A ⊂ \overline{B}(0, R). Alors l’ensemble

K_{R} = \{a ∈ V_{A}; E_{a} ⊂ \overline{B}(0, R)\}

est une partie compacte de V. D’après l’étape 2, K_{R} est borné. Pour voir qu’il est fermé, observons que id_{E}/R^{2} ∈ V_{A}, par définition de R. Soit a dans K_{R} et b = a − id_{E}/R^{2}. Alors b est positif, car pour x de module R , ⟨a(x), x⟩ < 1 entrainerait E_{a} ⊃ \overline{B}(0, R), donc E_{a} = \overline{B}(0, R) ce qui contredit ⟨a(x), x⟩ < 1 pour ∥x∥ = R. Soit alors une suite (a_{n}) d’élements de K_{R} qui converge vers a ∈ V. Alors b_{n} = a_{n} − −id_{E}/R^{2} converge vers b = a − id_{E}/R^{2} qui est donc positif puisque les (b_{n}) le sont (rappelons que le cône des endomorphismes symétriques positifs est fermé). Donc a est défini positif. On a bien E_{a} ⊂ \overline{B}(0, R) car ⟨a(x), x⟩ ≥ ∥x∥^{2}/R^{2} montre que si ⟨a(x), x⟩ ≤ 1 alors ∥x∥^{2}/R^{2} ≤ 1. Finalement a ∈ V_{A} car si x ∈ A alors ⟨a_{n}(x), x⟩ ≤ 1 pour tout n et donc ⟨a(x), x⟩ ≤ 1 par continuité. Donc finalement, K_{R} est fermé et donc compact.

Etape 4 : Soit v_{0} la borne inférieure des volumes C_{n}(det a)^{−1/2} des E_{a} quand a parcourt V_{A}. Si d_{0} = C_{n}^{2}/v_{0}^{2} c’est dire que d_{0} est le sup des det a quand a parcourt V_{A}. Nous montrons qu’il existe un R > 0 assez grand pour que A ⊂ \overline{B}(0, R) et que pour tout a de V_{A} \ K_{R} le volume de E_{a} soit ≥ 2v_{0}, ou encore tel que det a ≤ d_{0}/4.

En effet, sinon pour tout R assez grand il existerait a_{R} ∈ V_{A} tel que a_{R} ne soit pas dans K_{R} (et donc tel que b = a_{R} − \frac{1}{R^{2}} id_{E} ne soit pas soit positif, et donc tel que la plus petite valeur propre de a_{R} soit ≤ 1/R^{2}) et en même temps det a_{R} > d_{0}/4. Pourtant, on a vu à l’étape 2 que trace a_{R}^{2} ≤ n/k^{4}, ce qui entraine que toutes les valeurs propres de a_{R} sont ≤ \sqrt{n}/k^{2}, et donc que le déterminant de a_{R} est inférieur ou égal à

\frac{1}{R^{2}} \frac{n^{(n−1)/2}}{k^{2(n−1)}} .

Cela ne peut donc être ≥ d_{0}/4 pour un R arbitrairement grand : d’où la contradiction. L’étape 4 est donc montrée.

Etape 5 : Le minimum des volumes des E_{a} quand a parcourt V_{A} est atteint. D’après la Proposition 3.4 c’est équivalent à dire que le maximum de a ↦ det a quand a parcourt V_{A} est atteint. En effet, prenons R comme à l’étape 4. La fonction a ↦ det a est continue (car polynomiale) sur le compact K_{R} et y atteint son maximum. Le choix de R montre que c’est aussi le maximum sur V_{A}.

Etape 6 : Le minimum de l’étape 5 est atteint en un seul point. Pour cela, nous montrons que sur le cône V_{+} des matrices symétriques définies positives alors la fonction a ↦ − log det a est strictement convexe. Cela peut se voir de plusieurs manières. La première consiste à calculer les différentielles première et seconde de la fonction sur V_{+} définie par a ↦ − log det a. C’est un exercice classique que de montrer que sa différentielle en a ∈ V_{+} est la forme linéaire sur V qui à h ∈ V fait correspondre −trace (a^{−1}h). Pour la différentielle seconde, il faut savoir que la différentielle de a ↦ a^{−1} est k ↦ −a^{−1}ka^{−1} et donc la différentielle seconde de a ↦ − log det a est la forme bilinéaire symétrique sur V définie par

(h, k) ↦ trace a^{−1}ka^{−1}h.

Cette forme bilinéaire sur V est définie positive, car elle peut s’écrire trace a^{−1/2}ka^{−1}ha^{−1/2} qui est égale à trace ((a^{−1/2}ha^{−1/2})^{2}) ≥ 0 si h = k et ne peut être nulle que si h = 0. Une manière plus élémentaire de voir cette stricte convexité est de vérifier que pour a ≠ b dans V_{+} et pour 0 < λ < 1 on a

det(λa + (1 − λ)b) > (det a)^{λ}(det b)^{1−λ}.

On le montre d’abord quand b = id_{E} en choisissant une bon de diagonalisation de a. On se ramène ensuite à ce cas pour un b général dans V_{+} en factorisant b^{−1/2} de chaque côté de λa + (1 − λ)b.

Remarquons maintenant que V_{A} est une partie convexe de V_{+}. L’étape 6 se termine en remarquant que si une fonction f de classe C^{2} strictement convexe définie sur un convexe atteint son minimum et un point a_{0} , alors ce minimum est atteint en un seul point : il suffit de supposer qu’il y a un autre point a_{1} de minimum et d’examiner la fonction strictement convexe sur [0, 1] définie par λ ↦ f(λa_{0} + (1 − λ)a_{1}) pour arriver à une contradiction.

A la manière de la section 2, on pourrait raffiner le résultat de John et Loewner en montrant que si A est une partie bornée de l’espace euclidien non contenue dans un hyperplan affine, alors il existe un ellipsoide translaté t + E_{a} contenant A, de volume minimal et unique. Toutefois, le Théorème 4.1 a déjà assez d’applications intéressantes. Nous allons en décrire deux.

V Ellipsoides et symétries obliques.

Proposition 5.1. Soit a dans V_{+}, soit l’ellipsoide E_{a} et soit δ un vecteur non nul de l’espace euclidien E. Alors il existe un sous espace vectoriel unique H_{δ} de E supplémentaire de IRδ telle que la symétrie oblique par rapport à H_{δ} et parallèlement à IRδ conserve E_{a}.

Démonstration. Il suffit de prendre H_{δ} égal à l’orthogonal de a(δ). En effet, avec un tel choix, écrivons x = λδ + y avec λ réel et 0 = ⟨a(δ), y⟩ = ⟨δ, a(y)⟩. La symétrie oblique est alors x = λδ + y ↦ λδ − y. Or

⟨a(x), x⟩ = λ^{2}⟨a(δ), δ⟩ + 2λ⟨a(δ), y⟩ + ⟨a(y), y⟩ = λ^{2}⟨a(δ), δ⟩ + ⟨a(y), y⟩,

ce qui montre l’invariance de E_{a} par la symétrie oblique. L’unicité est évidente, puisque on doit avoir ⟨a(δ), y⟩ = 0 pour tout y ∈ H_{δ}.

Les ellipsoides sont ils les seuls convexes compacts A de l’espace euclidien à avoir cette propriété pour tout δ? La réponse est oui, ce n’est pas commode pour n = 2 et pour n = 3 elle a été donnée il y a 150 ans par Bertrand et Brunn. Mais avec l’ellipsoide de John, c’est très facile :

Théorème 5.2. Soit A une partie génératrice convexe compacte de l’espace euclidien telle que pour tout δ vecteur non nul de l’espace euclidien il existe un sous espace vectoriel H_{δ} de E supplémentaire de IRδ telle que la symétrie oblique s_{δ} par rapport à H_{δ} et parallèlement à IRδ conserve A. Alors A est un ellipsoide.

Démonstration. Soit E_{a} l’ellipsoide de John associé à A. Alors s_{δ}(E_{a}) est un ellipsoide E_{s_{δ}^{∗}as_{δ}} qui contient A. De plus son volume est égal à celui de E_{a}, car (det s_{δ})^{2} = 1. Donc il coincide avec E_{a}, à cause de l’unicité de l’ellipsoide de John. A cause de l’unicité de la symétrie oblique de la Proposition 5.1, H_{δ} = a(δ)^{⊥}. A ce point, en prenant sur E la nouvelle structure euclidienne définie par le nouveau produit scalaire (x, y) ↦ ⟨a(x), y⟩, on peut sans perte de généralité supposer que E_{a} est la boule unité de l’espace euclidien E et que A est un convexe compact invariant par toutes les symétries orthogonales (et admettant donc la boule unité pour ellipsoide de John). Or les symétries orthogonales engendrent le groupe orthogonal O(E). De plus A contient au moins un point de la sphère unité (car il est compact et donc x ↦ ∥x∥ atteint son maximum sur A. Comme le groupe orthogonal agit transitivement sur la sphère, A contient la sphère unité. Comme A est convexe, il est égal à la boule unité et le théorème est montré.

VI Distance de Banach Mazur

Montrons d’abord le résultat suivant, qui concerne un ellipsoide maximal et non minimal :

Proposition 6.1. Soit A un convexe compact symétrique d’intérieur non vide de l’espace euclidien. Alors il existe un ellipsoide E_{a} contenu dans A qui est de volume maximal et qui est unique.

Démonstration. On se ramène au Théorème 4.1 par la transformation dite de dualité entre convexes de l’espace euclidien E suivante : à tout vecteur δ non nul de E on fait correspondre l’hyperplan affine H(δ) d’équation ⟨x, δ⟩ = 1. C’est une bijection entre E\{0} et l’ensemble H des hyperplans affines ne passant pas par l’origine. Si H ∈ H on lui fait correspondre le demi espace fermé D_{H} limité par H et contenant 0. Si A est un convexe compact de E contenant O dans son intérieur, soit H_{A} l’ensemble des H ∈ H tels que A ⊂ H. Alors l’ensemble A^{∗} = {δ; H(δ) ∈ H_{A}} ∪ {0} est aussi un convexe compact ayant O dans son intérieur, qui est appelé le convexe dual de A. Par exemple si e = (e_{1}, …, e_{n}) est une bon, le dual du cube de sommets ±e_{1} ± … ± e_{n} est un octaèdre cad le polyèdre de sommets ±e_{i}, i = 1, …, n. De même le dual de l’ellipsoide E_{a} est l’ellipsoide E_{a^{−1}}. De facon générale on a toujours que A ⊂ B entraine B^{∗} ⊂ A^{∗} et que A^{∗∗} = A. Il est clair alors que la présent proposition est le corollaire du Théorème 4.1 appliqué à A^{∗}.

Voici maintenant l’application de Fritz John avait en tête :

Théorème 6.2. Soit A un convexe compact symétrique de l’espace euclidien de dimension n. Alors il existe un ellipsoide E_{a} tel que

E_{a} ⊂ A ⊂ \sqrt{n}E_{a}.

Démonstration. Prenons pour E_{a} l’ellipsoide de volume maximal contenu dans A dont l’existence est garantie par la Proposition 6.1. Sans perte de généralité, on change la structure euclidienne de E pour que E_{a} soit la boule unité. Pour montrer le théorème il faut donc montrer que tout x de A est de norme ≤ \sqrt{n}. Si c’est faux, il existe x_{0} = λ_{0}e_{1} ∈ A tel que λ_{0} = ∥x_{0}∥ > \sqrt{n} (le vecteur e_{1} est de norme 1). Comme A est symétrique, −x_{0} est aussi dans A. Notons par C l’enveloppe convexe de la boule unité union {x_{0}, −x_{0}}. Par hypothèse, C est contenu dans A. Soit e = (e_{1}, …, e_{n}) une bon. Nous allons construire un ellipsoide E_{a,b} qui s’exprime dans la bon e par l’inéquation

ax_{1}^{2} + b(x_{2}^{2} + … + x_{n}^{2}) ≤ 1  (6.2)

(où a et b sont des nombres > 0) qui est contenu dans C et dont le volume est plus grand que le volume de la boule unité, c’est à dire tel que ab^{n−1} < 1. Cela donnera évidemment une contradiction. Pour simplifier, nous notons cos θ = 1/λ_{0} < 1/\sqrt{n}. Soit un hyperplan P_{u} passant par x_{0} et tangent en u à la sphère unité. Il a pour équation ⟨x, u⟩ = 1 et le fait qu’il passe par x_{0} entraine que u est soumis à la condition ⟨e_{1}, u⟩ = cos θ. Nous passons sur le fait que l’ellipsoide E_{a,b} défini par (6.2) est tangent à P_{u} si et seulement si

a sin^{2} θ + b cos^{2} θ = ab  (6.3)

et que E_{a,b} est contenu dans C si (6.3) est satisfait et b > 1. Dans ces conditions, en éliminant a, on a ab^{n−1} < 1 si et seulement si

f(b) = b − b^{n} cos^{2} θ − sin^{2} θ > 0.

L’étude de la fonction f sur [1, ∞[ montre que f(1) = 0 et que f′(1) = 1 − n cos^{2} θ > 0. Il existe donc un b > 1 tel que f(b) > 0 et il existe donc un ellipsoide contenu dans A de volume plus grand que celui de la boule unité : le théorème est montré.

Le résultat délicat que nous venons d’établir s’applique alors à ce qu’on appelle la distance de Banach Mazur que nous allons définir entre deux espaces normés réels E et F de même dimension finie n. Si p et q sont les normes respectives de E et de F, et si T appartient à l’espace L(E, F) des applications linéaires de E vers F la norme de T est définie par

∥T ∥ = max_{x∈E\\{0\}} \frac{q(T (x))}{p(x)}.

Si T appartient à l’ensemble B(E, F) des bijections linéaires de E vers F alors le nombre

f(T) = log ∥T ∥∥T^{−1}∥

est bien défini. Il est ≥ 0, car id_{E} = T^{−1} ∘ T et donc 1 = ∥id_{E}∥ ≤ ∥T^{−1}∥∥T ∥. Si T appartient à l’ensemble I(E, F) des isométries linéaires de E vers F (c’est à dire que T est tel que p(x) = q(T (x)) pour tout x ∈ E), alors ∥T ∥ = ∥T^{−1}∥ = 1 et f(T) = 0.

On introduit alors la distance de Banach Mazur entre E et F par

d(E, F) = inf{f(T); T ∈ B(E, F)}.

Le théorème suivant rassemble alors ses principales propriétés :

Théorème 6.3. Soit E_{n} la famille des espaces réels normés de dimension n et E, F, G, E_{1}, F_{1} des éléments de E_{n}. Alors

1. On a d(E, F) ≥ 0, avec égalité si et seulement si I(E, F) ≠ ∅.

2. Si I(E, E_{1}) ≠ ∅ et I(F, F_{1}) ≠ ∅ alors d(E, F) = d(E_{1}, F_{1}).

3. d(E, G) ≤ d(E, F) + d(F, G).

4. Si E est euclidien alors d(E, F) ≤ \frac{1}{2} log n et l’égalité est réalisée si et seulement si F est isométrique à IR^{n} muni de la norme max_{i} |x_{i}|.

5. Si E ∼ F est la relation d’équivalence sur E_{n} définie par I(E, F) ≠ ∅ alors d définit une distance sur l’ensemble quotient E_{n}/ ∼ et en fait un espace métrique compact.

Démonstration. Pour le 1) il suffit de montrer le "seulement si." Supposons donc d(E, F) = 0. Il existe donc une suite T_{N} ∈ B(E, F) telle que lim_{N} f(T_{N}) = 0. Prenant

λ_{N} = ∥T_{N}^{−1}∥^{1/2}∥T_{N}∥^{−1/2}

alors a_{N} = ∥λ_{N}T_{N}∥ ≥ 1 et b_{N} = ∥λ_{N}^{−1}T_{N}^{−1}∥ ≥ 1. Donc comme le produit a_{N}b_{N} tend vers 1 on a lim a_{N} = lim b_{N} = 1. Prenons alors des bases quelconques e et f de E et de F et notons par A_{N} = (a_{ij}^{N}) et B_{N} = (b_{ji}^{N}) les matrices représentatives de λ_{N}T_{N} et de λ_{N}^{−1}T_{N}^{−1} dans ces bases. Si p et q sont les normes dans E et F alors

|a_{ij}^{N}| ≤ a_{N} \frac{p(e_{i})}{q(f_{j})}, |b_{ji}^{N}| ≤ b_{N} \frac{q(f_{j})}{p(e_{i}}.

Donc les A_{N} = (a_{ij}^{N}) et B_{N} = (b_{ji}^{N}) sont des suites bornées, dont on extrait des sous suites convergentes de limites A et B avec AB = I_{n}. La matrice A est représentative d’un T ∈ B(E, F) qui satisfait ∥T ∥ = 1 et ∥T^{−1}∥ = 1 et est donc une isométrie.

Pour le 2), si A ∈ I(E, E_{1}) et B ∈ I(F, F_{1}) alors T ↦ BT A^{−1} est une isométrie de L(E, F) sur L(E_{1}, F_{1}) et le résultat s’ensuit. Le 3) est évident. Le 4) est la conséquence du Théorème 6.2 appliqué à A boule unité de F. Nous ne démontrerons pas la partie 5), qui est de routine, à part le fait que d(E, F) ≤ log n pour tous E et F, grâce aux 3) et 4).

Remarques. Cette distance de Banach Mazur est en pratique une distance entre les différentes formes possibles des boules unité des espaces normés, en convenant de dire que deux convexes compacts A ⊂ E et B ⊂ F symétriques ayant un intérieur non vide ont la même forme si T (A) = B pour quelque T ∈ B(E, F). Rappelons que tous les ellipsoides ont donc la même forme, celle de la boule euclidienne ; que tous les parallèlépipèdes ont la même forme, celle du cube. C’est donc le cube qui est le plus loin de la boule, à une distance donc égale à ≤ \frac{1}{2} log n. Mais ce n’est pas la boule qui est le plus loin du cube...Szarek a montré en 1987 qu’il existe des convexes symétriques situés à une distance du cube ≥ \frac{1}{2} log n + log log n. On ne connait pas ceux qui maximisent.