Introduction aux modèles graphiques Version de travail

Gérard Letac ^{1}, Hélène Massam^{2}

1Laboratoire de Statistique et Probabilités, Université Paul Sabatier, Toulouse. 2Department of Mathematics and Statistics, York University, Toronto

1 Le paradoxe de Simpson.

Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur un même espace, il est traditionnel de noter X ⊥ Y l’affirmation qu’elles sont indépendantes. Cette notation n’est pas parfaite, car inadaptée aux cas de trois variables ou plus, mais elle est commode ici.

Le paradoxe de Simpson est illustré par une université qui a 48 milliers d’étudiants, répartis en 24 milliers de garcons et 24 milliers de filles, et pour simplifier, répartis en 3 facultés : Lettres, Droit, Science, de 16 milliers d’étudiants chacun. Il y a eu de violentes manifestations, car aux examens de fin d’année, il y a eu 10 milliers de filles recues, 14 milliers de filles collées, alors que chez les garcons il y avait 14 milliers de recus et 10 milliers de collés. Autrement dit, moins de 42% de recues, et plus de 58% de recus. Mais le président de l’université, un statisticien, a su désamorcer la crise en regardant la réalité de plus près dans les trois facultés. En lettres, droit et sciences les tableaux recus collés - garcons filles, en milliers, sont les suivants :

Lettres Recus Colles
Filles 3 9
Garcons 1  3
Droit Recus Colles
Filles 4 4
Garcons 4  4
Sciences Recus Colles
Filles 3 1
Garcons 9  3

Si ces chiffres sont traduits en pourcentages, l’ensemble des étudiants est un espace de probabilité muni de la loi uniforme. Soit X, Y et Z des variables aléatoires qualitatives qui mesurent le résultat de l’examen (pour X= recu ou collé), le genre (pour Y = masculin ou féminin) et la faculté (pour Z= lettres, droit ou sciences), alors on observe que si on conditionne par Z alors on a (X ⊥ Y)|Z. Le résultat initial s’explique alors par le fait que les filles ont choisi en majorité des disciplines où le nombre de recus est moins grand.

L’analyse d’une situation statistique doit donc prendre en compte ces phénomènes d’indépendance conditionnelle, soit pour les tester, soit pour les utiliser dans les problèmes d’estimation. Ils sont d’une grande généralité, et le but du cours est de les étudier dans des conditions sensiblement plus simples, à savoir

– Le cas gaussien, dit modèle continu.

– Le cas des tables de contingence, dit modèle discret. Dans ces cas simples, l’information disponible va être schématisée par un graphe (V, E) non orienté ordinaire dans le cas continu et le cas discret, et en deux couleurs dans le cas mixte. Toutefois, les problèmes d’estimation et de test mentionnés ci dessus ne connaîtront de solution explicite que si le graphe satisfait à une surprenante condition, celle d’être triangulé : jamais de cycle d’ordre > 3 sans qu’il soit possible de le court circuiter par une corde. Cette condition avait déjà été rencontrée en analyse numérique dans les années 60 dans la méthode du pivot et a été redécouverte 20 ans plus tard en statistique. Ces graphes portent aussi d’autres noms dans la littérature (plus une chose a d’utilisateurs en mathématiques, plus elle a de noms) : ils sont appelés graphes cordaux, on comprend pourquoi, et aussi décomposables, pour de très bonnes raisons qu’on verra apparaître quand il faudra faire des calculs.

Finalement, les modèles utilisés sont des familles exponentielles, ce qui permet d’utiliser une méthode classique pour l’estimation, celle du maximum de vraisemblance. Cette méthode fournit une équation naturelle pour l’estimateur. Dans le cas des modèles graphiques, elle ne sera justement résoluble que si le graphe est triangulé.

Le plan de notre travail est donc d’abord la présentation des modèles graphiques gaussiens aussi dits continus, puis celle des modèles discrets. Ensuite : liquidation d’analphabétisme en ce qui concerne les familles exponentielles. Ensuite, des résultats pas commodes à trouver dans la littérature sur les graphes triangulés. Ensuite, application des outils précédents à l’estimation.

2 Modèles graphiques gaussiens

Pour définir ceux ci, nous faisons quelques rappels. Le premier concerne l’algèbre linéaire. On note par B^{T} la transposée de la matrice B.

Proposition 2.1 : Soit la matrice par blocs [ \begin{matrix}x_{1} & x_{12} \\ x_{21} & x_{2} \end{matrix} ] . On suppose que x_{1}

et x_{2} sont carrées et que x_{1}^{−1} existe. Alors

[ \begin{matrix}x_{1} & x_{12} \\ x_{21} & x_{2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}I_{1} & 0 \\ x_{21}x_{1}^{−1} & I_{2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} & 0 \\ 0 & x_{2} − x_{21}x_{1}^{−1}x_{12} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}I_{1} & x_{1}^{−1}x_{12} \\ 0 & I_{2} \end{matrix} ] (2.1)

En particulier

det [ \begin{matrix}x_{1} & x_{12} \\ x_{21} & x_{2} \end{matrix} ] = det x_{1} det(x_{2} − x_{21}x_{1}^{−1}x_{12}),  (2.2)

Si de plus x_{2} et la matrice initiale sont inversibles alors

[ \begin{matrix}x_{1} & x_{12} \\ x_{21} & x_{2} \end{matrix} ]^{−1} = [ \begin{matrix}(x_{1} − x_{12}x_{2}^{−1}x_{21})^{−1} & X \\ X^{T} & (x_{2} − x_{21}x_{1}^{−1}x_{12})^{−1} \end{matrix} ] ,  (2.3)

où X = −x_{1}^{−1}x_{12}(x_{2} − x_{21}x_{1}^{−1}x_{12})^{−1} = (x_{1} − x_{12}x_{2}^{−1}x_{21})^{−1}x_{12}x_{2}^{−1}.

Démonstration : 2.1 est une vérification. En prenant le déterminant des deux membres de 2.1 et en utilisant le théorème sur le déterminant d’une matrice triangulaire par blocs, on a 2.2. En prenant l’inverse de 2.1 on a

[ \begin{matrix}x_{1} & x_{12} \\ x_{21} & x_{2} \end{matrix} ]^{−1} = [ \begin{matrix}I_{1} & −x_{1}^{−1}x_{12} \\ 0 & I_{2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1}^{−1} & 0 \\ 0 & (x_{2} − x_{21}x_{1}^{−1}x_{12})^{−1} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}I_{1} & 0 \\ −x_{21}x_{1}^{−1} & I_{2} \end{matrix} ]

qui fournit en effectuant le bloc (2, 2) égal à (x_{2} − x_{21}x_{1}^{−1}x_{12})^{−1} qui était annoncé. Pour le bloc (1,1), il est inutile de refaire les calculs, on raisonne par symétrie.

Voici ensuite un point de vocabulaire sur les v.a. gaussiennes. Si (X_{1}, …, X_{n})^{T} est une variable gaussienne de moyenne m ∈ IR^{n} et de matrice de covariance Σ supposée inversible, alors la matrice W = Σ^{−1} est appelée la matrice de précision. C’est un terme commode, et cette matrice intervient plus souvent ici que la matrice de covariance.

Proposition 2.2 : Soit (X, Y) une variable gaussienne de IR^{p+q} de moyenne (x_{0}, y_{0}), de covariance inversible

Σ = [ \begin{matrix}α & β \\ β^{T} & γ \end{matrix} ]  (2.4)

et de matrice de précision

W = [ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ] .  (2.5)

Alors 1. Il y a équivalence entre X ⊥ Y, β = 0 et B = 0.

2. X est normale de moyenne x_{0} de covariance α et de matrice de précision A − BC^{−1}B^{T} .

3. La loi de Y conditionnée par X est gaussienne de moyenne y_{0}+C^{−1}B^{T} (X− x_{0}), de matrice de précision C et de covariance γ − β^{T} α^{−1}β.

La prochaine proposition est cruciale et est à rapprocher de la précédente.

Proposition 2.3 : Soit (X_{1}, X_{2}, X_{3}) une variable gaussienne de IR^{p+q+r} de matrice de précision

W = [ \begin{matrix}W_{11} & W_{12} & W_{13} \\ W_{21} & W_{22} & W_{23} \\ W_{31} & W_{32} & W_{33} \end{matrix} ] .  (2.6)

Alors (X_{1} ⊥ X_{3})|X_{2} si et seulement si W_{13} = 0. Si la matrice de précision W et la covariance Σ de (X_{1}, X_{2}, X_{3}) sont écrites par blocs avec les notations 2.4 et (2.5, où A et α sont carrées de taille p, alors (X_{1} ⊥ X_{3})|X_{2} si et seulement si la matrice γ − β^{T} αβ est diagonale par blocs associés à la décomposition (p, r) de p + r. En particulier, dans ces conditions, si p_{1,2,3} est la densité de (X_{1}, X_{2}, X_{3}), p_{1,2} est la densité de (X_{1}, X_{2}), p_{2,3} est la densité de (X_{2}, X_{3}), et p_{2} est la densité de X_{2} on a

p_{1,2,3}(x_{1}, x_{2}, x_{3})p_{2}(x_{2}) = p_{1,2}(x_{1}, x_{2})p_{2,3}(x_{2}, x_{3}).  (2.7)

Rappelons qu’un graphe (non orienté) est la donnée d’un ensemble fini V dont les points sont appelés sommets (V pour vertex ou vertices) et une partie E de la famille des sous ensembles de taille 2 de V. Les éléments de A sont appelés arêtes (E pour edges). Insistons sur les faits suivants, entraînés par cette définition : les arêtes ne sont pas orientées, il n’a entre deux sommets qu’au plus une seule arête (pas d’arêtes dites multiples), il n’y a pas d’arête qui va d’un sommet à lui même : pas de boucle). Si toutes les arêtes possibles sont présentes, on dit que le graphe est complet.

Nous sommes alors en position de décrire un modèle graphique gaussien. Donnons nous un graphe (V, E) tel que V = {1, 2, …, n}. Le modèle graphique gaussien gouverné par ce graphe est l’ensemble des lois normales de IR^{n} de moyenne inconnue m, non singulières, et dont la matrice de précision W = (W_{ij}) est telle que que W_{ij=0} si i ≠ j et si {i, j} n’est pas dans A. Si le graphe est complet, le modèle est dit saturé.

Ce modèles ont été introduits en 1972 par H. Dempster. Ils sont aussi appelés dans la littérature anglo saxonne covariance selection models, nom ce que nous trouvons remarquablement peu informatif. Comme le mot modèle graphique est également à toutes les sauces, l’idéal serait des les appeler modèles de Dempster. Nous avons toutefois suivi le choix d’Edwards (1995) en parlant de modèles graphiques gaussiens.

Compte tenu de la Proposition 2.3, la définition ci dessus est équivalente à la seule contrainte suivante sur la loi gaussienne de (X_{1}, …, X_{n}) : Si i et j ne sont pas liés par une arête du graphe (V, E), alors X_{i} et X_{j} conditionnées par le reste des variables aléatoires de (X_{1}, …, X_{n}) sont indépendantes. Si le modèle est saturé, il n’y a naturellement pas de contraintes du tout, et l’estimation de la covariance par maximum de vraisemblance se fait par une méthode standard qu’on rappelera au chapitre des familles exponentielles.

L’intérêt particulier de ce modèle tient au fait que la contrainte sur la matrice de précision W est linéaire. Toutefois, comme déjà dit et comme on le verra à la section 13, l’estimation explicite par maximum de vraisemblance ne sera possible que si le graphe est triangulé.

Insistons sur le fait que ces modèles graphiques gaussiens ne rendent pas compte de tous les modèles gaussiens qui comprendraient des contraintes d’indépendance conditionnelle. Par exemple dans le cas n = 5 on peut imaginer les contraintes (X_{i} ⊥ X_{i+1})|(X_{i+2}, X_{i+3}) avec i = 1, 2, 3, 4, 5 et en prenant les indices modulo 5. Cela ne se traduit pas par une prescription des zéros de la matrice de précision de (X_{1}, …, X_{5}) mais par une prescription des zéros des 5 matrices de précision des (X_{i}, X_{i+1}, X_{i+2}, X_{i+3}). Le problème de l’estimation explicite de la matrice de covariance ou mieux, de la matrice de précision W, par maximum de vraisemblance devient impossible. En particulier, la contrainte sur W n’est plus linéaire.

Exercice 2.1. Soit la matrice symétrique définie positive [ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ] où A et C

sont carrées, et soit A_{1} une matrice définie positive de même dimension que A. Montrer que

S = [ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ]^{−1} + [ \begin{matrix}A_{1}^{−1} − A^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]

est définie positive et que S^{−1} = [ \begin{matrix}A_{1} & B_{1} \\ B_{1}^{T} & C_{1} \end{matrix} ] pour des B_{1} et C_{1} convenables.

Méthode : appliquer la formule 2.1).

Exercice 2.2. Soit la matrice symétrique définie positive S = [ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ] où A

et C sont carrées, et soit S^{−1} = [ \begin{matrix}A_{1} & B_{1} \\ B_{1}^{T} & C_{1} \end{matrix} ] . Montrer que A_{1} − A^{−1} est positive

Méthode : appliquer la formule 2.3) pour montrer que A − A_{1}^{−1} est positive.

Exercice 2.3. Soit la matrice définie positive

W = [ \begin{matrix}W_{11} & W_{12} & W_{13} \\ W_{21} & W_{22} & 0 \\ W_{31} & 0 & W_{33} \end{matrix} ] ,

et soit Σ son inverse :

Σ = [ \begin{matrix}Σ_{11} & Σ_{12} & Σ_{13} \\ Σ_{21} & Σ_{22} & Σ_{23} \\ Σ_{31} & Σ_{32} & Σ_{33} \end{matrix} ] .

Montrer que

det Σ det Σ_{11} = det [ \begin{matrix}Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix} ] det [ \begin{matrix}Σ_{11} & Σ_{13} \\ Σ_{31} & Σ_{22} \end{matrix} ] .

Méthode : faire x = 1 = x_{2} = x_{3} = 0 dans 2.7). Source : Speed et Kiiveri (1986). La Proposition 9.7 contient une importante généralisation.

3 Modèles hiérarchiques et graphiques discrets

Si A est un ensemble fini quelconque et si (p_{a})_{a∈A} est une probabilité sur A, soit (e_{a})_{a∈A} la base canonique de IR^{A} et soit (X_{n})_{n≥1} une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans IR^{A} et de loi définie par Pr(X_{n} = e_{a}) = p_{a}. Alors la variable aléatoire S_{N} = X_{1} + ⋯ + X_{N} de IR^{A} suit la loi multinomiale :

Pr(S_{N} = (s_{a})_{a∈A}) = \frac{N!}{∏_{a∈A} s_{a}!} ∏_{a∈A} p_{a}^{s_{a}}

si (s_{a})_{a∈A} ∈ N^{A} et ∑_{a∈A} s_{a} = N, avec Pr(S_{N} = (s_{a})_{a∈A}) = 0 dans les autres cas (N est l’ensemble des entiers ≥ 0). La loi des grands nombres garantit que S_{N}/N tend vers (p_{a})_{a∈A}. Si maintenant (p_{a})_{a∈A} est inconnu, S_{N}/N est le candidat idéal pour un estimateur de (p_{a})_{a∈A} (plus sur ce sujet au chapitre des famillles exponentielles). D’où l’idée naturelle en statistique d’observer S_{N}.

Supposons maintenant que A soit le produit A_{1} × ⋯ × A_{Δ} = ×_{v∈V} A_{v} de Δ ensembles finis (on note V = {1, …, Δ} par commodité ici). Un élément f = (f_{a})_{a∈A} de IR^{A} (comme par exemple (p_{a})_{a∈A} ) devient alors une fonction de Δ variables discrètes, plutôt noté

f_{a} = f(a_{1}, …, a_{Δ}) = f((a_{v})_{v∈V}).

Dans l’exemple de l’université de la section 1, on a V = (Résultat, Genre, Faculté)=(1, 2, 3) et donc Δ = 3, avec A_{1} =(recu, collé), A_{2} =(fille, garcon), A_{2} =(lettres, droit, sciences).

Dans ce cas, un élément particulier f de IR^{A} s’écrit non plus comme une ligne ou une colonne de nombres, mais comme un “tableau”. Les guillemets sont pour indiquer que ce n’est véritablement un tableau que si Δ = 2. Si Δ = 3, ce serait un tableau en trois dimensions, ce qui n’est guère commode, à moins qu’on ne le représente par des coupes à deux dimensions comme on le voit avec les trois tables de la page 1.

Même dans ce cadre plus spécialisé, on a la possibilité théorique de procéder à l’estimation de la probabilité inconnue p(a_{1}, …, a_{n}) à l’aide de S_{n}. Cet S_{n} se présente sous forme de tableau et est appelé un tableau de contingence.

Ceci dit, le nombre de paramètres p(a_{1}, …, a_{n}) à estimer à l’aide d’un tableau de contingence peut être d’une ampleur décourageante (soit |A_{1}| × ⋯ × |A_{Δ}| − 1) et trop grande par rapport aux nombres n d’observations dont on dispose. En faisant certaines hypothèses raisonnables, on peut diminuer considérablement le nombre de paramètres inconnus. Le plus simple des exemples est celui où Δ = 2 et où on suppose que la variable aléatoire (a_{1}, a_{2}) de loi (p(a_{1}, a_{2})) est formée de deux variables aléatoires indépendantes. Autrement dit, on postule que f(a_{1}, a_{2}) = log p(a_{1}, a_{2}) est la somme d’une fonction de a_{1} seul et d’une fonction de a_{2} seul. Il n’y a en fait plus que |A_{1}| − 1 + |A_{2}| − 1 paramètres à estimer.

Les modèles hiérarchiques discrets est une extension de cette idée à un Δ quelconque. Soit {V_{1}, …, V_{k}} une famille de parties de V. Pour de bonnes raisons statistiques, on peut postuler que f(a_{1}, a_{2}, …, a_{N}) = log p(a_{1}, a_{2}, …, a_{Δ}) est une somme de k fonctions g_{j}, où g_{j} est une fonction ne dépendant que des variables a_{v} telles que v ∈ V_{j}, ou encore : g_{j} est une fonction définie sur le produit cartésien ×_{i∈V_{j}}A_{i}. Dans l’exemple précédent on avait Δ = k = 2, V_{1} = {1} et V_{2} = {2}.

Trivialement si un V_{j} est contenu dans un V_{j′} la contrainte apportée par V_{j} est inexistante. Pour cette raison nous dirons qu’une famille de parties {V_{1}, …, V_{k}} de V est une famille de Sperner si j ≠ j′ implique que V_{j} ⊂ V_{j′} est impossible (Sperner faisait de la topologie combinatoire, et le lien entre cette discipline et les modèles graphiques est un sujet d’étude contemporain). Lauritzen, Speed et Vijayan (1984) disent hypergraphe ou encore classe génératrice. Notez qu’en général, les V_{j} ne sont pas disjoints. Voici alors une définition importante :

Soit A = A_{1}×⋯×A_{N} = ×_{v∈V} A_{v} le produit de Δ ensembles finis avec V = {1, …, Δ} et soit une famille de parties {V_{1}, …, V_{k}} de V qui soit de Sperner. On appelle modèle hiérarchique discret engendré par {V_{1}, …, V_{k}} l’ensemble des probabilités (p_{a})_{a∈A} telles que p_{a} > 0 pour tout a ∈ A et telles que

log p_{a} = ∑_{j=1}^{k} g_{j}(a)  (3.8)

où la fonction a ↦ g_{j}(a) ne dépend que des variables a_{v} telles que v ∈ V_{j}. Si la famille de Sperner est réduite à {V }, le modèle graphique discret est dit saturé.

Ouvrons une parenthèse sur l’unicité de la représentation d’une fonction f de IR^{A} sous la forme ∑_{j=1}^{k} g_{j}(a) où les g_{j} sont comme ci dessus. Même dans le cas simple f(a_{1}, a_{2}) = g_{1}(a_{1}) + g_{2}(a_{2}) il n’y a pas unicité, puisque si c est un réel quelconque alors g_{1}^{∗}(a_{1}) = g_{1}(a_{1}) + c et g_{2}^{∗}(a_{2}) − c sont des fonctions de a_{1} seul et de a_{2} seul telles que f = g_{1}^{∗} + g_{2}^{∗}. Ce point est clarifié par la proposition suivante.

Proposition 3.1 Soit A = A_{1}×⋯×A_{Δ} = ×_{v∈V} A_{v} le produit de Δ ensembles finis avec V = {1, …, Δ}. L’espace IR^{A} est muni de la structure euclidienne canonique. Si S ⊂ V on note E_{S} le sous espace de IR^{A} des f tels que f(a_{1}, …, a_{n}) ne dépende que des variables a_{v} telles que v ∈ S. On note par E_{S}^{⊥} son orthogonal dans IR^{A} et par F_{S} l’intersection de E_{S} avec tous les E_{S′}^{⊥} où S′ ⊂ S et où S′ ≠ S. Alors les espaces F_{S} quand S ⊂ V sont en somme directe orthogonale. L’espace F^{∅} est l’espace des constantes et, si S est non vide, F_{S} est l’espace des f ∈ E_{S} tels que pour tout i ∈ S on ait ∑_{a_{i}∈A_{i}} f(a) = 0. On a aussi

dim E_{S} = ∏_{v∈V} |A_{v}|, dim F_{S} = ∏_{v∈V} (|A_{v}| − 1), E_{S} = ⊕_{S′⊂S}F_{S′}.  (3.9)

En particulier, si {V_{1}, …, V_{k}} est une famille de Sperner, on a

E_{V_{1}} + ⋯ + E_{V_{k}} = ⊕′F_{S}  (3.10)

où ⊕′ indique que la somme est prise pour tous les S qui sont sous ensemble d’au moins un V_{j}.

Remarques : Avec la notation de l’égalité 3.10) on voit que p est dans le modèle hiérarchique gouverné par {V_{1}, …, V_{k}} si et seulement si log p ∈ E_{V_{1}} + ⋯ + E_{V_{k}}. Notez que dire que S est sous ensemble d’au moins un V_{j} est plus fort que de dire que S est sous ensemble de ∪_{j}V_{j}. Croire à la réciproque est une erreur fréquente.

4. FAMILLES EXPONENTIELLES NATURELLES ET GÉNÉRALES. 9

Pour définir les modèles graphiques discrets, voici des points de vocabulaire de la théorie des graphes. Si (V, E) est un graphe non orienté et si V_{1} ⊂ V, soit E_{1} l’ensemble des arêtes {i, j} de E telles que i et j soient dans E. Le graphe (V_{1}, E_{1}) est alors appelé le graphe induit de (V, E) sur V_{1} (Dans la littérature il y a un objet plus général, appelé sous graphe (V_{1}, E′_{1}) où E′_{1} est simplement astreint à être un sous ensemble de E_{1}). Une clique de (V, E) est alors une partie V_{1} de V telle que le graphe induit de (V, E) sur V_{1} soit complet. Une clique V_{1} est dite maximale si V_{1} ⊂ V′_{1} et V′_{1} ≠ V_{1} entraîne que V′_{1} n’est pas une clique. Il est évident et fondamental d’observer que l’ensemble des cliques maximales d’un graphe (V, E) forme une famille de Sperner de V.

(Il serait plus simple d’appeler clique tout court ce qu’on appelle clique maximale et sous graphes complets les cliques ordinaires, mais de pénibles discussions avec des théoriciens des graphes m’ont montré que c’était peine perdue).

Soit alors un modèle hiérarchique discret gouverné par la famille de Sperner {V_{1}, …, V_{k}} On appelle graphe associé le graphe dont les arêtes sont tous les sous ensembles à deux eléments d’au moins un V_{j}. On dit aussi graphe d’interaction. Voici trois exemples de familles de Sperner sur {1, 2, 3, 4}. Le lecteur est invité à dessiner les graphes correspondants

1. V_{1} = {2, 3, 4}, V_{2} = {1, 2}.

2. V_{1} = {2, 3, 4}, V_{2} = {1, 2}, V_{3} = {1, 4},

3. V_{1} = {2, 3, 4}, V_{2} = {1, 2, 4}.

On voit que les exemples 2) et 3) ont même graphe : celui ci n’est donc pas caractéristique de la famille de Sperner, et donc du modèle hiérarchique qu’elle gouverne.

On dira alors que le modèle hiérarchique gouverné par la famille de Sperner {V_{1}, …, V_{k}} est graphique si les cliques maximales du graphe associé sont les {V_{1}, …, V_{k}}. La connaissance du graphe d’un modèle graphique discret donne la connaissance de ses cliques maximales, donc de la famille de Sperner qui le gouverne : le graphe détermine le modèle graphique, à la différence du modèle hiérarchique. Dans les trois exemples précédents, on voit que le 1) et le 3) sont graphiques et que le 2) ne l’est pas.

4 Familles exponentielles naturelles et générales.

Comme expliqué à la section 1, les modèles que nous considérons ici appartiennent à la grande famille des modèles exponentiels, et héritent de leurs propriétés générales, qu’on va passer en revue maintenant.

Une famille exponentielle naturelle est définie (on va voir comment dans un instant) sur un espace vectoriel réel de dimension finie E. Résistons ici à la tentation de confondre E et IR^{n}, ce qui nous lierait trop à un système particulier de coordonnées. L’espace dual E^{∗} est l’espace des formes linéaires θ sur E. On notera la valeur θ(x) prise par la forme θ ∈ E^{∗} sur le vecteur x ∈ E plutôt par ⟨θ, x⟩. Si E est muni d’une structure euclidienne gouvernée par le produit scalaire ⟨, ⟩ on sait que E^{∗} s’identifie canoniquement à E et la notation ⟨θ, x⟩ est compatible avec cette identification.

Ensuite, on considère une mesure μ (positive) sur E, pas nécessairement bornée, et sa transformée de Laplace, c’est à dire la fonction définie sur E^{∗} à valeurs dans [0, ∞] définie par

L_{μ}(θ) = ∫_{E} e^{⟨θ,x⟩}μ(dx).

On note k_{μ} = log L_{μ} qu’on appelle fonction de cumulants de μ. On note

D(μ) = {θ ∈ E^{∗}; L_{μ}(θ) < ∞}

et Θ(μ) l’intérieur de D(μ). On appelle ce dernier ensemble le domaine de μ.

Proposition 4.1 Soit μ une mesure sur E. Alors

1. Les ensembles D(μ) et Θ(μ) sont convexes, k_{μ} est convexe sur D(μ), et analytique réelle sur Θ(μ).

2. Si de plus μ n’est pas concentrée sur un hyperplan affine de E et si Θ(μ) n’est pas vide, alors k_{μ} est strictement convexe sur Θ(μ), et sa différentielle sur cet ensemble satisfait

k′_{μ}(θ) = \frac{L′_{μ}(θ)}{L_{μ}(θ)} = ∫_{E} xe^{⟨θ,x⟩−k_{μ}(θ)}μ(dx).  (4.11)

Une fois pour toutes on note alors M(E) l’ensemble des mesures μ sur E telles μ ne soit pas concentrée sur un hyperplan affine et telles que Θ(μ) soit non vide. Si μ ∈ M(E) et si θ ∈ Θ(μ), alors

P (θ, μ)(dx) = e^{⟨θ,x⟩−k_{μ}(θ)}μ(dx)

est une probabilité sur E. Leur ensemble

F = F (μ) = {P (θ, μ); θ ∈ Θ(μ)}

est appelé famille exponentielle naturelle engendrée par μ. Notez que F (μ) est un ensemble, alors que θ ↦ P (θ, μ) est une paramétrisation de cet ensemble, qui admet d’autres paramétrisations utiles. Par exemple, F (μ) = F (μ′) si et seulement si il existe θ_{0} ∈ E^{∗} et b ∈ IR tels que μ′(dx) = e^{⟨θ_{0},x⟩+b}μ(dx). La paramétrisation correspondante serait obtenue de la précédente par une simple translation θ ↦ θ − θ_{0}.

Une autre paramétrisation de F (μ) plus importante est obtenue à partir de la formule 4.11), qui peut être reformulée en disant que k′_{μ}(θ) est la moyenne m ∈ E de la probabilité P (θ, μ). Ensuite, puisque maintenant k_{μ} est strictement convexe sur Θ(μ), alors θ ↦ k′_{μ}(θ) = m devient une fonction injective (d’après les propriétés des fonctions convexes) de Θ(μ) à valeurs dans E. L’ensemble M(F) = M(F (μ)) des valeurs qu’elle prend s’appelle le domaine des moyennes de F (μ), et on note désormais par ψ_{μ} la fonction réciproque de k′_{μ}. La fonction m ↦ ψ_{μ}(m) est donc une bijection de M(F) et de Θ(μ) telle que

ψ_{μ}(k′_{μ}(θ)) = θ, k′_{μ}(ψ_{μ}(m)) = m.

Par conséquent l’application de M(F) dans F définie par m ↦ P (m, F) = P (ψ_{μ}(m), μ) est une bijection appelée paramétrisation par la moyenne de la famille exponentielle naturelle F. Le théorème des fonctions implicites entraîne que M_{F} est un ouvert de E homéomorphe à E. Dans les cas classiques qui nous intéressent dans ce cours, c’est un convexe, mais pas en général.

Etudions maintenant les propriétés de ces familles du point de vue de la convolution. Si μ ∈ M(E) on appelle ensemble de Jorgensen de μ l’ensemble Λ(μ) des λ > 0 ayant la propriété suivante : il existe un μ_{λ} ∈ M(E) tel que Θ(μ_{λ}) = Θ(μ) et tel que L_{μ_{λ}} = (L_{μ})^{λ}. Observons que Λ(μ) contient toujours l’ensemble IN^{∗} des entiers > 0. En effet même si μ n’est pas une mesure bornée, le fait que μ ∈ M(E) entraîne que ses puissances de convolution μ^{∗n} existent et sont dans M(E), avec (L_{μ})^{n} pour transformées de Laplace. Donc μ_{λ} = μ^{∗n} pour λ = n ∈ IN^{∗}. Quel lien y a t-il entre les familles exponentielles naturelles F_{λ} = F (μ_{λ}) et F = F (μ)? On voit facilement à partir des définitions que pour λ dans l’ensemble de Jorgensen, et en particulier pour λ entier on a :

M(F_{λ}) = λM(F), ψ_{μ_{λ}}(m) = ψ_{μ}(\frac{m}{λ})  (4.12)

Une chose simple mais importante est que

P (θ, μ)^{∗n} = P (θ, μ^{∗n}).

Pour le voir, il suffit de calculer les transformées de Laplace des deux membres : Prenons α pour paramètre de la transformée de Laplace, puis que θ est déjà pris : pour tout α ∈ Θ(μ) − θ on a

L_{P (θ,μ)}(α) = \frac{L_{μ}(θ + α)}{L_{μ}(θ)}, L_{P (θ,μ^{∗n})}(α) = \frac{L_{μ^{n}}(θ + α)}{L_{μ^{n}}(θ)} = (\frac{L_{μ}(θ + α)}{L_{μ}(θ)})^{n} = L_{(P (θ,μ))^{∗}n}(α).

Une conséquence théorique est alors la suivante : si X_{1}, …, X_{n} sont indépendantes et de même loi P (θ, μ) où θ est inconnu, alors la loi de X_{1} +⋯+X_{n} appartient à la famille exponentielle naturelle F (μ^{∗n}) avec le même paramètre inconnu. Si bien que dans les problèmes d’estimation du paramètre inconnu θ dont nous allons parler maintenant, on peut imaginer qu’on fait l’estimation avec une seule observation.

Proposition 4.2. Soit μ ∈ M(E) et X une variable aléatoire de loi P (θ, μ) où θ est inconnu. Alors si la valeur de X est dans le domaine des moyennes M(F (μ)), l’estimateur du maximum de vraisemblance pour θ est défini et est égal à ψ_{μ}(X).

Dans la pratique, on va appliquer ce résultat au cas où X = X_{1} + ⋯ + X_{n} comme ci dessus. D’après 4.12), si la moyenne empirique \overline{X}_{n} = \frac{1}{n}(X_{1}+⋯+X_{n}) est dans M_{F} alors l’estimateur de θ du maximum de vraisemblance est ψ_{μ}(\overline{X}_{n}). Subsiste la difficulté que pour que cet estimateur existe, il faut que \overline{X}_{n} soit dans M(F). Pour nous réconforter, il y a la loi forte des grands nombres, qui dit ici que la limite presque sûre de la suite (\overline{X}_{n})_{n≥1} est k′_{μ}(θ) ∈ M(F). Comme on a vu que M(F) est un ouvert un tel résultat garantit l’existence d’un n_{0} (aléatoire il est vrai) tel que \overline{X}_{n_{0}} appartienne à M(F).

Les familles exponentielles ont également une propriété concernant les statistiques suffisantes qui découle de la proposition suivante :

Proposition 4.3. Soit μ ∈ M(E), soit λ_{1}, …, λ_{n} dans l’ensemble de Jorgensen Λ(μ) et soit θ ∈ Θ(μ) fixé. On considère des variables aléatoires indépendantes X_{1}, …, X_{n} telles que X_{j} soit de loi P (θ, μ_{λ_{j}}). On pose S = X_{1}+⋯+X_{n} et λ = λ_{1} + ⋯ + λ_{n}. Alors S est de loi P (θ, μ_{λ}) et la loi conditionnelle de (X_{1}, …, X_{n}) sachant S = s ne dépend pas de θ.

Le cas particulier important de la proposition précédente est évidemment le cas λ_{j} = 1 pour tout j. Il entraîne que pour estimer θ à partir de l’échantillon (X_{1}, …, X_{n}) il est inutile de stocker individuellement les valeurs des (X_{1}, …, X_{n}) : toute l’information disponible sur θ à partir des observations (X_{1}, …, X_{n}) est contenue dans S = X_{1} +⋯+X_{n}. La proposition 4.3 entraîne que la statistique S est exhaustive, ou suffisante, pour θ.

Exemples.

1) Loi de Bernoulli, loi binomiale. On prend E = IR et μ = δ_{0} + δ_{1}. Alors Λ(μ) = IN^{∗}, μ^{n} = ∑_{k=0}^{n} C_{n}^{k}δ_{k}, et F (μ^{∗n}) = {B(n, p); p ∈]0, 1[}, où B(n, p) est la loi binomiale.

2) Loi gamma. On prend E = IR et μ(dx) = 1_{]0,∞[}(x)dx Alors Λ(μ) =]0, ∞[

μ_{λ}(dx) = \frac{x^{λ−1}}{Γ(λ)}1_{]0,∞[}(x)dx

et F (μ_{λ}) = .......... Expliquons maintenant ce qu’est une famille exponentielle générale. C’est

la donnée de deux objets : d’abord d’un espace mesuré (Ω, A, ν) où la mesure ν n’est pas nécessairement bornée ; ensuite d’une application mesurable t de Ω dans un espace vectoriel de dimension finie E tel que l’image μ = t ∘ ν dans E de la mesure ν par l’application t soit un élément de M(E). Dans ces conditions, l’ensemble F (t, ν) des probabilités sur Ω qui sont de la forme

P (θ, t, ν)(dω) = e^{⟨θ,t(ω)⟩−k_{μ}(θ)}ν(dω)

pour des θ ∈ Θ(μ), est appelé la famille exponentielle générale engendrée par (t, ν). La famille exponentielle naturelle F (μ), faite des images des P (θ, t, ν)(dω) par ω ↦ t(ω), est appelée la famille exponentielle naturelle associée à F (t, ν). Pour un θ fixé, alors t(ω) est une variable aléatoire de loi P (θ, μ) et est appelée la statistique exhaustive associée.

Exemples.

1) La loi normale de moyenne et de covariance inconnues

..................................

Comment calculer pratiquement la fonction variance d’une famille exponentielle naturelle ? Si μ ∈ M(E), si M_{F} = k′_{μ}(Θ(μ)) ⊂ E^{∗} est le domaine des moyennes de la famille exponentielle naturelle F = F (μ), et si ψ_{μ} est la bijection réciproque de M_{F} dans Θ(μ) de θ ↦ k′_{μ}(θ) alors

V_{F} (m) = k′′_{μ}(ψ_{μ}(m)) = (ψ′_{μ}(m))^{−1}

est l’opérateur de covariance de la probabilité P (ψ_{μ}(m), μ) = P (m, F). Notons Q(E^{∗}) = L_{s}(E^{∗}, E) l’espace des endomorphismes symétriques de E^{∗} vers E (naturellement identifié à l’espace des formes quadratiques sur E^{∗}). Alors l’application de M_{F} vers L_{s}(E^{∗}, E) définie par m ↦ V_{F} (m) est appelée la fonction variance de F. Les lignes qui suivent cherchent à donner quelques méthodes pratiques pour calculer V_{F} dans le cas où E n’est pas IR mais un espace vectoriel.

Cas où E est IR^{n}. Si on identifie le dual de IR^{n} à lui même en munissant IR^{n} de la structure euclidienne canonique, alors on identifiera k′_{μ}(θ) à la suite des dérivées partielles

(\frac{∂}{∂θ_{1}} k_{μ}(θ), …, \frac{∂}{∂θ_{n}} k_{μ}(θ)) = (m_{1}, …, m_{n}).

On résout ensuite en θ ce système en fonction de m pour obtenir θ = ψ_{μ}(m) sous la forme

(θ_{1}, …, θ_{n}) = (ψ_{μ}(m)_{1}, …, ψ_{μ}(m)_{n}).

A ce point, il y a deux voies :

– Ou bien on décide d’utiliser V_{F} (m) = (ψ′_{μ}(m))^{−1}. Dans ce cas on calcule ψ′_{μ}(m), qui est donc représenté par la matrice carrée symétrique (\frac{∂}{∂m_{i}} ψ_{μ}(m)_{j}) et (aspect pénible de cette méthode) on calcule l’inverse V_{F} (m) de cette matrice carrée.

– Ou bien on décide d’utiliser V_{F} (m) = k′′_{μ}(ψ_{μ}(m)). Dans ce cas on calcule

la matrice hessienne

k′′_{μ}(θ) = [\frac{∂^{2}}{∂θ_{i}∂θ_{j}} k_{μ}(θ)]

et on substitue ensuite ψ_{μ}(m) à θ dans cette expression. Dans la pratique, cette deuxième méthode est souvent plus rapide. En général, le pénible calcul d’inversion de θ = ψ_{μ}(m) a conduit à introduire des fonctions auxiliaires f_{v}(θ) = g_{v}(m) = f_{v}(ψ_{μ}(m)) qui apparaissent souvent explicitement dans l’expression de k′′_{μ}(θ) et le calcul n’est pas si décourageant après tout.

Cas où μ est concentrée sur un cône convexe. Si la famille exponentielle est réelle, il arrive souvent qu’elle soit concentrée sur [0, ∞) et qu’alors Θ(μ) soit une demi droite (−∞, a). C’est une source d’erreurs de trainer un paramètre systématiquement négatif. A plusieurs dimensions, cette situation se reproduit si μ est concentrée sur un cône convexe saillant C de dual C^{∗} = {y ∈ E^{∗}; ⟨y, x⟩ ≥ 0}. Dans ce cas Θ(μ) est souvent un translaté de −C^{∗} et le signe moins, maudit, réapparait. On diminue les chances d’erreur en revenant à la transformée de Laplace des physiciens S_{μ}(y) = ∫_{0}^{∞} e^{−yx}μ(dx) plutôt que L_{μ}(θ) = ∫_{0}^{∞} e^{θx}μ(dx).

Dans E on définit donc

S_{μ}(y) = ∫_{E} e^{−⟨y,x⟩}μ(dx)

où y ∈ E^{∗}. On définit aussi s_{μ}(y) = − log S_{μ}(y) sur −Θ(μ) et on note par ρ_{μ} la fonction réciproque de M_{F} vers −Θ(μ) de y ↦ m = s′_{μ}(y).

D’où les relations avec les formes classiques tirées de L_{μ} :

S_{μ}(−θ) = L_{μ}(θ); −s_{μ}(−θ) = k_{μ}(θ); s′_{μ}(−θ) = k′_{μ}(θ); −ρ_{μ}(m) = ψ_{μ}(m).

Ceci conduit à l’importante relation

V_{F} (m) = −s′′_{μ}(ρ_{μ}(m)).  (4.13)

A partir de celle ci, les méthodes pour V_{F} (m) = k′′_{μ}(ψ_{μ}(m)) s’appliquent.

Cas où la dualité entre E et E^{∗} est peu classique. Il arrive souvent que E et E^{∗} soient clairement identifiés à IR^{n} mais que leur mise en dualité se fasse par une forme bilinéaire φ(x, y) qui n’est pas x_{1}y_{1} + … + x_{n}y_{n}. Dans ce cas on a

L_{μ}(θ) = e^{k_{μ}(θ)} = ∫_{E} e^{φ(θ,x)}μ(dx), S_{μ}(y) = e^{−s_{μ}(y)} = ∫_{E} e^{−φ(y,x)}μ(dx).

C’est le cas quand il est question d’espace hyperbolique, avec φ(x, y) = −x_{1}y_{1}+ x_{2}y_{2} + … + x_{n}y_{n}, ou quand E est l’espace des matrices (r, r) symétriques réelles x = (x_{ij}) avec φ(x, y) = tr xy : dans ce cas E s’identifie à IR^{n} avec n = r(r + 1)/2 mais pour i < j le coefficient de x_{ij}y_{ij} est 2.

Le calcul de ψ_{μ}(m) ou de ρ_{μ}(m) à partir des dérivées partielles de k_{μ} ou de s_{μ} doit se faire ainsi : on observe que par définition de la différentielle on a pour tout h dans E assez petit

5. RESTRICTION DU PARAMÈTRE CANONIQUE À UN SOUS ESPACE AFFINE.15

k_{μ}(θ + h) − k_{μ}(θ) = ∑_{k=1}^{n} \frac{∂}{∂θ_{k}} k_{μ}(θ)h_{k} + o(h)
= k′_{μ}(θ(h) + o(h)
= φ(k′_{μ}(θ), h) + o(h) = φ(m, h) + o(h)

Pour calculer m en fonction des dérivées partielles de k_{μ} il faut tirer parti de l’égalité ∑_{k=1}^{n} \frac{∂}{∂θ_{k}} k_{μ}(θ)h_{k} = φ(m, h) valable pour tout h ∈ E. On introduit alors la matrice symétrique Q inversible d’ordre n telle que φ(x, y) = xQy^{T} (on a écrit les éléments de IR^{n} comme des vecteurs lignes) et on obtient

k′_{μ}(θ) = (m_{1}, …, m_{n}) = (\frac{∂}{∂θ_{1}} k_{μ}(θ), …, \frac{∂}{∂θ_{n}} k_{μ}(θ)) Q^{−1}.  (4.14)

s′_{μ}(y) = (m_{1}, …, m_{n}) = (\frac{∂}{∂y_{1}} s_{μ}(y), …, \frac{∂}{∂y_{n}} s_{μ}(y)) Q^{−1}.  (4.15)

Le calcul de θ = ψ_{μ}(m) ou de y = ρ_{μ}(m) devra alors se faire à partir des équations 4.14 ou 4.15. Voici enfin l’expression de la matrice représentative dans IR^{n} de la fonction variance

V_{F} (m) = Q^{−1}[\frac{∂^{2}}{∂θ_{i}∂θ_{j}} k_{μ}(ψ(m)]Q^{−1} = −Q^{−1}[\frac{∂^{2}}{∂y_{i}∂y_{j}} s_{μ}(ρ(m)]Q^{−1}. (4.16)

On trouvera un exemple de cette technique dans le calcul de la fonction variance des lois de Wishart associées au graphe de la marguerite à la section 11.

5 Restriction du paramètre canonique à un sous espace affine.

Une situation qui se présente souvent en statistique, en particulier dans les modèles graphiques, est celle d’une famille exponentielle (qu’on peut prendre naturelle sans perte réelle de généralité), donc de la forme F (μ), à laquelle on impose ensuite au paramètre canonique d’appartenir à un sous espace affine H de E^{∗}. Ceci se retrouve dans une grande variété de situations. Avant de les mentionner, observons que cela pose deux problèmes théoriques :

– Comment tester l’hypothèse que le paramètre inconnu θ appartient à H?

– Sachant que le paramètre inconnu θ est dans H, comment l’estimer par maximum de vraisemblance ? En particulier, en quoi les outils de la famille exponentielle complète peuvent ils être utiles ?

Nous allons nous intéresser d’abord au second problème. Pour commencer, nous allons faire deux hypothèses simplificatrices, qui ne changent rien à la généralité, mais choqueront les puristes. On va supposer d’abord que H est un sous espace vectoriel (ce qui revient à changer la mesure génératrice μ(dx) en exp(⟨θ_{0}, x⟩)μ(dx)), ensuite que E a une structure euclidienne (ce qui permet d’identifier E et E^{∗}, de considérer H comme un sous espace de E et de faire intervenir son espace orthogonal H^{⊥}. Si ce n’était pas euclidien, cet objet H^{⊥} devrait être remplacé par H^{0} = {x ∈ E; ⟨θ, x⟩ = 0 ∀θ ∈ H} et on devrait considérer l’espace quotient E/H^{0} à la place de H ⊂ E pour plaire à Bourbaki.

Soit donc E euclidien, μ ∈ M(E) soit H un sous espace vectoriel de E. On suppose que Θ_{♯} = Θ(μ) ∩ H est non vide. Si F = F (μ), on veut étudier le modèle

F_{H} = {P (θ, μ); θ ∈ Θ_{♯}}

du point de vue des familles exponentielles. La proposition suivante clarifie.

Proposition 5.1. Avec les notations et hypothèses ci dessus, notons par t la projection orthogonale de E sur H. Alors :

1. Le modèle F_{H} est une famille exponentielle générale gouvernée par (μ, t).

2. La mesure projetée t ∘ μ = μ_{♯} sur H existe et engendre la famille exponentielle associée F (μ_{♯}) = F_{♯}.

3. La transformée de Laplace de μ_{♯} est la restriction de L_{μ} à H.

4. Pour tout q dans le domaine des moyennes M_{♯} ⊂ H de F_{♯}, il existe un unique u(q) dans H^{⊥} tel que

ψ_{μ_{♯}}(q) = ψ_{μ}(q + u(q)),  (5.17)

en d’autres termes, tel que l’équation k′_{μ}(θ) = q + u(q) ait une solution dans Θ_{♯}.

Démonstration.

Si θ ∈ Θ_{♯}, alors

exp(⟨θ, x⟩−k_{μ}(θ)μ(dx) =^{(1)} exp(⟨t(θ), x⟩−k_{μ}(θ)μ(dx) =^{(2)} exp(⟨θ, t(x)⟩−k_{μ}(θ)μ(dx)

où (1) vient de t(θ) = θ et (2) vient du fait que t^{∗} = t. Ceci montre 1,2 et 3. En différentiant k_{μ}(θ)) = k_{μ_{♯}}(θ) dans H l’égalité, on obtient

t(k′_{μ}(θ)) = k′_{μ_{♯}}(θ).

Donc si q ∈ M_{♯} ⊂ H on sait qu’il existe un et un seul θ = ψ_{μ_{♯}}(q) ∈ Θ_{♯} tel que q = k′_{μ_{♯}}(θ). Donc q = t(k′_{μ}(ψ_{μ_{♯}}(q))), donc il existe u(q) ∈ H^{⊥} tel que q + u_{q} = k′_{μ}(ψ_{μ_{♯}}(q)). Puisque θ ↦ k′_{μ}(θ) est injectif, u(q) est unique, et 5.17) est montré.

Le premier problème est alors résolu généralement à l’aide d’un objet appelé déviance. Pour la famille exponentielle initiale F (μ) et pour les observations (X_{1}, …, X_{n}) de moyenne empirique \overline{X}_{n}, telles que \overline{X}_{n} est dans le domaine des moyennes, on considère le logarithme de la vraisemblance, c’est à dire

⟨ψ_{μ}(\overline{X}_{n}), \overline{X}_{n}⟩ − k_{μ}(ψ_{μ}(\overline{X}_{n})).  (5.18)

Remarquons que pour une fois la fonction t qui définit une famille exponentielle générale est linéaire et on peut écrire

t(\overline{X}_{n}) = \frac{1}{n}(t(X_{1}) + … + t(X_{n})).

Donc le log de la vraisemblance pour la famille F_{H} ou pour la famille F_{♯} est

⟨ψ_{μ_{♯}}(t(\overline{X}_{n})), t(\overline{(X}_{n})⟩ − k_{μ_{♯}}(ψ_{μ_{♯}}(t(\overline{X}_{n}))),

dont une présentation un peu plus agréable, grâce à la proposition 5.1, est :

⟨ψ_{μ}(t(\overline{X}_{n}) + u(t(\overline{X}_{n}))), \overline{X}_{n}⟩ − k_{μ}(ψ_{μ}(t(\overline{X}_{n}) + u(t(\overline{X}_{n})))),  (5.19)

On appelle alors déviance de F_{H} par rapport à F (μ) la différence de ces deux log de vraisemblance 5.18) et 5.19) multipliée par 2, c’est à dire le nombre

2[⟨ψ_{μ}(\overline{X}_{n})−ψ_{μ}(t(\overline{X}_{n})+u(t(\overline{X}_{n}))), \overline{X}_{n}⟩−k_{μ}(ψ_{μ}(\overline{X}_{n}))+k_{μ}(ψ_{μ}(t(\overline{X}_{n})+u(t(\overline{X}_{n}))))].

(5.20)

La multiplication par 2 est là, comme on s’en doute, pour des raisons historiques : si on applique la théorie précédente au cas où F_{μ} est la famille des lois normales dans IR^{r} de moyenne inconnue et de covariance I_{n} la déviance n’est autre que le carré de la distance de \overline{X}_{n} au sous espace H.

Il est clair que la déviance en général est toujours un nombre positif. En effet si x ∈ M_{F (μ)}, alors θ ↦ ⟨θ, x⟩ − k_{μ}(θ) est maximisée en θ = ψ_{μ}(x). Appliquons cette remarque à x = \overline{X}_{n} et à θ = ψ_{μ}(t(\overline{X}_{n}) + u(t(\overline{X}_{n})), cela montre que la déviance est positive. Cette statistique est alors utilisée comme test du fait que θ appartient ou non à H. Si la déviance est grande, on rejettera l’hypothèse.

Les formules précédentes montre l’importance du calcul de la fonction q ↦ u(q) de M_{♯} dans H^{⊥}. Voyons en détail un exemple plus intéressant que les lois normales

On considère l’espace E des matrices symétriques réelles (n+1, n+1), muni de la structure euclidienne ⟨x, y⟩ = tr (xy). Notons par E_{+} le cône ouvert des matrices symétriques définies positives et par \overline{E}_{+} le cône fermé des matrices symétriques positives. Soit H le sous espace de E des matrices de la forme

q = [ \begin{matrix}a & b_{1} & … & b_{n} \\ b_{1} & c_{1} & ⋯ & 0 \\ ⋯ & 0 & ⋯ & 0 \\ b_{n} & 0 & ⋯ & c_{n} \end{matrix} ] .  (5.21)

Prenons alors pour famille exponentielle sur E la famille des lois de Wishart de paramètre de forme p engendrée par la mesure μ_{p} dont la transformée de Laplace est det(−θ)^{−p} et est définie sur l’ensemble Θ(μ_{p}) = −E_{+}. Il est connu que dans ce cas, θ ↦ k_{μ_{p}}(θ) = −p log det(−θ) a pour gradient p(−θ)^{−1}.

..........................................................

u_{q} = [ \begin{matrix}0 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & b_{1}b_{n}/a \\ ⋯ & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & b_{n}b_{1}/a & ⋯ & 0 \end{matrix} ] .  (5.22)

(et donc u(q) est défini par u_{ij} = −b_{i}b_{j}/a pour 1 ≤ i < j ≤ n),

(q + u(q))^{−1} = [ \begin{matrix}\frac{−(n−1)}{a} + ∑_{i=1}^{n} \frac{c_{i}}{ac_{i}−b_{i}^{2}} & \frac{−b_{1}}{ac_{1}−b_{1}^{2}} & ⋯ & \frac{−b_{n}}{ac_{n}−b_{n}^{2}} \\ \frac{−b_{1}}{ac_{1}−b_{1}^{2}} & \frac{a}{ac_{1}−b_{1}^{2}} & ⋯ & 0 \\ ⋯ & 0 & ⋯ & 0 \\ \frac{−b_{n}}{ac_{n}−b_{n}^{2}} & 0 & ⋯ & \frac{a}{ac_{n}−b_{n}^{2}} \end{matrix} ] .  (5.23)

6 Les graphes triangulés sont les graphes décomposables

Étant donné un graphe G = (V, E) (fini, et non orienté, comme ci dessus), on va noter a ∼ b lorsque a et b sont des sommets du graphe et que {a, b} est une arête. On dit aussi que a et b sont adjacents, et que b est un voisin de a.. On appelle chemin de longueur n ≥ 0 toute suite (v_{0}, v_{1}, …, v_{n}) de longueur n + 1 telle que v_{j−1} ∼ v_{j} pour tout j = 1, 2, …, n. Les sommets v_{0} et v_{n} sont appelés les extrémités du chemin. Notez qu’un chemin de longueur 0 existe et est réduit à un sommet. Un cycle est un chemin (v_{0}, v_{1}, …, v_{n}) de longueur n ≥ 3 tel que (v_{1}, …, v_{n}) soient distincts et tel que v_{n} = v_{0}. Le graphe G est alors dit triangulé si pour tout cycle de G (v_{0}, v_{1}, …, v_{n}) de longueur n ≥ 4 alors il existe i et j avec 1 ≤ i < j ≤ n tels que 1 < j − i < n − 1, et v_{i} ∼ v_{j}. L’arête {v_{i}, v_{j}} est alors appelée une corde du cycle. Si U ⊂ V, soit E_{U} l’ensemble des arêtes {a, b} de E telles que a et b soient dans U. Le graphe G_{U} = (U, E_{U}) est alors appelé graphe induit de G sur U. C’est un sous graphe de G, mais attention, comme déjà dit en section 3, tous les sous graphes ne sont pas des graphes induits. Notez que si un graphe est triangulé, tout graphe induit est aussi triangulé.

Il faut donner encore d’autres définitions. Si a et b sont dans V il est facile de voir que la relation a R b définie par le fait qu’il existe un chemin d’origine a et d’extrémité b est une relation d’équivalence. Ses classes sont appelées les composantes connexes de G. S’il n’y a qu’une seule classe, on dit que G est connexe.

Soit maintenant a et b non adjacents dans V. Un séparateur de a et b est une partie S de V telle que tout chemin (v_{0}, v_{1}, …, v_{n}) d’extrémités v_{0} = a et 6. LES GRAPHES TRIANGULÉS SONT LES GRAPHES DÉCOMPOSABLES19

v_{n} = b est tel qu’il existe j avec 1 ≤ j ≤ n − 1 tel que v_{j} ∈ S. Bien entendu, tout ensemble plus grand que S est encore un séparateur, et comme G est un graphe fini, la notion de séparateur minimal est bien définie. Notons que ni a ni b ne peuvent être dans un séparateur minimal de a et b. Plus généralement, si A et B sont des parties disjointes de V, on dit que la partie S de V est un séparateur de A et B si S est un séparateur de a et b pour tout couple (a, b) de A × B.

Voici d’abord une première caractérisation non triviale des graphes triangulés :

Théorème 6.1. Soit G = (V, E) un graphe fini non orienté. Alors les deux affirmations suivantes sont équivalentes :

1. G est triangulé.

2. Pour tout couple de sommets a et b, tout séparateur minimal S de a et b est tel que le graphe induit G_{S} est complet.

Démonstration. 2 ⇒ 1 : Soit (v_{0}, v_{1}, …, v_{n}) un cycle de longueur n ≥ 4 et soit S un séparateur minimal de v_{0} et de v_{2}. Alors S contient v_{1} et un v_{j}, avec 2 < j < n. Donc {v_{1}, v_{j}} est une corde du cycle. Le graphe est donc bien triangulé. 1 ⇒ 2 : Soit S un séparateur minimal de a et b. Soit A et B les composantes connexes du graphe induit G_{E\S} contenant a et b respectivement. Pour tout s de S il existe certainement un a_{s} dans A adjacent à s : sinon S \ {s} serait aussi un séparateur de a et b, ce qui contredit la minimalité de S. De même il existe b_{s} dans B adjacent à s. Montrons alors que si s et s′ sont dans S, alors ils sont adjacents. Puisque A est connexe, il existe un chemin d’extrémités a_{s} et a_{s′} dans G_{A}, disons (a_{s}, a_{1}, …, a_{n−1}, a_{s′}). Notons que sa longueur n peut être 0. Choisissons ce chemin pour que cette longueur n soit minimale (plus précisément, s et s′ étant fixés dans S, on choisit même a_{s} et a′_{s} pour que cette longueur soit minimale). De même, il existe un chemin (b_{s′}, b_{1}, …, b_{m−1}, b_{s}) dans G_{B}, avec m minimal. Donc

(s, a_{s}, a_{1}, …, a_{n−1}, a_{s′}, s′, b_{s′}, b_{1}, …, b_{m−1}, b_{s}, s)

est un cycle de longueur n + m + 4. Il y a donc une corde. Celle ci ne peut être de la forme {a_{i}, a_{j}} (convention : a_{n} = a_{s′}) : cela contredirait la minimalité de n. De même la corde {b_{i}, b_{j}} est exclue. Quant à la corde {a_{i}, b_{j}}, elle est exclue par définition d’un séparateur. Les cordes du genre {a_{i}, s}, {a_{i}, s′}, {b_{i}, s}, {b_{i}, s′} sont exclues par minimalité de n ou m. La seule corde possible est {s, s′}, ce qui achève la démonstration.

Ce théorème nous conduit a une propriété importante des graphes triangulés :

Lemme 6.2. Soit G = (V, E) un graphe triangulé. Alors, si G n’est pas complet, il existe une partition (A, S, B) de V qui soit propre (c’est à dire formée d’ensembles non vides), telle que S soit un séparateur de A et B et telle que le graphe induit G_{S} soit complet.

Démonstration. Si G n’est pas complet, soit a et b deux sommets non adjacents, et soit S un séparateur minimal de a et b. Soit A la composante connexe contenant a du graphe induit G_{V \S} et soit B = V \ (S ∪ A). L’ensemble B contient b et n’est donc pas vide. Par le théorème 6.1, S est complet. Reste à voir que S sépare A et B. S’il existait (a′, b′) ∈ A × B et un chemin C d’extrémités a′ et b′ qui évite S on distingue deux cas : ou bien b′ est dans la composante connexe de G_{V \S} contenant b : ce chemin C permettrait de fabriquer un chemin de a à b qui évite S : c’est impossible. Ou bien b′ n’est pas dans la composante connexe de G_{V \S} qui contient b. Comme b′ est dans la composante connexe de G qui contient a, et non dans la composante connexe de G_{V \S}, cela entraîne que S est un séparateur de a et b′ et il faut bien que le chemin C coupe S, d’où la contradiction. Le lemme est montré.

Le lemme 6.2 nous conduit à une caractérisation des graphes triangulés, qui commence par la subtile définition de graphe décomposable. Si G = (V, S) est un graphe quelconque (fini et non orienté bien sûr), appelons décomposition de G la donnée d’une partition propre (A, S, B) de V telle que G_{S} soit complet et soit un séparateur de A et B. La Proposition 6.2 dit que si G est triangulé non complet, il admet une décomposition. Voici alors la récursive définition suivante. On dit que le graphe G est décomposable si il est ou bien complet, ou bien tel qu’il admette une décomposition (A, S, B) telle que de plus les graphes induits G_{A∪S} et G_{S∪B} soient déjà décomposables.

Cette définition en est vraiment une, bien qu’abstraite : si on connait tous les graphes décomposables à n sommets (et c’est le cas pour n = 1...) alors on connait les graphes à n + 1 sommets. En fait :

Théorème 6.3. Un graphe est décomposable si et seulement si il est triangulé.

7. ENUMÉRATIONS PARFAITES DANS LES GRAPHES TRIANGULÉS21

Démonstration. Soit G = (V, E). Nous montrons l’équivalence par récurrence sur n = |V |. C’est trivial pour n = 1. Supposons l’équivalence vraie pour tous les V de taille < n et montrons la pour n. Sans perte de généralité on peut supposer que G n’est pas complet. ⇐: Puisque G est triangulé non complet, le lemme 6.2 montre qu’il existe une décomposition (A, S, B). Comme G_{A∪S} et G_{S∪B} sont triangulés, l’hypothèse de récurrence entraîne qu’ils sont décomposables, et donc G est décomposable. ⇒: Puisque G est décomposable non complet, par définition il existe une décomposition (A, S, B). Les graphes G_{A∪S} et G_{S∪B} sont décomposables et donc triangulés par l’hypothèse de récurrence. Si C est un cycle de G, alors ou bien il est dans G_{A∪S}, qui est triangulé, et il a une corde. Ou bien il est dans G_{B∪S}, qui est triangulé, et il a une corde. Ou bien C comprend un point a de A et un point b de B, avec C = (a, …, b …, a). Le cycle se fractionne en un chemin de a à b, qui coupe donc S en un point s, et un chemin de b à a en un point s′. Comme S est complet, {s, s′} est une corde de C et G est bien triangulé.

7 Enumérations parfaites dans les graphes triangulés

Énoncons un lemme important concernant les graphes triangulés. Pour cela, on dit qu’un sommet s d’un graphe G = (V, E) est simplicial si l’ensemble des voisins de s, c’est à dire l’ensemple U = {v ∈ V ; v ∼ s}, est tel que le graphe induit G_{U} est complet.

Lemme 7.1. (Lemme de Dirac) Soit G = (V, E) un graphe triangulé non complet. Alors il existe deux sommets simpliciaux non adjacents.

Démonstration. On procède par récurrence sur la taille n de l’ensemble V des sommets. C’est évident si n = 1 ou 2. Supposons le résultat vrai jusqu’à n − 1 et montrons le pour n. Puisque G n’est pas complet, il existe deux sommets non adjacents a et b auquels on applique la Proposition 6.1 : soit S un séparateur minimal de a et b, A et B les composantes connexes contenant respectivement a et b dans G_{V \S}.

Ce serait une erreur de penser que parce que l’hypothèse de récurrence garantit que G_{A} et G_{B} ont des sommets simpliciaux, la récurrence est étendue. La raison est qu’un sommet simplicial pour G_{A} ne l’est pas nécessairement pour G. Toutefois, un sommet s simplicial pour G_{A∪S} est simplicial pour G. En effet si s ∈ A ∪ S, et G_{S} étant complet d’après la Proposition 6.1, on a {v ∈ V ; v ∼ s} = {v ∈ A ∪ S ; v ∼ s}.

Alors : ou bien G_{A∪S} et G_{B∪S} sont complets, et a et b sont simpliciaux ; ou bien un des deux, disons G_{A∪S}, n’est pas complet. L’hypothèse de récurrence garantit alors l’existence de deux points simpliciaux non adjacents dans A∪S. Ils sont simpliciaux au sens G_{A∪S}, mais nous avons vu que cela entraînait que c’est aussi au sens G. La démonstration du lemme de Dirac est complète.

Voici un troisième groupe de caractérisation des graphes triangulés :

Théorème 7.2. Soit G = (V, E) un graphe fini connexe non orienté à n sommets, et soit C l’ensemble de ses k cliques maximales. Alors les trois affirmations suivantes sont équivalentes :

1. G est triangulé.

2. Il existe une bijection j ↦ v_{j} de {1, …, n} et de V telle que pour tout j > 1 le sommet v_{j} soit simplicial par rapport au graphe induit G_{{v_{1},...,v_{j}}}.

3. Il existe une bijection q ↦ C_{q} de {1, …, k} et de C telle que si on note H_{q} = C_{1} ∪ … ∪ C_{q} et S_{q} = C_{q} ∩ H_{q−1}, (avec H_{0} = ∅), alors pour tout q = 2, 3, …, k il existe p ≤ q − 1 tel que S_{q} ⊂ C_{p}.

De plus, au 2) v_{n} peut être pris arbitrairement parmi les sommets simpliciaux de G; au 3) C_{1} peut être pris arbitrairement parmi C.

Remarques. 1) Une énumération des sommets satisfaisant le 2) du théorème 7.1 est dite parfaite. Une énumération des cliques maximales satisfaisant le 3) du théorème 7.1 est dite parfaite. On parle aussi d’ordres parfaits des sommets et des cliques.

2) Les S_{q} = H_{q−1} ∩ C_{q} sont appelés les séparateurs de cette énumération parfaite. On verra au Théorème 8.3 que leurs valeurs et leurs multiplicités ne dépendent pas de l’énumération parfaite qu’on a choisie.

3) Avec la notion d’énumération parfaite des sommets, nous touchons à l’origine historique de l’intérêt pour les graphes triangulés : à la fin des années 50, le développement des ordinateurs et du calcul numérique fait considérer de grands systèmes linéaires de Cramer AX = Y à n inconnues et n équations, où la matrice A comprend beaucoup de zéros, une situation qu’on veut exploiter au maximum si on applique la méthode de Gauss, qui consiste simplement à prendre une inconnue x_{i}, à l’exprimer en fonction des autres x_{j} et de y_{i} et à remplacer dans le système AX = Y et obtenir un système de Cramer d’ordre n − 1, disons A_{1}X_{1} = Y_{1}. Pour être plus précis et en particulier éviter des annulations de déterminants, supposons que A = (a_{ij}) soit symétrique définie positive. Examinons le passage de la matrice A à la matrice A_{1} si on a choisi d’éliminer l’inconnue x_{n}. Puisque

x_{n} = \frac{y_{n}}{a_{nn}} − \frac{1}{a_{nn}} ∑_{j=1}^{n−1} a_{jn}x_{j},

alors le coefficient (i, j) dans la matrice A_{1} = (b_{ij}) d’ordre n − 1 est

b_{ij} = a_{ij} − \frac{a_{in}a_{jn}}{a_{nn}} .

Notons alors par E l’ensemble des couples {i, j} de V = {1, …, n} tels que a_{ij} ≠ 0 (avec i ≠ j). Donc, une condition suffisante pour que b_{ij} = 0 est que a_{ij} = 0 et que a_{in} ou a_{jn} = 0. Mais si n est un sommet simplicial de G = (V, E), cela entraîne que si a_{ij} = 0 alors a_{in} ou a_{jn} = 0. Donc a_{ij} = 0 entraîne b_{ij} = 0. En d’autres termes si n est une sommet simplicial alors l’élimination de x_{n} n’introduit pas de nouveaux coefficients non nuls dans A_{1}. Si maintenant le graphe G est triangulé, et que V = (1, …, n) soit un ordre parfait, on voit que le processus ci dessus pourra être réitéré jusqu’à la solution complète du système linéaire AX = Y sans jamais avoir détruit les précieux zéros de la matrice initiale A.

Démonstration. 1 ⇒ 2 : On procède par récurrence sur n = |V |. C’est trivial pour n = 1. Si vrai pour n − 1, notons par v_{n} un sommet simplicial (qui existe, d’après le lemme 7.1). Puisque le graphe induit G_{V \{x}} est triangulé, la récurrence est immédiate. 2 ⇒ 1 : Soit (v_{i_{0}}, v_{i_{1}}, …, v_{i_{k}}) un cycle de longueur k ≥ 4. Sans perte de généralité on suppose que i_{k} = i_{0} est > i_{j} pour j = 1, 2 …, k − 1. Comme v_{i_{k}} est simplicial et que v_{i_{1}} et v_{i_{k−1}} sont ses voisins, alors (v_{i_{1}}, v_{i_{k−1}}) est une corde et G est donc triangulé. 3 ⇒ 2 : On utilise le lemme suivant :

Lemme 7.3. Soit G = (V, E) un graphe connexe non orienté, soit C une clique maximale et soit H l’union de toute les cliques maximales de G différentes de C. Alors ou bien C ⊂ H, ou bien (C \ H, C ∩ H, H \ C) est une décomposition, c’est à dire que C ∩ H est un séparateur de C \ H et H \ C.

Démonstration. Soit u ∈ C \ H et v ∈ H \ C et montrons que u ∼ v est impossible. En effet, si u ∼ v soit C′ une clique maximale contenant {u, v}. Puisque v ∈ H \ C la clique C′ ne peut être la clique C et donc u ∈ H : contradiction. Soit alors a ∈ C \H et b ∈ H \C et soit un chemin de a à b (qui existe, puisque G est connexe). Soit v le premier élément de ce chemin situé dans H et soit u celui qui le précède : d’après la remarque précédente, ou bien u ou bien v est dans C ∩ H et le lemme est montré.

Nous démontrons maintenant 3 ⇒ 2 : Notons R_{q} = C_{q} \ H_{q−1}. Cet ensemble n’est jamais vide car sinon on aurait C_{q} ⊂ S_{q} ⊂ C_{p} et donc C_{q} = C_{p}. De plus les R_{1}, …, R_{k} sont deux d̀eux disjoints et forment une partition de V. Soit r_{q} > 0 le nombre d’éléments de R_{q} et notons σ_{q} = r_{1} + r_{2} + ⋯ + r_{q}. Numérotons alors V par (1, 2, …, n) de sorte que pour tout q = 1, …, k on ait

R_{q} = {σ_{q−1} + 1, …, σ_{q}} = {i; σ_{q−1} < i ≤ σ_{q}}.

Il y a bien entendu plusieurs choix possibles pour cela, r_{1}! … r_{k}! en fait. Montrons que cette énumération sur V est parfaite. Soit i un sommet quelconque. Il existe un unique q tel que i ∈ R_{q}. Les sommets adjacents à i sont de trois sortes

1. Tous les sommets de C_{q} sauf i,

2. certains sommets de V \ H_{q}

3. certains sommets de H_{q−1} \ C_{q}.

En fait la catégorie 3 est vide : on le voit en appliquant le lemme 7.3 au graphe induit par H_{q} et à la clique C_{q}. Les sommets de la catégorie 2 on des numéros > σ_{q} ≥ i. Donc les sommets adjacents à i et situés dans {1, …, i} sont dans C_{q} et forment donc un ensemble complet ; c’est dire que i est simplicial par rapport à {1, …, i} et 3 ⇒ 2 est montré. 2 ⇒ 3 : Cette partie est plus difficile.

(a) On suppose que v_{i} = i pour tout i = 1, …, n sans perte de généralité. On définit pour tout i l’ensemble B_{i} formé par i et ceux des sommets adjacents à i qui sont de plus dans {1, 2, …, i}. Comme i est simplicial par rapport à {1, 2, …, i} (c’est l’hypothèse du 2)) B_{i} est complet.

(b) Je dis maintenant que toute clique maximale de G est un élément de la suite (B_{1}, …, B_{n}). Nous le montrons par récurrence sur n. Supposons que cela soit vrai pour tout graphe triangulé d’ordre < n muni d’un ordre parfait sur les sommets. Montrons le pour n. D’abord, B_{n} est une clique maximale, par définition. Ensuite, toute clique maximale du graphe induit sur {1, …, n − 1} apparait dans la suite (B_{1}, …, B_{n−1}), d’après l’hypothèse de récurrence. Comme les seules cliques maximales de G sont celles du graphe induit sur {1, …, n − 1} qui ne soient pas des sous ensembles de B_{n}, plus B_{n} lui même, la récurrence est étendue.

(c) Nous allons fabriquer une énumération parfaite (C_{1}, …, C_{k}) des cliques maximales de G à partir de la suite (B_{1}, …, B_{n}) en supprimant certains éléments et en réordonnant le reste en procédant ainsi

1. Si i > j et B_{i} ⊂ B_{j} on supprime B_{i}.

2. Après l’épuisement de la procédure 1), soit i fixé. Si j_{0} est le plus petit

des j tels que i < j et B_{i} ⊂ B_{j} on supprime B_{i} et on met B_{j_{0}} à sa place. Puisque les B_{j} étaient tous complets, il est clair qu’en appliquant cette procédure il ne reste à la fin que des cliques maximales, et qu’elles sont toutes là, d’après le (b). On a donc ordonné les cliques maximales en une suite (C_{1}, …, C_{k})

(d) La tâche qui nous reste est de montrer que cet ordre (C_{1}, …, C_{k}) satisfait 3). Pour cela introduisons provisoirement une définition : étant donné un graphe G = (V, E), une suite D = (D_{1}, D_{2}, …, D_{m}) de parties de V (pas nécessairement distinctes) est dite parfaite si en notant H_{q} = D_{1} ∪ … ∪ D_{q} alors pour tout q = 2, …, m on a S_{q} = D_{q} ∩ H_{q−1} complet non vide et il existe p ≤ q − 1 tel que S_{q} ⊂ D_{p}. Un exemple fondamental de suite parfaite est la suite (B_{1}, …, B_{n}) définie au a). Cela se voit ainsi : les B_{q} sont complets et donc les

S_{q} = (B_{1} ∪ … B_{q−1}) ∩ B_{q} = {1, …, q − 1} ∩ B_{q}

sont complets. Pour q > 1 fixé, soit p le plus grand élément de S_{q}. Alors S_{q} ⊂ B_{p} : en effet si i et j sont dans S_{q} alors i ∼ q, j ∼ q, p ∼ q donc i ∼ p j ∼ p et donc i ∼ j.

(e) Observons la chose suivante : supposons que D soit une suite parfaite de longueur m telle qu’il existe i ≠ j avec D_{i} ⊂ D_{j}. On fabrique alors une nouvelle suite D′ de longueur m − 1 ainsi

1. Si i > j et D_{i} ⊂ D_{j} on supprime D_{i}.

2. S’il n’existe pas de couple i > j tel que 1) soit vrai, soit j_{0} le plus petit des j tels que i < j et D_{i} ⊂ D_{j}. Alors on supprime B_{i} et on met B_{j_{0}} à sa place.

Le point important est que D′ est aussi parfaite. C’est clair dans le premier cas i > j. Dans le second cas, observons que nécessairement S_{j_{0}} = D_{i}. En effet

S_{j_{0}} = D_{j_{0}} ∩ H_{j_{0}−1} ⊃ D_{j_{0}} ∩ D_{i} = D_{i}.

Cependant, comme D est une suite parfaite, il existe p < j_{0} tel que S_{j_{0}} ⊂ D_{p}. Cela entraîne donc D_{i} ⊂ D_{p}. Comme le 1) était exclu, on a donc i ≤ p. Comme j_{0} était minimal, on a donc finalement S_{j_{0}} = D_{i}.

8. SÉPARATEURS MINIMAUX ET ARBRES DE DÉCOMPOSITION 25

On en déduit que si S′_{i} = H_{i−1} ∩ D_{j_{0}} alors, puisque S′_{i} ⊂ S_{j_{0}} = D_{i} on a donc S′_{i} = S_{i} et S′_{i} est donc complet non vide. Il existait par hypothèse p < i tel que S_{i} = S′_{i} ⊂ D_{p}. Ensuite, si i < q < j_{0} on a

S′_{q} = D_{q}∩(H_{q−1}∪D_{j_{0}}∪D_{i+1}∪…∪D_{q−1}) = D_{q}∩(H_{q−1}∪D_{j_{0}}) = S_{q}∪(D_{q}∩(D_{j_{0}}\D_{i})).

Cependant, puisque D_{q} ∩ D_{j_{0}} ⊂ S_{i} = D_{j_{0}} l’ensemble D_{q} ∩ (D_{j_{0}} \ D_{i}) est donc vide et S′_{q} = S_{q} si i < q < j_{0}. Donc S′_{q} est complet et est inclus dans un D_{p} pour au moins un p < q. Si par hasard ce p = i, comme le nouveau en i est D_{j_{0}} ⊃ D_{i} on a S′_{q} ⊂ D_{j_{0}} a fortiori. Quant aux termes de la suite D′ d’indice q ≥ j_{0} il est clair qu’ils satisfont S′_{q} = S_{q+1} et le résultat s’ensuit.

Pour terminer il suffit d’appliquer ce passage de D vers D′ de facon répétée en partant de la suite (B_{1}, …, B_{n}) définie au a) pour arriver à la suite (C_{1}, …, C_{k}) définie au c). La suite (B_{1}, …, B_{n}) était parfaite comme on l’a vu au d), la suite (C_{1}, …, C_{k}) l’est donc aussi.

Exercice 7.1 On décrit un graphe à 7 sommets {1, 2, …, 7} par ses 4 cliques

C_{1} = {4, 3, 2, 1}, C_{2} = {5, 4, 3, 1}, C_{3} = {6, 4, 3, 2}, C_{1} = {7, 6, 2}.

Dessiner ce graphe, dire s’il est triangulé. Si oui, dire si l’ordre des sommets (1, 2, …, 7) est parfait et si l’ordre des cliques (C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}) est parfait.

Exercice 7.2 On considère le graphe triangulé de sommets {1, 2, …, 7} et dont les arêtes sont 12,15,17,23,24,25,27,34,36,37,45,47,67. Donner d’abord une énumération parfaite des sommets (v_{1}, …, v_{7}), formez ensuite la liste des ensembles B_{i} décrits dans la démonstration 2 ⇒ 3 du Théorème 7.2 et utilisez l’algorithme décrit là pour construire un ordre parfait des cliques du graphe.

8 Séparateurs minimaux et arbres de décomposition

Donnons dès maintenant une définition essentielle :

Définition 8.1. Soit G = (V, E) un graphe triangulé connexe. On dit que S ⊂ V est un séparateur minimal de G si il existe deux éléments a et b de V non adjacents tels que S soit un séparateur minimal de a et b. On appelle multiplicité du séparateur minimal S l’entier ν(S) tel que 1 + ν(S) soit égal au nombre de composantes connexes U de V \ S telles que de plus S ne soit pas une clique maximale du graphe induit sur U ∪ S.

Remarques. 1) Etant donnés les sommets non adjacents a et b, il y a en général plusieurs séparateurs minimaux entre a et b : prendre par exemple le graphe à 4 sommets 1, 2, 3, 4 d’arêtes {1, 2}, {2, 3}, {3, 4} : alors {2} et {3} sont deux séparateurs minimaux de a = 1 et b = 4.

2) On a vu au théorème 6.1 que un tel séparateur minimal de G est nécessairement complet. Nous allons voir dans cette section que ces séparateurs minimaux de G sont en fait les S_{j} qui apparaissent dans le Théorème 7.2 quand on considère un ordre parfait entre les cliques maximales. Ils jouent un role essentiel avec les cliques maximales dans l’analyse et le maniement des graphes triangulés.

3) Il n’y a pas de séparateur minimal dans un graphe complet.

4) Comme nous l’avons fait en introduisant le terme “cliques maximales”, nous éliminons toute ambiguité par rapport à une littérature très diverse en parlant de “séparateurs minimaux”. Il faut savoir que les statisticiens, quand le graphe est triangulé, parlent de séparateur tout court, de clique tout court et de graphe décomposable là où nous parlons de séparateur minimal, de clique maximale et de graphe triangulé.

5) La notion de multiplicité est assez subtile. Considérons par exemple le graphe de sommets {1, 2, 3, 4, 5} défini par ses trois cliques maximales {1, 2, 3}, {1, 2, 4},{2, 5}. On voit facilement qu’il est triangulé et qu’il a deux séparateurs minimaux {1, 2} et {2}. Si on retire S = {1, 2} il reste les trois composantes connexes {3}, {4}, {5}. Il est clair que S n’est pas une clique maximale de {1, 2, 3} ni de {1, 2, 4}, mais que c’est une clique maximale de {1, 2, 5} : la multiplicité de S = {1, 2} est donc 1. On voit plus facilement que la multiplicité de S = {2} est 1. Un bon moyen de vérifier qu’on ne fait pas d’erreur dans le calcul des multiplicités est le fait que la somme de toutes les multiplicités des séparateurs minimaux doit être égale au nombre de cliques maximales moins un (Corollaire 8.4 ci dessous).

Théorème 8.1. Soit G un graphe triangulé connexe non complet et (C_{1}, …, C_{k}) un ordre parfait entre les cliques maximales. On note H_{q} = C_{1} ∪ C_{2} ∪ … C_{q} et pour tout q = 2, …, k S_{q} = C_{q} ∩ H_{q−1}. Alors pour q ≥ 2 le graphe induit G_{H_{q}} est connexe et (H_{q−1} \ S_{q}, S_{q}, C_{q} \ S_{q}) est une décomposition de G_{H_{q}} au sens de la section 6, c’est à dire que c’est une partition propre de H_{q} et que S_{q} est un séparateur complet de (H_{q−1} \ S_{q}, C_{q} \ S_{q}). De plus si a ∈ H_{q−1} \ S_{q} et b ∈ C_{q} \ S_{q} alors S_{q} est un séparateur minimal de a et b.

Démonstration. Nous montrons d’abord par récurrence sur k − q que G_{H_{q}} est connexe et que S_{q} est non vide. C’est vrai pour q = k puisque nous avons supposé G connexe et que cela entraîne trivialement que S_{k} est non vide. Si c’est vrai pour k, k − 1, …, q + 1, supposons que G_{H_{q}} ne soit pas connexe. L’hypothèse de récurrence dit que S_{q+1} est non vide ; soit A la composante connexe de H_{q} qui contient S_{q} et B son complémentaire dans H_{q}. Alors A_{1} = A ∪ C_{q} et B forment une partition de H_{q+1}. Mais puisque cet ensemble est connexe par l’hypothèse de récurrence, il existe a dans A_{1} et b dans B qui sont reliés par un chemin dans G_{H_{q+1}}. Comme C_{q+1} est complet, tout chemin empruntant une partie de C_{q+1} \ S_{q+1} = C_{q+1} \ A peut être remplacé par un chemin dans A, puisque S_{q+1} n’est pas vide. Donc G_{H_{q}} est connexe. Cela entraîne que S_{q} n’est pas vide, car sinon C_{q} serait une composante connexe de G_{H_{q}}. La récurrence est étendue.

Montrons ensuite qu’on a une décomposition. Pour q fixé, C_{q} \ S_{q} n’est pas vide : sinon S_{q} ⊂ C_{q}, et comme il existe p ≤ q−1 tel que S_{q} ⊂ C_{p} alors C_{q} ⊂ C_{p} ce qui contredit la définition de clique maximale. H_{q−1} \ S_{q} n’est pas vide non plus : sinon C_{1} ∪ C_{2} ∪ … C_{q−1} ⊂ C_{q} ce qui contredit la définition de clique maximale. Enfin on a déjà montré par récurrence que S_{q} n’est pas vide. Il est bien complet, comme partie de l’ensemble complet C_{q}. Finalement, le Lemme 7.3 appliqué à G_{H_{q}} montre que S_{q} est un séparateur de (H_{q−1} \ S_{q}, C_{q} \ S_{q}).

Montrons enfin que S_{q} est un séparateur minimal. Soit a ∈ H_{q−1} \ S_{q} et b ∈ C_{q} \ S_{q}. On vient de voir par l’emploi du Lemme 7.3 que S_{q} sépare a et b. Il existe une partie U ⊂ S_{q} qui soit un séparateur minimal de a et b. Comme S_{q} ⊂ C_{p} pour un certain p ≤ q − 1 il existe un point v ∈ C_{p} \ S_{q} et un chemin de a à v situé dans le graphe connexe G_{H_{q−1}}. Si S_{q−1} n’était pas un séparateur minimal, il existerait un w ∈ S_{q} \ U. Comme C_{q} est complet on a w ∼ b. De plus w et v sont dans la clique C_{p} et donc w ∼ v. Donc, avec le chemin de a à v et la suite v, w, b on a fabriqué un chemin de a à b qui ne passe pas par U et donc U n’est pas un séparateur. Le théorème est complètement montré.

Théorème 8.2. Soit G un graphe triangulé connexe non complet et (C_{1}, …, C_{k}) un ordre parfait entre les cliques maximales. Soit S un ensemble de sommets. Alors S est un séparateur minimal si et seulement si il existe q dans {2, …, k} tel que S = S_{q}. En particulier, un séparateur minimal n’est jamais égal à une clique maximale.

Démonstration. On a vu au théorème précédent que S_{q} est bien un séparateur minimal. Inversement, soit S un séparateur minimal de a et b. Alors a et b sont non adjacents et ne peuvent être dans une même clique maximale. Soit q(b) = min{q; b ∈ C_{q}}, q(a) = min{q; a ∈ C_{q}}, supposons sans perte de généralité q(a) < q(b) et montrons que S = S_{j}, pour 2, …, q(b). D’abord, b ∉ S_{q(b)}, car sinon il existe un p ≤ q(b) − 1 tel que b ∈ S_{q(b)} ⊂ C_{p} ce qui contredit la définition de q(b). Donc b ∈ R_{q(b)} et, selon le Théorème 8.1 précédent, S_{q(b)} est un séparateur minimal de a et b dans G_{q(b)}, le graphe induit par H_{q(b)}.

Montrons maintenant que l’on a soit S = S_{q(b)}, soit S ∩ S_{q(b)} = ∅. On remarque tout d’abord que S étant complet doit être inclus dans une clique C_{s}, s = 2, …, q. Si s était tel que s ≥ q(b), cela impliquerait que tout chemin entre a et b a une portion qui n’est pas dans G_{q(b)} et cela contredirait le fait que S_{q(b)} est un séparateur minimal de a et b dans G_{q(b)}. Donc on a 2 ≤ s ≤ q(b) et S ⊂ H_{q(b)}. On remarque ensuite que si on avait ∅ ≠ S ∩ S_{q(b)} ≠ S_{q(b)}, cela impliquerait que tout chemin entre a et b doit passer et par S et par S_{q(b)}, et donc par S ∩S_{q(b)}, qui serait alors un séparateur entre a et b strictement inclus dans S et S_{q(b)}. Ceci serait évidemment une contradiction au fait que S et S_{q(b)} sont des séparateurs minimaux. On a donc soit S = S_{q(b)}, soit S ∩ S_{q(b)} = ∅.

Si S = S_{q(b)}, le théorème est prouvé. Si S ∩ S_{q(b)} = ∅, considérons un chemin a = v_{1}, …, v_{n−1}, v_{n} = b. Sans perte de généralité on peut supposer que v_{n−1} ∈ S_{q(b)}, v_{n−1} ∉ R_{q(b)} et que S sépare a de v_{n−1}. Comme l’énumération des cliques est parfaite, cela implique que v_{n−1} ∈ C_{l}, 2 ≤ l ≤ q(b) − 1. Soit q(v_{n−1}) = min{l; v_{n−1} ∈ C_{l}}. Alors, suivant un raisonnement parallèle à celui suivi pour q(b), on voit que v_{n−1} ∈ R_{q(v_{n−1})}. De plus S et S_{q(v_{n−1})} sont tous deux séparateurs minimaux de a et v_{n−1}. On recommence alors le raisonnement précédent en remplacant q(b) par q(v_{n−1}) pour montrer que soit S = S_{q(v_{n−1}))} soit S ∩ S_{q(v_{n−1})} = ∅. Comme l’ensemble des cliques est fini, il existe un q dans {2, …, q(b)} tel que S = S_{q}.

Finalement, un séparateur minimal S n’est jamais égal à une clique maximale. En effet, il suffit de prendre un ordre parfait (C_{1}, …, C_{k}) de celles ci. On vient de voir qu’alors il existe q ≥ 2 tel que S = S_{q}. Donc il existe p ≤ q − 1 tel que S ⊂ C_{p}. Si S était une clique maximale alors on aurait à la fois S = C_{p} et S = C_{q} : contradiction. Le théorème est donc montré.

Encore un peu de vocabulaire de théorie des graphes. Un arbre est un graphe (fini et non orienté) qui est connexe et sans cycle. Un sommet d’un arbre qui n’a qu’un voisin est un bout de l’arbre. Si on distingue dans l’arbre un sommet r appelé racine, c’est un arbre à racine, et l’ensemble de ses sommets est alors structuré en ensemble partiellement ordonné par la relation d’ordre définie ainsi : s ≤ s′ si l’unique chemin d’extrémités r et s′ contient s. Si s ≠ r, s a un unique parent γ(s) défini comme l’unique voisin de s tel que γ(s) ≤ s. Les autres voisins de s sont alors appelés ses descendants. Un arbre à racine dont tout sommet a 0 ou 2 descendants exactement est appelé un arbre binaire.

Soit alors G = (V, E) un graphe triangulé. Un arbre de décomposition de G est un arbre binaire à racine dont les sommets sont des parties de V avec les contraintes suivantes

1. La racine est V.

2. Si le sommet V_{0} est un bout alors V_{0} est complet.

3. Si le sommet V_{0} n’est pas un bout, ses deux descendants V_{1} et V_{2} sont

tels que

(A, S, B) = (V_{1} \ V_{2}, V_{1} ∩ V_{2}, V_{2} \ V_{1})

est une décomposition de G_{V_{0}}, S = V_{1} ∩ V_{2} est un séparateur minimal de G et S n’est une clique maximale ni de G_{V_{1}} ni de G_{V_{2}}.

L’existence d’au moins un arbre de décomposition pour tout graphe triangulé se montre facilement à partir de l’existence d’au moins un ordre parfait entre les cliques (voir le Corollaire 8.4 ci dessous). Un arbre de décomposition n’est pas unique, mais le théorème suivant donne des caractéristiques communes à tous les arbres de décomposition d’un même graphe triangulé.

Théorème 8.3. L’ensemble des bouts d’un arbre de décomposition d’un graphe triangulé connexe est égal à l’ensemble {C_{1}, …, C_{k}} des cliques maximales. En particulier tout arbre de décomposition a le même nombre k de bouts, et le même nombre 2k − 1 de sommets. Soit ensuite S l’ensemble des séparateurs minimaux du graphe. Notons les k − 1 sommets de l’ arbre de décomposition ayant deux descendants par V_{2}, …, V_{k}, et à tout j associons S_{j} ∈ S défini comme l’intersection des deux descendants de V_{j}. Alors pour tout S de S le nombre de j = 2, …, k tels que S_{j} = S est égal à la multiplicité de S. En particulier cet entier ne dépend pas de l’arbre particulier de décomposition considéré.

Corollaire 8.4. Soit (C_{1}, …, C_{k}) un ordre parfait de l’ensemble C des cliques maximales d’un graphe triangulé connexe, soit S l’ensemble des séparateurs minimaux du graphe, soit H_{q} = C_{1} ∪ … ∪ C_{q} et, pour q ≥ 2 soit le séparateur minimal S_{q} = H_{q−1} ∩C_{q}. Alors pour tout S de S le nombre de q = 2, …, k tels que S_{q} = S est égal à la multiplicité de S. En particulier cet entier ne dépend pas de l’ordre parfait sur C considéré.

Démonstration du Corollaire 8.4. A l’ordre parfait sur C on associe l’arbre de décomposition dont les sommets sont V = H_{k}, H_{k−1}, …, H_{1} = C_{1}, C_{2}, …, C_{k} où H_{q} a pour descendants H_{q−1} et C_{q}.

Démonstration du Théorème 8.3. On procède par récurrence sur le nombre k de cliques maximales. C’est trivial pour k = 1 et on suppose le résultat vrai pour tous les graphes triangulés connexes ayant au plus k−1 cliques maximales. Soit alors un arbre de décomposition du graphe triangulé connexe G = (V, E) à k > 1 cliques maximales. L’ensemble V n’est donc pas complet et a deux descendants V_{1} et V_{2}. Soit S = V_{1} ∩ V_{2} le séparateur minimal correspondant. Les graphes induits G_{V_{i}} sont triangulés.

Si C est une clique maximale de G_{V_{1}} montrons que c’est une clique maximale de G (par définition d’un arbre de décomposition, elle n’est pas égale à S). En effet sinon il existerait une clique maximale C′ ⊃ C de G contenant un point v de V_{2} \ S. Comme C′ est complet, v est adjacent à tous les points de C. Comme C ≠ S, il existerait u ∈ C \ S qui est adjacent à v et donc S ne séparerait pas u et v. Donc finalement les cliques maximales de G_{V_{i}} sont des cliques maximales de G et l’ensemble C_{1} des cliques maximales de G_{V_{1}} est disjoint de celui de G_{V_{2}}, noté C_{2}.

Montrons que C_{1} ∪ C_{2} = C. Sinon il existerait une clique maximale C contenant un point a ∈ V_{1} \ S et un point b ∈ V_{2} \ S. Alors a et b seraient adjacents et S ne les séparerait pas : contradiction. L’hypothèse de récurrence entraîne déjà que l’ensemble des bouts de l’arbre de décomposition est égal à C.

Montrons ensuite que si S_{1} est un séparateur minimal de G_{V_{1}} alors c’est un séparateur minimal de G. En effet, soient a et b dans V_{1} séparés par S_{1} dans G_{V_{1}}. S’ils n’étaient pas séparés par S_{1} dans G, il existerait un chemin de a à b dans G ne passant par S_{1}. Ce chemin utiliserait un point v ∈ V_{2} \ S. Or a et v sont séparés par S, et b et v sont séparés par S. Donc le chemin de a à b passant par v comprend dans cet ordre a, s, v, s′, b avec s et s′ dans S. Comme s et s′ sont adjacents on fabriquerait ainsi un chemin de a à b entièrement situé dans V_{1} et ne touchant pas S_{1}, contradiction. Il est ensuite trivial de constater que S_{1} est non seulement un séparateur pour G, mais un séparateur minimal.

Envisageons enfin la question des multiplicités des séparateurs minimaux. Soit p_{i} le nombre de composantes connexes C de V_{i} \ S telles que S ne soit pas une clique maximale du graphe induit sur C ∪ S.

Si p_{1} = 1, cela entraîne que S n’est pas un séparateur minimal de G_{V_{1}}. En effet si S était séparateur minimal de G_{V_{1}} il existerait a et b dans V_{1} non adjacents séparés par S et donc a et b seraient dans deux composantes connexes différentes de V_{1} \ S. De plus comme S est minimal, ? ? ? ? ? ? ?.

Si p_{1} > 1 alors de même S est un séparateur minimal de V_{1} \ S (car cette fois il existe a et b dans V_{1} dans deux composantes connexes de G_{V_{1}}). D’après l’hypothèse de récurrence, la multiplicité p_{1} − 1 du séparateur S de G_{V_{1}} est égale au nombre de fois où S apparait comme intersection de deux descendants dans le sous arbre de sommet V_{1} dans l’arbre de décomposition initial. En procédant de même avec V_{2} on voit le nombre de fois où S apparait comme intersection de deux descendants dans l’arbre de décomposition initial est (p_{1}−1)+(p_{2}−1)+1 = ν(S). La récurrence est donc complètement étendue et le théorème est montré.

Soit alors G = (V, E) un graphe triangulé connexe et soit C l’ensemble de ses k cliques maximales. Un arbre de jonction de G est un arbre dont les sommets sont tous les éléments de C avec les contraintes suivantes : si C et C′ sont distincts dans C, soit C = C_{0}, C_{1}, …, C_{s} = C′ l’unique chemin de C à C′. Alors pour tout j = 0, …, s on a

C ∩ C′ ⊂ C_{j}.  (8.24)

Théorème 8.5. Soit un arbre de jonction pour un graphe triangulé connexe. Soit S un séparateur minimal du graphe. Alors le nombre d’arêtes {C, C′} de l’arbre telles que S = C ∩ C′ est égal à la multiplicité de S. En particulier, C ∩ C′ est un séparateur minimal pour toute arête {C, C′}.

Démonstration. Soit {C, C′} une arête de l’arbre de jonction. Si on supprime cette arête, l’arbre est scindé en deux sous arbres T et T′. Notons par V et V′ l’union des cliques maximales sommets de T et T′ respectivement. Soit S = C ∩ C′ ⊂ V ∩ V′. On voit d’abord facilement que S = C ∩ C′ = V ∩ V′. En effet si v ∈ C ∩ C′ il existe des cliques maximales C_{0} et C′_{0} de T et T′ respectivement telles que v ∈ C_{0} ∩ C′_{0}. L’unique chemin dans l’arbre de jonction reliant C_{0} et C′_{0} passe par C et C′ et d’après la propriété 8.24) des arbres de jonction on a v ∈ C ∩ C′.

9. GRAPHES TRIANGULÉS ET MATRICES DÉFINIES POSITIVES 31

Nous montrons ensuite qu’alors S = C ∩ C′ est un séparateur entre A = V \ S et B = V′ \ S. Comme S est complet (intersection de deux cliques maximales), c’est dire que (A, S, B) est une décomposition. Soit donc a ∈ A et b ∈ B et un chemin (a = v_{0}, v_{1}, …, v_{s} = b) reliant a et b dans le graphe triangulé. Supposons que ce chemin ne touche pas S. alors nous montrons par récurrence sur i que v_{i} ∈ A : c’est vrai pour i = 0 par définition. Si vrai pour v_{i−1} avec 1 ≤ i ≤ s soit C_{0} une clique maximale contenant v_{i−1} et v_{i}. Puisque v_{i−1} ∈ A alors C_{0} ⊂ V, et donc v_{i} ∈ V. Puisque le chemin ne touche pas S, alors v_{i} ∈ A et la récurrence est étendue. Mais si on l’applique à i = s on obtient la contradiction b ∈ A.

Nous vérifions ensuite que S est minimal. Pour cela nous prenons (a, b) ∈ (C \ S) × (C′ \ S) et nous montrons que S est un séparateur minimal de a et b. S’il n’en et́ait pas ainsi, il existerait un séparateur U de a et b contenu dans S et un w ∈ S \ U. Mais le chemin (a, w, b) évite U : contradiction.

Montrons ensuite que le nombre d’arêtes {C, C′} de l’arbre de jonction telles qu’un séparateur minimal donné S satisfasse S = C ∩ C′ est exactement égal à sa multiplicité ν(S). On le montre en créant un arbre de décomposition à partir de l’arbre de jonction. Prenons d’abord une arête {C, C′} quelconque de l’arbre de jonction et soit T et T′ les sous arbres crées comme ci dessus, et V et V′ les unions des cliques maximales de T et T′. On a vu que (V \S, S, V′ \S) est une décomposition du graphe triangulé. En réitérant le procédé avec T et T′ on crée un arbre de décomposition dont les sommets V_{1} à deux descendants sont en bijection

V_{1} ↦ ϕ(V_{1}) = {C_{V_{1}}, C′_{V_{1}}}

avec les arêtes de l’arbre de jonction et tel que l’intersection des deux descendants de V_{1} soit le séparateur minimal S égal à l’intersection des deux cliques maximales {C_{V_{1}}, C′_{V_{1}}}. Le théorème 8.5 montre alors que le nombre de fois où le sèparateur minimal S apparait comme intersection des deux cliques d’une arête de l’arbre de jonction est la multiplicité ν(S), nombre de composantes connexes du graphe privé de S, moins un.

9 Graphes triangulés et matrices définies positives

Nous allons donner dans cette section une remarquable caractérisation des graphes triangulés, due à Grone, Johnson, Sá et Wolkovitz. Pour cela, partons d’un graphe G = (V, E), triangulé ou non, avec V = {1, …, n}. On note Ẽ l’ensemble des (i, j) ∈ V × V tels que ou bien i = j ou bien {i, j} ∈ E. Une matrice incomplète associée à G est la donnée d’une fonction réelle sur Ẽ, soit A = (a_{ij})_{(i,j)∈Ẽ}. Elle est dite symétrique si a_{ij} = a_{ji}. On dit que la matrice B = (b_{ij})_{i,j∈V} prolonge A si b_{ij} = a_{ij} pour (i, j) dans Ẽ. Nous remarquons d’abord le résultat suivant :

Proposition 9.1. Soit A une matrice symétrique incomplète associée à G et soit A l’ensemble des matrices symétriques définies positives B qui la prolonge. Alors 1. L’ensemble \overline{A} des matrices symétriques positives B qui prolongent A est

compact.

2. Il existe une et une seule matrice Â ∈ A telle que les coefficients de Â^{−1} extérieurs à Ẽ sont nuls. De plus

det Â = max{det B; B ∈ A}.

Exemple 9.1. Donnons un exemple avant de montrer la proposition. On prend le graphe triangulé

∘^{1} − − −− ∘^{2} − − −− ∘^{3} − − −− ∘^{4} − − −− ∘^{5}

La proposition dit qu’on peut trouver au plus une famille de nombres x et y tels que

Â = [ \begin{matrix}1 & 1 & x & x & x \\ 1 & 2 & 2 & x & x \\ x & 2 & 3 & 3 & x \\ x & x & 3 & 4 & 4 \\ x & x & x & 4 & 5 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}y & y & 0 & 0 & 0 \\ y & y & y & 0 & 0 \\ 0 & y & y & y & 0 \\ 0 & 0 & y & y & y \\ 0 & 0 & 0 & y & y \end{matrix} ]^{−1} .

On verra plus tard au Théorème 9.5

que sur cet exemple on est sûr que A est non vide et on apprendra à calculer les x et y au Théorème 9.6.

Démonstration. 1) On munit comme d’habitude l’espace des matrices symétriques réelles d’ordre n de la structure euclidienne ⟨B, B′⟩ = tr (BB′). On sait que le cône des matrices positives \overline{Ω} est fermé. Donc \overline{A} est fermé, comme intersection de \overline{Ω} et d’une variété affine. Enfin si B = C^{2} ∈ \overline{Ω} prolonge A alors ∥C∥^{2} = tr B = a_{11} + ⋯ + a_{nn} et donc l’ensemble des C ∈ \overline{Ω} tels que C^{2} prolonge A est donc borné. Comme C ↦ C^{2} est continue, \overline{A} est donc compact. Montrons que \overline{A} est la fermeture de A.

2) A est l’intersection, supposée non vide, du cône des matrices symétriques définies positives avec un espace affine. De plus la fonction B ↦ log det B est strictement concave et sa différentielle sur l’espace F des matrices symétriques qui prolonge la matrice incomplète nulle est

H ↦ tr HB^{−1}.

Cette fonction atteint donc son maximum sur le compact \overline{A}. Comme elle est nulle sur \overline{A} \ A, elle atteint son maximum sur l’ouvert convexe A. D’après la stricte convexité c’est atteint en un seul point Â, qui satisfait à la conclusion de la proposition.

Nous allons maintenant examiner à quelles conditions sur A et G l’ensemble A ci dessus est non vide. Il est clair que si C est une clique maximale de G alors la matrice carrée A_{C} = (a_{ij})_{i,j∈C} est définie positive si A est non vide. Inversement, supposons que A_{C} soit définie positive pour toutes les cliques maximales de G. Pouvons nous affirmer que A se prolonge en une matrice symétrique B définie positive ? Réponse : non si G n’est pas triangulé (c’est à dire que si G n’est pas triangulé, on peut trouver une matrice incomplète A telle que les A_{C} soit définies positives mais improlongeable en une définie positive), et oui si G est triangulé. Le premier résultat est le plus facile des deux et dépend de la proposition suivante :

Proposition 9.2. Soit n un entier et A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} une matrive symétrique positive telle que a_{ij} = 1 si |i − j| ≤ 1. Alors a_{ij} = 1 pour tous i et j.

Démonstration. C’est trivial pour n = 2. Pour n = 3 on a det A = −(1 − a_{13})^{2} ≥ 0 et donc a_{13} = a_{31} = 1. Soit alors n ≥ 4 fixé. Nous allons montrer par récurrence sur k que pour tout k < n et pour tous i, j tels que |i − j| ≤ k on a a_{ij} = 1. C’est l’hypothèse pour k = 1. Si vrai pour k < n − 1 soit j = i + k + 1. Considérons la matrice extraite de A formée des lignes et colonnes i, i+k, j. Elle est positive d’ordre 3. D’après l’hypothèse de récurrence a_{i,i+k} = a_{i+k,j} = 1 et la diagonale est 1 : d’après le cas déjà étudié n = 3 on a a_{ij} = 1 et la récurrence est étendue. En l’appliquant à k = n − 1 cela termine la démonstration de la proposition.

Théorème 9.3. Soit G = (V, E) un graphe non triangulé avec V = {1, …, n}. Alors on peut choisir une matrice symétrique incomplète A associée à G telle que A_{C} soit positive (respectivement : définie positive) pour toute clique maximale C et soit non prolongeable en une matrice symétrique positive (respectivement : définie positive).

Démonstration. Puisque G est non triangulé, il existe donc un cycle sans corde de longueur p ≥ 4. Sans perte de généralité on suppose que c’est (1, 2, …, p, 1). Prenons alors la matrice symétrique incomplète A définie par a_{i,i+1} = 1 pour i = 1, 2, …, p − 1, a_{1,p} = −1 a_{ii} = 1 pour i = 1, 2, …, n et a_{ij} = 0 pour le reste de Ẽ. Alors A satisfait les hypothèses du théorème dans le cas positif. En effet, pour toute clique C alors C ∩ {1, 2, …, p} a 0, 1 ou 2 éléments. Si c’est 0 ou 1 alors A_{C} est une matrice identité et est positive. Si c’est 2, alors

A_{C} = diag([ \begin{matrix}1 & ϵ \\ ϵ & 1 \end{matrix} ] , 1, …, 1)

avec ϵ = −1 si {1, p} est inclus dans C et ϵ = 1 dans les autres cas. A_{C} est donc encore positive dans ce cas.

S’il existait un prolongement positif, alors d’après la Proposition 9.2 on aurait a_{ij} = 1 pour tous 1 ≤ i, j ≤ p, ce qui est faux pour i = 1 et j = p. Ensuite, pour traiter le cas défini positif, considérons la même matrice incomplète A et A_{ϵ} = A+ϵI_{n} avec ϵ > 0. Alors les (A_{ϵ})_{C} sont définis positifs. Si pour tout ϵ > 0 A_{ϵ} était prolongeable en une matrice symétrique définie positive B_{ϵ} alors, par compacité (voir Proposition 9.1 partie 1), on pourrait trouver une suite ϵ_{n} tendant vers 0 telle que B_{ϵ_{n}} converge vers une matrice B, qui évidemment prolonge A et est symétrique positive. On a vu qu’un tel B ne peut exister et la première partie est donc montrée.

Pour étudier la même question dans le cas où G est triangulé, nous énoncons maintenant une importante propriété des graphes triangulés due à Lueker, Rose et Tarjan (1976).

Proposition 9.4. Soit G = (V, E) et G′ = (V, E′) deux graphes triangulés sur le même ensemble V de sommets tels que E ⊂ E′. Alors on peut trouver une suite croissante E = E_{0} ⊂ E_{1} ⊂ ⋯ E_{s} = E′ telle que pour tout i = 1, …, s le graphe G_{i} = (V, E_{i}) soit triangulé et E_{i} \ E_{i−1} soit réduit à une seule arête.

Démonstration. Voici la démonstration de Lauritzen (1996). On procède par récurrence sur la taille n de V en supposant le résultat vrai pour tous graphes triangulés à n − 1 sommets, et on le montre maintenant pour n. Il suffit évidemment de montrer l’existence de E_{1}. Comme G = (V, E) n’est pas complet, le lemme de Dirac (Lemme 6.1) garantit l’existence de deux sommets simpliciaux u et v non adjacents. Considérons alors les quatre graphes G_{u}, G′_{u}, G_{v}, G′_{v} induits par G et G′ sur V \ {u} et V \ {v}. Si G_{u} = G′_{u} et G_{v} = G′_{v}, c’est dire que G et G′ ne différaient que par l’arête {u, v}. Sinon, supposons par exemple G_{u} ≠ G′_{u}. L’hypothèse de récurrence (rappelons qu’un graphe induit d’un graphe triangulé est triangulé) entraîne alors l’existence d’une arête {w, t} de G′_{u} non située dans G_{u} telle que le graphe

G_{0} = (V \ {u}, E_{V \{u}} ∪ {{w, t}}

soit triangulé. Comme u est simplicial dans G l’ensemble S de ses voisins dans G est complet. Par conséquent la partition propre de V suivante

V \ (S ∪ {u}), S, {u})

définit une décomposition du graphe

G_{1} = (V \, E ∪ {{w, t}})

qui est donc décomposable, ou triangulé d’après le Théorème 6.3. La proposition est donc montrée.

Théorème 9.5. Soit G = (V, E) un graphe triangulé avec V = {1, …, n}. Alors pour toute matrice symétrique incomplète A associée à G telle que A_{C} soit positive (respectivement : définie positive) pour toute clique maximale C, il existe une matrice symétrique B qui la prolonge et soit positive (respectivement : définie positive).

L’exemple 9.1 illustre ce théorème : il y a 4 cliques maximales C_{i} = {i, i + 1} avec i = 1, 2, 3, 4 et les matrices

A_{C_{i}} = [ \begin{matrix}i & i \\ i & i + 1 \end{matrix} ]

sont définies positives. Donc l’ensemble A de la Proposition 9.1 est non vide.

Démonstration.

Le graphe G est donc triangulé. Dans la Proposition 6.9 nous prenons G′ = (V, E′) comme le graphe complet. Nous montrons le résultat 2) du théorème par récurrence sur la taille k de E′ \ E. Si k = 0 c’est trivial. Supposons le résultat vrai pour k−1, donc en particulier pour le graphe G_{1} de la Proposition 8.4. Notons par {u, v} l’unique arête de G_{1} qui n’est pas dans G.

Nous montrons d’abord qu’il y a une et une seule clique maximale du graphe G_{1} qui contient l’arête {u, v}. S’il y en avait 2, disons C et C′, je dis qu’alors C ∪C′ serait complet, et donc puisque C est maximal C = C′. Soit donc z ∈ C et z′ ∈ C′, et montrons que {z, z′} est une arête de G_{1}. Si (z, u, z′, v) est formé de 4 points distincts, alors ils forment un cycle, car {z, u} {u, z′} {z′, v} et {v, z} sont des arêtes de G_{1}. L’astuce est que ce cycle de G_{1} est aussi un cycle de G. Le graphe G étant triangulé, le dit cycle a donc une corde dans G. Ce ne peut être {u, v} qui n’est pas dans E. C’est donc {z, z′} qui est la corde, et est une arête de G et donc de G_{1}. Dans le cas où (z, u, z′, v) n’est pas formé de 4 points distincts, la discussion est triviale.

Soit C_{0} la clique maximale ci dessus contenant {u, v}. Sans perte de généralité nous supposons u = 1, v = 2 et C_{0} = {1, 2, …, m + 2}. Nous avons supposé le résultat vrai pour G_{1}, c’est à dire que si A_{1} est une matrice symétrique incomplète associée à G_{1} telle que (A_{1})_{C} est positive (respectivement : définie positive) pour toute clique maximale de G_{1}, alors il existe une matrice B symétrique positive (respectivement : définie positive) qui la prolonge. Nous partons ensuite d’une matrice A symétrique incomplète associée à G (telle que A_{C} est positive ou définie positive pour toute clique maximale de G) et nous devons l’étendre à une matrice A_{1} symétrique incomplète associée à G_{1} telle que (A_{1})_{C} est positive ou définie positive pour toute clique maximale de G_{1}. Cela signifie que, étant donnés une matrice positive symétrique C d’ordre m, deux vecteurs colonnes b^{(1)} et b^{(2)} d’ordre m et deux nombres a_{11} et a_{22} tels que les deux matrices par blocs d’ordre m + 1 suivantes

B_{1} = [ \begin{matrix}a_{11} & ^{t}b^{(1)} \\ b^{(1)} & C \end{matrix} ] , B_{2} = [ \begin{matrix}a_{22} & ^{t}b^{(2)} \\ b^{(2)} & C \end{matrix} ]

soient positives, alors il est possible de trouver un nombre a_{12} tel que la matrice d’ordre m + 2 suivante

B = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ^{t}b^{(1)} \\ a_{12} & a_{22} & ^{t}b^{(2)} \\ b^{(1)} & b^{(2)} & C \end{matrix} ]

soit positive ou définie positive. La matrice incomplète A_{1} associée à G_{1} ainsi construite aura les propriétés voulues. En effet, si C est une clique maximale de G_{1} alors ou bien elle contient {u, v} et donc C = C_{0} et (A_{1})_{C} = B. Ou bien elle ne contient pas {u, v} et c’est donc aussi une clique maximale de G et donc (A_{1})_{C} = A_{C} est positive ou définie positive par hypothèse sur A.

Sans perte de généralité on peut supposer C diagonale (sinon, multiplier B de chaque coté par une matrice diag(1, 1, U) avec U bien choisi dans le groupe orthogonal d’ordre m. Si C = diag(c_{1}, c_{2}, …, c_{m}), sans perte de généralité on peut supposer les c_{i} > 0 (car si c_{i} = 0, alors b^{(1)_{i}} = b_{i}^{(2)} = 0 puisque B_{1} et B_{2} sont positives). On écrit pour simplifier B par blocs, avec des notations évidentes, et on l’écrit comme un produit de triangulaires et de diagonale par blocs :

B = [ \begin{matrix}α & ^{t}β \\ β & C \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}I_{2} & ^{t}βC^{−1} \\ 0 & I_{m} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}α −^{t} βC^{−1}β & 0 \\ 0 & C \end{matrix} ] [ \begin{matrix}I_{2} & 0 \\ C^{−1}β & I_{m} \end{matrix} ] .

Il est clair alors que B est positive ou est définie positive en même temps que

α −^{t} βC^{−1}β = [ \begin{matrix}a_{11} − ∑_{i=1}^{m} \frac{(b_{i}^{(1)})^{2}}{c_{i}} & a_{12} − ∑_{i=1}^{m} \frac{b_{i}^{(1)}b_{i}^{(2)}}{c_{i}} \\ a_{12} − ∑_{i=1}^{m} \frac{b_{i}^{(1)}b_{i}^{(2)}}{c_{i}} & a_{22} − ∑_{i=1}^{m} \frac{(b_{i}^{(2)})^{2}}{c_{i}} \end{matrix} ]  (9.25)

Rappelons alors une formule classique d’algèbre linéaire qui se démontre par récurrence sur m :

det [ \begin{matrix}a & b_{1} & b_{2} & … & b_{m} \\ b_{1} & c_{1} & 0 & … & 0 \\ b_{2} & 0 & c_{2} & … & 0 \\ … & 0 & … & … & 0 \\ b_{m} & 0 & 0 & … & c_{m} \end{matrix} ] = c_{1} … c_{m}(a − ∑_{i=1}^{m} \frac{b_{i}^{2}}{c_{i}}).  (9.26)

Cette formule montre que les éléments diagonaux de 10.48) sont ≥ 0 si B_{1} et B_{2} sont des matrices positives, et qu’ils sont > 0 si B_{1} et B_{2} sont définies positives. Par conséquent, en choisissant par exemple a_{12} égal à ∑_{i=1}^{m} \frac{b_{i}^{(1)}b_{i}^{(2)}}{c_{i}} alors 10.48) est bien positive ou définie positive et le théorème 9.5 est montré.

Nous allons maintenant énoncer un résultat beaucoup plus précis que la partie "définie positive" du théorème précédent. Avec les notations de la Proposition 9.1, et dans le cas d’un graphe triangulé, ce théorème donnait les conditions nécessaires et suffisantes sur la matrice incomplète A pour que le cône A soit non vide (à savoir que les A_{C} soient définis positifs pour toutes les cliques maximales C). La Proposition 8.1 affirmait alors l’existence d’une matrice unique Â de A telle que Â^{−1} ait ses entrées nulles dans V × V \ Ẽ. Dans le cas d’un graphe triangulé, le théorème suivant donne en fait une formule explicite pour Â. Pour énoncer celle ci, adoptons la notation suivante : Si C ⊂ V = {1, 2, …, n} et si M = (m_{i,j})_{i,j∈C} est une matrice carrée dont les coefficients sont indexés par C, on notera (M)_{0} la matrice (m_{i,j})_{i,j∈V} qui prolonge M et est telle que m_{i,j} = 0 si i ou j ne sont pas dans C.

Théorème 9.6. Soit G = (V, E) un graphe triangulé connexe, avec V = {1, 2, …, n}. Soit C et S les familles des cliques maximales et des séparateurs minimaux, et soit ν(S) la multiplicité de S ∈ S (c’est à dire que 1 + ν(S) est le nombre de composantes connexes U du graphe G_{V \S} telles que S n’est pas une clique maximale de S ∪ U). Soit ensuite A une matrice symétrique incomplète associée à G telle que A_{C} soit définie positive pour toute clique maximale. Alors la matrice Â définie à la Proposition 8.1 est donnée par

Â^{−1} = ∑_{C∈C}(A_{C}^{−1})_{0} − ∑_{S∈S} ν(S)(A_{S}^{−1})_{0}  (9.27)
det Â = ∏_{C∈C} det A_{C} ∏_{S∈S} det A_{S}^{−ν(S)}.  (9.28)

Exemple 9.2. On prend l’exemple du graphe de l’exemple 9.1 et de la matrice incomplète

A = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ & 2 & 3 & 3 \\ & & 3 & 4 & 4 \\ & & & 4 & 5 \end{matrix} ] .

Les cliques sont C_{q} = {q, q + 1}, q = 1, 2, 3, 4 et les séparateurs sont S_{q} = {q}, q = 2, 3, 4, tous de multiplicité 1. On a donc

A_{C_{q}}^{−1} = [ \begin{matrix}1 + \frac{1}{q} & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ] ,

et A_{S_{q}}^{−1} = 1/q. Le théorème dit que

Â^{−1} = [ \begin{matrix}2 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3/2 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

+ [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4/3 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5/4 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 1 \end{matrix} ]

− [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

= [ \begin{matrix}2 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 2 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 2 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 1 \end{matrix} ] .

Exemple 9.3. On prend le graphe à 5 sommets V = {0, 1, …, 4} avec 4 arêtes C_{q} = {0, q}. C’est un arbre, donc les arêtes sont les cliques maximales et le graphe est triangulé. Il n’y qu’un séparateur, qui est S = {0}. Comme le graphe privé de S a 4 composantes connexes, le séparateur S est de multiplicité 3. Considérons la matrice incomplète A adaptée à ce graphe

A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & & 1 \\ 1 & & & 1 \\ 1 & & & & 1 \end{matrix} ] .

Alors A_{C_{q}}^{−1} = [ \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ] et A_{S}^{−1} = 1/2. Donc on a

Â^{−1} = [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}1 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

+ [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ] − 3 [ \begin{matrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

= [ \begin{matrix}\frac{5}{2} & −1 & −1 & −1 & −1 \\ −1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ]

Démonstration. Munissons C d’un ordre parfait (C_{1}, …, C_{k}). On sait d’après le Corollaire 8.4 que si H_{q} = C_{1} ∪ … ∪ C_{q}, alors la suite des S_{q} = H_{q−1} ∩ C_{q} avec q = 2, …, k prend ses valeurs dans S et que ν(S) est le nombre de q tels que S = S_{q}. Nous devons donc montrer que

Â^{−1} = ∑_{q=1}^{k}(A_{C_{q}}^{−1})_{0} − ∑_{q=2}^{k}(A_{S_{q}}^{−1})_{0}  (9.29)

det Â = ∏_{q=1}^{k} det A_{C_{q}} ∏_{q=2}^{k} det A_{S_{q}}^{−1}.  (9.30)

Nous montrons alors le résultat par récurrence sur le nombre k de cliques maximales. Le résultat est trivial pour k = 1. Supposons le vrai pour k − 1.

On s’appuie alors sur le résultat d’algèbre linéaire :

Proposition 9.7. Soit x une matrice symétrique définie positive écrite par blocs :

x = [ \begin{matrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix} ] .

Alors il y a équivalence entre les faits suivants :

1. On a x_{13} = x_{12}x_{22}^{−1}x_{23}.

2. On a (x^{−1})_{13} = 0.

Dans ces conditions, si on note x_{K} = [ \begin{matrix}x_{22} & x_{23} \\ x_{32} & x_{33} \end{matrix} ] et x_{M} = [ \begin{matrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} ] , alors

on a les égalités

det x det x_{22} = det x_{M} det x_{K},  (9.31)

x^{−1} = [ \begin{matrix}x_{M}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & x_{K}^{−1} \end{matrix} ] − [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & x_{22}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] .  (9.32)

Acceptons quelques instants cette proposition, et appliquons la à la décomposition par blocs de x = Â correspondant à H_{k−1} \ S_{k} pour le bloc 1, à S_{k} pour le bloc 2 et à C_{k} \ S_{k} pour le bloc 3. On voit qu’avec les notations de la proposition on a x_{22} = A_{S_{k}}, x_{M} = A_{C_{k}} et enfin que

x_{K} = Â_{H_{k−1}}.

On est alors en position d’appliquer l’hypothèse de récurrence à la matrice incomplète B qui est la restriction à H_{k−1} de la matrice incomplète A, puisque G_{H_{k−1}} n’a que k − 1 cliques. B̂ existe donc et satisfait

B̂^{−1} = ∑_{q=1}^{k−1}(A_{C_{q}}^{−1})_{0} − ∑_{q=2}^{k−1}(A_{S_{q}}^{−1})_{0}  (9.33)

det B̂ = ∏_{q=1}^{k−1} det A_{C_{q}} ∏_{q=2}^{k−1} det A_{S_{q}}^{−1}.  (9.34)

D’après l’unicité de B̂ garantie par la Proposition 9.1, on a B̂ = Â_{H_{k−1}}. La Proposition 9.7, 9.33) et 9.34) permettent de passer à 9.27) et 9.28), qui sont donc montrés.

Démonstration de la Proposition 9.7. Elle utilise la formule

[ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & BC^{−1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}(A − BC^{−1}B^{T}) & 0 \\ 0 & C \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 0 \\ C^{−1}B^{T} & 1 \end{matrix} ] (9.35)

appliquée aux matrices A = [ \begin{matrix}x_{11} & x_{13} \\ x_{31} & x_{33} \end{matrix} ] , B^{T} = [x_{21}, x_{23}] et C = [x_{22}]. Pour

éviter des expressions monstrueuses, nous adoptons la notation suivante : pour i, j, k dans {1, 2, 3} on note

x_{(ij)k} = x_{ij} − x_{ik}x_{kk}^{−1}x_{kj},  (9.36)

qu’il n’est pas difficile de mémoriser.

Puisque

[ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ]^{−1} = [ \begin{matrix}(A − BC^{−1}B^{T})^{−1} & X \\ X^{T} & Y \end{matrix} ]

où les X et Y sont des matrices qu’il est inutile de spécifier ici, on obtient

(A − BC^{−1}B^{T})^{−1} = [[ \begin{matrix}x_{11} & x_{13} \\ x_{31} & x_{33} \end{matrix} ] − [ \begin{matrix}x_{12} \\ x_{32} \end{matrix} ] x_{22}^{−1} [ x_{21} x_{23} ]]^{−1}
= [ \begin{matrix}x_{(11)2} & x_{(13)2} \\ x_{(31)2} & x_{(33)2} \end{matrix} ]^{−1}

Cette égalité montre l’équivalence annoncée, puisque l’entrée (1, 3) de x^{−1} est x_{(13)2} = x_{13} − x_{12}x_{22}^{−1}x_{23}.

Pour démontrer la fin de la proposition, on utilise l’identité suivante, hideuse mais efficace.

x = [ \begin{matrix}1 & x_{12}x_{22}^{−1} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & x_{32}x_{22}^{−1} & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{(11)2} & 0 & x_{(13)2} \\ 0 & x_{22} & 0 \\ x_{(31)2} & 0 & x_{(33)2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ x_{22}^{−1}x_{21} & 1 & x_{22}^{−1}x_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] . (9.37)

Elle ne prend pas longtemps à vérifier. Ensuite, si on suppose que x_{(13)2} = 0, la matrice centrale du second membre de 9.37) devient diagonale et comme en général

[ \begin{matrix}1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \end{matrix} ]^{−1} = [ \begin{matrix}1 & −a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & −b & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ a & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]^{−1} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −a & 1 & −b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] ,

la matrice x est facile à inverser. On obtient donc l’inverse x^{−1} :

[ \begin{matrix}x_{(11)2}^{−1} & −x_{(11)2}^{−1}x_{12}x_{22}^{−1} & 0 \\ −x_{22}^{−1}x_{21}x_{(11)2}^{−1} & x_{22}^{−1}x_{21}x_{(11)2}^{−1}x_{12}x_{22}^{−1} + x_{22}^{−1}x_{23}x_{(33)2}^{−1}x_{32}x_{22}^{−1} + x_{22}^{−1} & −x_{(33)2}^{−1}x_{32}x_{22}^{−1} \\ 0 & −x_{22}^{−1}x_{23}x_{(33)2}^{−1} & x_{33} \end{matrix} ] .

(9.38)

A ce point, on utilise la formule 9.35) appliquée à la matrice x_{K} en prenant A = x_{11}, B = x_{12} et C = x_{22}. Cela nous donne la formule explicite pour x_{K}^{−1} :

x_{K}^{−1} = [ \begin{matrix}x_{(11)2}^{−1} & −x_{(11)2}^{−1}x_{12}x_{22}^{−1} \\ −x_{22}^{−1}x_{21}x_{(11)2}^{−1} & x_{22}^{−1}x_{21}x_{(11)2}^{−1}x_{12}x_{22}^{−1} + x_{22}^{−1} \end{matrix} ] ,

et une formule similaire pour x_{M} obtenue en changeant 1 en 3. En comparant avec 9.38), la formule 9.32) est montrée.

Reste à montrer la formule 9.31) sous l’hypothèse x_{(13)2} = 0. Dans ce cas la formule 9.37) donne det x = det x_{22} det x_{(11)2} det x_{(33)2}. Cependant la formule 9.35) appliquée à A = x_{11}, B = x_{12} et C = x_{22} donne det x_{K} = det x_{22} det x_{(11)2}. De même, det x_{K} = det x_{22} det x_{(33)2}. Donc 9.31) est montré, ce qui achève la démonstration de la Proposition 9.7. A noter que l’exercice 2.3 fournissait une démonstration probabiliste de 9.31).

Remarque. La formule x_{13} = x_{12}x_{22}^{−1}x_{23} de la Proposition 9.7, contient un algorithme pour calculer directement Â, alors que le Théorème 9.6 ne donnait que Â^{−1} et qu’il peut être pénible de calculer l’inverse d’une grande matrice. Cet algorithme n’utilise que des inverses de petites matrices, de la forme A_{S} où S est un séparateur minimal du graphe triangulé. On part d’un ordre parfait (C_{1}, …, C_{k}) entre les cliques, et on note (S_{2}, …, S_{k}) la suite associée de séparateurs minimaux. On applique x_{13} = x_{12}x_{22}^{−1}x_{23} au cas où le bloc 1 est défini par C_{1} \ S_{2}, le bloc 2 est défini par S_{2} et le bloc 3 est défini par C_{2} \ S_{2}. Ainsi la partie de Â correspondant à C_{1} \ S_{2} × C_{2} \ S_{2} se trouve t-elle déterminée, au prix de l’inversion de x_{22} = A_{S_{2}}. La matrice Â est donc maintenant connue sur H_{2} × H_{2}, avec H_{2} = C_{1} ∪ C_{2}. De même on détermine la partie de Â correspondant à H_{1} \ S_{3} × C_{3} \ S_{3} au prix de l’inversion de x_{22} = A_{S_{3}}, et la matrice Â est donc maintenant connue sur H_{3} × H_{3}, avec H_{3} = H_{2} ∪ C_{3}. Et ainsi de suite.

Revenons à l’exemple 9.2. L’ordre (C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}) est parfait. Notons Â = (a_{ij})_{1≤i,j≤k}. En appliquant la procédure précédente on obtient successivement

a_{13} = 1 × \frac{1}{2} × 2 = 1
[ \begin{matrix}a_{14} \\ a_{24} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ] × \frac{1}{3} × 3 = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ]

[ \begin{matrix}a_{15} \\ a_{25} \\ a_{35} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ] × \frac{1}{4} × 4 = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ]

Exercice 9.1. Voici une matrice incomplète A d’ordre 8. Trouver le graphe triangulé à huit sommets auquel elle est associée, ses cliques maximales, ses séparateurs minimaux et leurs multiplicités respectives. Vérifier que A satisfait les hypothèses du théorème 9.6. Trouver ensuite Â^{−1}. (Ici, le calcul direct de Â par l’algorithme expliqué ci dessus est laborieux : il est plus simple d’inverser Â^{−1} par Maple).

A = [ \begin{matrix}2 & 3 \\ 3 & 6 & 8 \\ & 8 & 12 & 15 \\ & & 15 & 20 & 24 \\ & & & 24 & 30 & 20 & & 15 \\ & & & & 20 & 14 & 7 \\ & & & & & 7 & 4 \\ & & & & 15 & & & 8 \end{matrix} ] .

Exercice 9.2. Dans l’exemple 9.3 calculer Â sans utiliser le calcul fait de Â^{−1}, mais au contraire l’algorithme décrit ci dessus.

Exercice 9.3. Soit le graphe A_{n} à n sommets

∘^{1} − − − ∘^{2} − − − ∘^{3} ⋯ ∘ − − − ∘^{n};

Soient r_{1}, …, r_{n} des nombres positifs, t_{i} = ∑_{j=1}^{i} 1/r_{j}, a_{ij} = min(t_{i}, t_{j}), et la matrice incomplète A = (a_{ij})_{(i,j)∈Ẽ} associée au graphe. Montrer que A satisfait aux hypothèses du Théorème 9.6, et calculer Â^{−1} et Â (l’exemple 9.2 est le cas particulier n = 5 et r_{i} = 1).

Exercice 9.4. Si G est triangulé connexe et si i est un sommet, montrer que le nombre de cliques maximales contenant i est égal à un plus la somme des multiplicités des séparateurs minimaux contenant i. Méthode : appliquer le Théorème 9.6 à une matrice incomplète A diagonale quelconque.

10 Intégrales et cônes liés à un graphe triangulé

Commencons par montrer un résultat de nature géométrique. C’est une application simple de l’ordre parfait entre les sommets à la recherche des génératrices extrémales des cônes P_{G} et Q_{G} (Une demi droite D = {λX; λ ≥ 0} d’un cône fermé convexe C dans un espace normé est appelée une génératrice extrémale de C si X = X′ + X′′ avec X′ et X′′ dans C n’est possible que si X′ et X′′ sont dans D.)

Théorème 10.1. Soit G = (V, E) un graphe triangulé connexe, avec V = \{1, …, n\}. Soit P_{G} (resp \overline{P_{G}}) le cône convexe ouvert (resp. fermé) des matrices symétriques définies positives (resp. positives) y = (y_{ij})_{1≤i,j≤n} telles que y_{ij} = 0 si i ≠ j et \{i, j\} ∉ E. Soit Q_{G} (resp \overline{P_{G}}) le cône convexe ouvert (resp. fermé) des matrices incomplètes symétriques x = (x_{ij})_{(i,j)∈Ẽ} telles que x_{C} soit définie positive (resp. positive) pour toute clique maximale C de G. Alors Q_{G} est le cône dual ouvert de P_{G}, c’est à dire que

Q_{G} = \{y; tr (xy) > 0 ∀x ∈ \overline{P_{G}} \ \{0\}\}.  (10.39)

10. INTÉGRALES ET CÔNES LIÉS À UN GRAPHE TRIANGULÉ 43

De plus

– Si y ∈ \overline{P_{G}} alors y engendre une demi droite extrémale si et seulement si y est de rang 1 et si et seulement si il existe une clique maximale C et une matrice b = (b_{1}, …, b_{n}) non nulle telle que b_{i} = 0 si i ∉ C tels que y = b^{T} b. Tout élément de \overline{P_{G}} est somme d’au plus n éléments de \overline{P_{G}} de rang 1.

– Si x ∈ \overline{Q_{G}} alors x engendre une demi droite extrémale si et seulement si x est prolongeable en une matrice de rang 1 et si et seulement si pour toute clique maximale C alors x_{C} est de rang 1. Tout élément de \overline{Q_{G}} est somme d’au plus n éléments de \overline{Q_{G}} appartenant à des demi droites extrémales.

Démonstration. Elle se fait en trois parties : les extrémales de \overline{P_{G}}, celles de \overline{Q_{G}} et la dualité. Il est clair que \overline{P_{G}} et \overline{Q_{G}} sont les fermetures de P_{G} et de Q_{G}.

Les extrémales de \overline{P_{G}}. Si y dans \overline{P_{G}} est de rang 1, alors il existe b^{T} = (b_{1}, …, b_{n}) non nulle telle que y = bb^{T} . Soit S = {i; b_{i} ≠ 0}. Alors S est complet, car si il existe i et j dans S tels que {i, j} ∉ E, alors y_{ij} = b_{i}b_{j} = 0, contradiction. Une clique maximale C contenant S a donc les propriétés voulues. Pour voir que si y = bb^{T} alors D = {λy; λ ≥ 0} est une génératrice extrémale, on écrit bb^{T} = y′ + y′′ avec y′ et y′′ dans \overline{P_{G}}. Pour tout a^{T} = (a_{1}, …, a_{n}) tel que a^{T} b = a_{1}b_{1} + ⋯ + a_{n}b_{n} = 0 on a donc

0 = (a^{T} b)^{2} = a^{T} y′a + a^{T} y′′a

et donc a^{T} y′a = a^{T} y′a = 0 à cause de la positivité des matrices y′ et y′′. Comme c’est vrai pour tout a orthogonal à b dans IR^{n} euclidien canonique cela montre que y′ et y′′ sont dans D.

Inversement soit y ∈ \overline{P_{G}} et montrons qu’on peut l’écrire comme somme d’au plus n éléments de rang 1 de \overline{P_{G}} linéairement indépendants. Ici interviendra le fait que G est triangulé. On procède par récurrence sur n. C’est trivial pour n = 1 et on suppose le résultat vrai jusqu’à n − 1. Sans perte de généralité, d’après le Théorème 7.2 on suppose que (1, 2, …, n) est un ordre parfait entre les sommets. Soit k = max{j; y_{jj} ≠ 0}. Alors y_{ij} = 0 si i ou j est > k. Si k < n on applique l’hypothèse de récurrence au graphe induit sur {1, …, k}. Si k = n on écrit

y = [ \begin{matrix}a & b \\ b^{T} & y_{nn} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}I_{n−1} & by_{nn}^{−1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}a − by_{nn}^{−1}b^{T} & 0 \\ 0 & y_{nn} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}I_{n−1} & 0 \\ y_{nn}^{−1}b^{T} & 1 \end{matrix} ]

ce qui montre que a − by_{nn}^{−1}b^{T} est positive d’ordre n − 1. Ensuite, comme n est simplicial (le point crucial), si b^{T} = (b_{1}, …, b_{n−1}) alors b_{j} ≠ 0 entraîne j ∼ n car y ∈ \overline{P_{G}}. Donc si b_{0}^{T} = (b_{1}, …, b_{n−1}, y_{n}) on a donc b_{0} ≠ 0 et \frac{1}{y_{nn}} b_{0}b_{0}^{T} ∈ \overline{P_{G}}. Donc

y = [ \begin{matrix}a − by_{nn}^{−1}b^{T} & 0 \\ 0 & y_{nn} \end{matrix} ] + \frac{1}{y_{nn}} b_{0}b_{0}^{T} .

Il est clair que les deux matrices du second membre sont dans \overline{P_{G}} et sont linéairement indépendantes. On peut alors appliquer l’hypothèse de récurrence à a − by_{nn}^{−1}b^{T} et au graphe triangulé induit sur {1, …, n − 1} et le résultat est montré. Il entraîne que les génératrices extrémales ont la forme indiquée.

Les extrémales de \overline{Q_{G}}. Commencons par montrer la dernière partie. C’est trivial dans un sens : si x = (x_{ij}) est la restriction d’une matrice de rang 1, alors x_{C} est certainement de rang 1 pour toute clique maximale. Inversement, nous allons montrer par récurrence sur le nombre k de cliques maximales de G le résultat suivant : si x ∈ Q_{G} est telle que x_{C} est de rang 1 pour toute clique maximale C, alors il existe une matrice symétrique positive de rang 1 dont x est la restriction. Pour k = 1, c’est trivial. Supposons le résultat vrai pour k − 1 et soit (C_{1}, …, C_{k}) une énumération parfaite des cliques. Notons pour simplifier M = C_{1} ∪ … ∪ C_{k−1}, K = C_{k} et S = M ∩ K. D’après l’hypothèse de récurrence, x restreint à G_{M} est la restriction d’une matrice (a_{i}a_{j})_{i,j∈M}. D’autre part, par hypothèse x_{K} est de la forme (b_{i}b_{j})_{i,j∈K} et on a a_{i}a_{j} = b_{i}b_{j} pour tous i, j ∈ S. Donc a_{i}^{2} = b_{i}^{2} si i ∈ S, et il existe donc ϵ_{i} = ±1 tel que b_{i} = ϵ_{i}a_{i}. Donc ϵ_{i}ϵ_{j} = 1 pour tous i, j ∈ S et donc ϵ_{i} est égal à la constante ϵ_{S} sur S. Définissons alors a_{j} pour j ∈ K \ S par a_{j} = ϵ_{S}b_{j}. On a alors a_{i}a_{j} = b_{i}b_{j} pour tous i, j ∈ K. C’est évident pour i, j ∈ S et i, j ∈ K \ S. Si i ∈ S et j ∈ K \ S alors b_{i}b_{j} = ϵ_{i}a_{i}ϵ_{S}a_{j} = a_{i}a_{j}. La matrice incomplète x est bien la restriction de la matrice de rang 1 (a_{i}a_{j})_{1≤i,j≤n} et la récurrence est étendue.

Montrons ensuite que si x ∈ \overline{Q_{G}} et si x_{C} est de rang 1 pour tout C alors x engendre une demi droite extrémale de \overline{Q_{G}}. En effet, si x = x′ + x′′ avec x′ et x′′ dans \overline{Q_{G}} alors pour tout C on a x_{C} = x′_{C} + x′′_{C}. Comme x_{C} est de rang 1 et que x′_{C} et x′′_{C} sont positives cela entraine qu’il existe des nombres λ′_{C} et λ′′_{C} tels que x′_{C} = λ′_{C}x_{C} et x′′_{C} = λ′′_{C}x_{C}. Mais comme G est connexe, on voit facilement que C ↦ (λ′_{C}, λ′′_{C}) est constant et donc x′ = λ′x, x′′ = λ′′x. Donc x engendre une demi droite extrémale de \overline{Q_{G}}.

Montrons enfin que si x engendre une demi droite extrémale de \overline{Q_{G}} alors x est la restriction d’une matrice de rang 1. En effet, d’après le Théorème 9.5, il existe une matrice symétrique positive M dont x est la restriction. Si cette matrice M n’est pas de rang 1, on l’écrit comme somme de q matrices symétriques positives M_{j} de rang 1, avec 2 ≤ q ≤ n, soit M = M_{1} + ⋯ + M_{q}. On note x_{j} la restriction de M_{j}. Il est clair que x_{j} ≠ 0 car M_{j} a au moins un élément diagonal non nul, et donc x = x_{1} + ⋯ + x_{q} n’engendre pas une demi droite extrémale.

La dualité. Les éléments de P_{G} et Q_{G} s’identifient naturellement à des éléments de F = IR^{V ∪E}. Il est connu que l’ensemble des matrices symétriques définies positives d’ordre n forment un cône convexe ouvert de l’espace IR^{n(n+1)/2}, dont F est un sous espace. Donc P_{G} est un ouvert de F. Sa fermeture \overline{P_{G}} dans F est le cône convexe fermé de la Proposition 7.4. Notons par P_{G}^{∗} le second membre de 10.39).

Montrons Q_{G} ⊃ P_{G}^{∗}. Soit x ∈ P_{G}^{∗}. Alors en tant qu’élément de F, x est identifié à une matrice symétrique incomplète gouvernée par E. Si C est une clique maximale, montrons que x_{C} est définie positive. Soit b^{T} = (b_{1}, …, b_{n}) un vecteur ligne quelconque tel que b_{i} = 0 si i ∉ C. Notons b_{C} sa restriction à C. Alors y = b^{T} b est dans \overline{P_{G}} et puisque x ∈ P_{C}^{∗} on a

0 < tr (xy) = b_{C}^{T}x_{C}b_{T}

et x_{C} est bien définie positive, puisque c’est vrai pour tout b_{C}. Donc x ∈ Q_{G}.

Montrons Q_{G} ⊂ P_{G}^{∗}. Soit x ∈ Q_{G}. Pour toute clique maximale C et tout b^{T} = (b_{1}, …, b_{n}) vecteur ligne quelconque tel que b_{i} = 0 si i ∉ C on vient de voir que si y = b^{T} b on a tr xy > 0. Or on a vu à la Proposition 7.4 que tout y de \overline{P_{G}} non nul est somme d’un nombre fini non nul de y_{i} ∈ \overline{P_{G}} de rang 1, donc de la forme y_{i} = b_{i}^{T} b_{i} où les éléments de la matrice colonne b_{i} sont nuls en dehors d’une clique maximale C_{i}. Il est clair que tr xy = ∑_{i}(b_{i})_{C_{i}}^{T}x_{C_{i}}(b_{i})_{C_{i}} > 0 pour un tel y et donc x ∈ P_{G}^{∗}, ce qui achève la démonstration du Théorm̀e 10.1.

Pour terminer ces remarques sur les cônes, il peut être utile de mentionner qu’en général, les cône convexes Q_{G} et P_{G} ne sont pas des cônes homogènes, c’est à dire des cônes tels que leurs groupes d’automorphismes linéaires agiraient transitivement sur le cône. Le plus simple des contre exemples est donné par le graphe A_{4} suivant

∘^{1} − − − ∘^{2} − − − ∘^{3} − − − ∘^{4}

Pour vérifier que Q_{A_{4}} n’est pas homogène, caractérisons d’abord son groupe d’automorphismes. Nous notons par G(Q_{A_{4}}) le groupe des automorphismes linéaires de Q_{A_{4}}, c’est à dire l’ensemble des g automorphismes de F, l’espace des matrices incomplètes associées à A_{4} tels que de plus g(Q_{A_{4}}) = Q_{A_{4}}. Un raisonnement simple montre alors que g(\overline{Q_{A_{4}}}) = \overline{Q_{A_{4}}}. Paramétrons les éléments de F ainsi

M(x; y) = [ \begin{matrix}x_{1} & y_{1} \\ y_{1} & x_{2} & y_{2} \\ & y_{2} & x_{3} & y_{3} \\ & & y_{3} & x_{4} \end{matrix} ] .

Soit G le sous groupe de G(Q_{A_{4}}) formé des g tels que il existe des nombres a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} tous non nuls, et deux nombres b et c tels que

g(M(x; y)) = [ \begin{matrix}a_{1}^{2}x_{1} + 2a_{1}by_{1} + b^{2}x_{2} & a_{2}(a_{1}y_{1} + bx_{2}) \\ a_{2}(a_{1}y_{1} + bx_{2}) & a_{2}^{2}x_{2} & a_{2}a_{3}y_{2} \\ & a_{2}a_{3}y_{2} & a_{3}^{2}x_{3} & a_{3}(a_{4}y_{3} + cx_{3}) \\ & & a_{3}(a_{4}y_{3} + cx_{3}) & a_{4}^{2}x_{4} + 2a_{4}cy_{1} + c^{2}x_{3} \end{matrix} ] .

(10.40)

Nous allons voir que – G est bien un sous groupe de G(Q_{A_{4}}); – G n’agit pas transitivement sur Q_{A_{4}};

– L’indice de G dans G(Q_{A_{4}}) est 2 ;

– G(Q_{A_{4}}) n’agit pas transitivement sur Q_{A_{4}}.

Le premier point se vérifie facilement en contrôlant la définie positivité de trois matrices d’ordre 2 par calcul de leurs déterminants respectifs. Pour le second point on raisonne par l’absurde en supposant que G agit transitivement. On le fait agir sur M(1, 1, 1, 1; 0, 0, 0) pour obtenir

g(M(1, 1, 1, 1; 0, 0, 0)) = [ \begin{matrix}a_{1}^{2} + b^{2} & a_{2}b \\ a_{2}b & a_{2}^{2} & 0 \\ & 0 & a_{3}^{2} & a_{3}c \\ & & a_{3}c & a_{4}^{2} + c^{2} \end{matrix} ] .

On voit que les M(x; y) tels que y_{2} ≠ 0 ne peuvent être dans G(M(1, 1, 1, 1; 0, 0, 0)) et la contradiction est acquise.

Le troisième point est plus délicat. Commencons par expliquer comment on était conduit à 10.40). Pour i = 1, 2, 3 les inéquations x_{i}x_{i+1} − y_{i}^{2} ≥ 0, x_{i} ≥ 0 et x_{i+1} ≥ 0, avec toutes les autres variables x_{j} et y_{j} nulles sont celles d’une face F_{i} de dimension 3 du cône convexe fermé \overline{Q_{A_{4}}}. Montrons que g ∈ G si et seulement si g ∈ G(Q_{A_{4}}) et g(F_{i}) = F_{i} pour i = 1, 2, 3. Le "seulement si" est clair. Pour voir la partie "si", nous admettons le résultat suivant : si P_{r} est le cône des matrices symétriques définies positives réelles d’ordre r et si g est un automorphisme de l’espace des matrices symétriques réelles d’ordre r, alors g(P_{r}) = P_{r} si et seulement si il existe une matrice réelle inversible A d’ordre r telle que g(x) = AxA^{T} pour tout x ∈ P_{r} (C’est un amusant exercice d’algèbre linéaire : pour révéler a_{11} faire agir g sur E_{11}, pour révéler a_{12} faire agir g sur E_{11} + E_{12} + E_{21} + E_{22}, où E_{ij} est la matrice avec un 1 en (i, j) et des zéros ailleurs).

Appliquons alors ce principe à r = 2. Puisque g(F_{i}) = F_{i} il existe des

matrices A_{i} = [ \begin{matrix}a_{i} & b_{i} \\ c_{i} & d_{i} \end{matrix} ] telles que la restriction de g ∈ G(Q_{A_{4}}) à F_{i} soit de la

forme

A_{i} [ \begin{matrix}x_{i} & y_{i} \\ y_{i} & x_{i+1} \end{matrix} ] A_{i}^{T} .

En écrivant les conditions de compatibilité pour les entrées x_{2} et x_{3} pour g(M(x, y)) on voit qu’il faut que c_{1} = c_{2} = b_{2} = b_{3} = 0 et que d_{i} = a_{i+1}, ce qui conduit à 10.40). Ensuite, G est au moins d’indice 2, puisque la symétrie S

(x, y) ↦ (x_{4}, x_{3}, x_{2}, x_{1}; y_{3}, y_{2}, y_{1})

est clairement un élément de G(Q_{A_{4}}) qui n’est pas dans G. Nous montrons maintenant que G(Q_{A_{4}}) = G ∪ SG. Cela entraine le quatrième point, puisque que les M(x; y) tels que y_{2} ≠ 0 ne peuvent pas non plus être dans SG(M(1, 1, 1, 1; 0, 0, 0).

Pour conclure, on remarque que le fait que Q_{A_{4}} ne soit pas homogène entraine que P_{A_{4}} ne l’est pas non plus. En effet ces deux cônes sont duaux.

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Le passage précédent est à revoir. Il faut en fait montrer que les éléments du groupe des automorphismes de P_{G} pour un graphe triangulé quelconque sont de la forme x ↦ axa^{∗}. Les ordres parfaits des cliques pourraient être liés aux représentations de ce groupe.

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Nous calculons pour commencer une intégrale auxiliaire où les graphes triangulés n’ont rien à faire :

Proposition 10.2. Soit E et F deux espaces euclidiens de dimensions n et m, et soit a et b des endorphismes symétriques définis positifs de E et F respectivement. On munit L = L(E, F) de la structure euclidienne ⟨x, y⟩ = tr (x^{∗}y), où x^{∗} ∈ L(F, E) est l’adjoint de x, et on munit L de la mesure de Lebesgue dx associée à cette structure euclidienne. Alors

1. L’application x ↦ bxa est un endomorphisme symétrique défini positif de L, de déterminant D = det a^{m} det b^{n}.

2. Pour tout y ∈ L on a

∫_{L} e^{−tr (x^{∗}bxa)+2 tr (x^{∗}y)}dx = \frac{π^{mn/2}}{D^{1/2}} e^{tr (y^{∗}b^{−1}ya^{−1})}.  (10.41)

3. La fonction sur L définie par x ↦ e^{−tr (x^{∗}bxa)+2 tr (x^{∗}y)} est proportionnelle à la densité d’une loi gaussienne sur L de covariance x ↦ \frac{1}{2}b^{−1}xa^{−1} et de moyenne b^{−1}ya^{−1}.

Démonstration. Puisque (y^{∗}bxa)^{∗} = ax^{∗}by il est clair que ⟨y, bxa⟩ = ⟨x, bya⟩ et donc que x ↦ bxa est un endomorphisme symétrique de L. Soit e et f des bases orthonormées de E et F qui diagonalisent a et b. Notons [a]_{e}^{e} = diag(α_{1}, …, α_{n}) et [b]_{f}^{f} = diag(β_{1}, …, β_{m}).

Si x ∈ L a pour matrice représentative [x]_{e}^{f} = (x_{ij}) alors pour x ≠ 0 on a

tr (x^{∗}bxa) = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} α_{j}β_{i}x_{ij}^{2} > 0,  (10.42)

ce qui montre la positivité de x ↦ bxa. Il est clair que ses vecteurs propres sont les f_{i} ⊗ e_{j}, lélément de L défini par v ↦ f_{i}⟨e_{j}, v⟩, et qui est associé à la valeur propre α_{j}β_{i}. Donc son déterminant est

D = ∏_{ij}(α_{j}β_{i}) = (∏_{i=1}^{m} β_{i})^{n} (∏_{j=1}^{n} α_{j})^{m} = (det a)^{m}(det b)^{n}.

Ensuite, pour exploiter 10.42) on écrit

∫_{−∞}^{∞} e^{−α_{j}β_{i}x_{ij}^{2}+2x_{ij}y_{ij}}dx_{ij} = \frac{π^{1/2}}{(α_{j}β_{i})^{1/2}} e^{\frac{y{2 \atop ij}}{α_{j} β_{i}}} .

En utilisant ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} \frac{y_{ij}^{2}}{α_{j}β_{i}} = tr (y^{∗}b^{−1}ya^{−1}) ainsi que 10.42) on a le résultat 10.41). La troisième partie est une conséquence immédiate de 10.41).

Citons ensuite l’intégrale de Wishart :

Proposition 10.3. Si P_{r} est le cône des matrices symétriques d’ordre r définies positives et si p > (r − 1)/2 alors pour θ ∈ P_{r} on a

∫_{P_{r}} exp −tr (θx^{−1})(det x)^{−p− \frac{r+1}{2}} dx = ∫_{P_{r}} exp −tr (θy)(det y)^{p− \frac{r+1}{2}} dy = \frac{Γ_{r}(p)}{(det θ)^{p}} .

(10.43)

où dy est la mesure de Lebesgue^{1} sur P_{r} définie par dy = ∏_{1≤i≤j≤r} dy_{ij} et où

Γ_{r}(p) = π^{\frac{r(r−1)}{4}} ∏_{j=1}^{r} Γ(p − \frac{j − 1}{2}).  (10.44)

Remarque. Si p > (r − 1)/2 , θ ∈ P_{r} et σ ∈ P_{r} les probabilités sur P_{r}

\frac{(det θ)^{p}}{Γ_{r}(p)} exp −tr (θx^{−1})(det x)^{−p− \frac{r+1}{2}} 1_{P_{r}}(x)dx,  (10.45)

\frac{1}{(det σ)^{p}Γ_{r}(p)} exp −tr (σ^{−1}y)(det y)^{p− \frac{r+1}{2}} 1_{P_{r}}(y)dy

sont respectivement appelées loi inverse Wishart ordinaire de paramètres p et θ, et loi de Wishart ordinaire de paramètres p et σ. Il est évident que si X = Y^{−1} alors Y suit une loi de Wishart ordinaire de paramètres (p, σ) si et seulement si X suit une loi inverse Wishart ordinaire de paramètres (p, θ) avec θ = σ^{−1}. Nous aurons à considérer leur généralisation associée à un graphe triangulé. La loi de Wishart ordinaire a des généralisations dans d’autres directions, la plus simple consistant à prendre des valeurs de p ≤ (r − 1)/2. Ce sont les lois de Wishart singulières. Toutefois l’analogue des Wishart singulières associé à un graphe triangulé est terra incognita.

Démonstration. La première égalité de 10.43) découle du changement de variable y = x^{−1} dont la différentielle est h ↦ −x^{−1}hx^{−1}, un endomorphisme de l’espace des matrices réelles symétriques d’ordre r. En imitant la démonstration de la partie 1 de la Proposition 10.2, on voit que le déterminant de cet endomorphisme est (−1)^{r}(det x)^{−r−1}, ce qui permet de calculer le jacobien de x ↦ x^{−1} et de montrer cette première égalité. Bien que la démonstration de Bartlett de la deuxième égalité de 10.43) figure dans tous les ouvrages d’analyse multivariée, nous allons en donner une autre en guise de préparation aux méthodes de cette section. On procède par récurrence sur r. Pour r = 1, c’est la définition de la fonction gamma. Supposons le résultat vrai pour tous les entiers < r et soit m et n des entiers > 0 tels que m + n = r. Ecrivons alors y et θ dans P_{r} ainsi :

1C’est l’usage des statisticiens que nous conservons ici plutôt que de prendre la mesure de Lebesgue canonique pour la structure euclidienne engendrée par tr (yy^{T}).

y = [ \begin{matrix}y_{1} & y_{12} \\ y_{21} & y_{2} \end{matrix} ] , θ = [ \begin{matrix}θ_{1} & θ_{12} \\ θ_{21} & θ_{2} \end{matrix} ]

avec y_{1} ∈ P_{m} et y_{2} ∈ P_{n}, et notons y′_{1} = y_{1} − y_{12}y_{2}^{−1}y_{21}. L’égalité habituelle

y = [ \begin{matrix}1 & y_{12}y_{2}^{−1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}y′_{1} & 0 \\ 0 & y_{2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 0 \\ y_{2}^{−1}y_{21} & 1 \end{matrix} ] ,

montre que y ∈ P_{r} si et seulement si y′_{1} ∈ P_{m} et y_{2} ∈ P_{n}. On a alors

∫_{P_{r}} exp −tr (θy)(det y)^{p− \frac{r+1}{2}} dy
=^{(1)} ∫_{P_{m}×P_{n}×R^{nm}} e^{−tr (θ_{1}y′_{1})−tr (θ_{2}y_{2})+tr (θ_{1}y_{12}y_{2}^{−1}y_{21})−2tr (θ_{21}y_{12})}
×(det y′_{1})^{p− \frac{1}{2} (r+1)}(det y_{2})^{p− \frac{1}{2} (r+1)}dy′_{1}dy_{12}dy_{2}
=^{(2)} π^{mn/2}(det θ_{1})^{−n/2} ∫_{P_{m}×P_{n}} e^{−tr (θ_{1}y′_{1})−tr (y_{2}(θ_{2}−θ_{21}θ_{1}^{−1}θ_{12}))}
×(det y′_{1})^{p− \frac{1}{2} (r+1)}(det y_{2})^{p− \frac{1}{2} (n+1)}dy′_{1}dy_{12}dy_{2}
=^{(3)} π^{mn/2}(det θ_{1})^{−n/2} \frac{Γ_{m}(p − \frac{n}{2})}{(det θ_{1})^{p− \frac{n}{2}}} \frac{Γ_{n}(p)}{(det(θ_{2} − θ_{21}θ_{1}^{−1}θ_{12}))^{p}}
=^{(4)} π^{mn/2} \frac{Γ_{m}(p − \frac{n}{2})Γ_{n}(p)}{(det(θ)^{p}} =^{(5)} \frac{Γ_{r}(p)}{(det θ)^{p}} .

Dans cette suite d’égalités, (1) vient du changement de variable y ↦ (y′_{1}, y_{2}, y_{12}) de jacobien 1, l’égalité (2) vient de l’intégrale par rapport à dy_{12} calculée en appliquant la Proposition 10.3 à (a, b, y) = (θ_{1}, y_{2}^{−1}, θ_{12}). L’égalité (3) vient de l’hypothèse de récurrence, (4) de det θ = (det θ_{1})(det(θ_{2} − θ_{21}θ_{1}^{−1}θ_{12})) et (5) de la définition 10.44) de la fonction Γ_{r}(p). La puissance de π est la bonne, puisque si r = m + n on a

\frac{m(m − 1)}{4} + \frac{n(n − 1)}{4} + \frac{mn}{2} = \frac{r(r − 1)}{4}.  (10.46)

La Proposition 10.3 est donc montrée.

Nous allons calculer dans la suite quelques intégrales liées à un graphe triangulé connexe G = (V, E), avec V = {1, …, n}. Soit P_{G} et Q_{G} les cônes convexes de la Proposition 10.1. On s’astreint toujours à noter par x les éléments de Q_{G} et par y ceux de P_{G}. Soit C et S les ensembles de cliques maximales et de séparateurs minimaux, et soit ν(S) la multiplicité de S ∈ S. Soit enfin α et β des fonctions réelles sur C et S respectivement. Adoptons la notation suivante pour x ∈ Q_{G} :

H_{G}(α, β; x) = \frac{∏_{C∈C}(det x_{C})^{α(C)}}{∏_{S∈S}(det x_{S})^{ν(S)β(S)}}  (10.47)

Bien que la définition de H_{G} ne dépende pas d’un ordre mis entre les cliques et entre les séparateurs, les propriétés de H_{G} seront fortement reliées aux ordres parfaits possibles sur C. Pour cette raison, il va nous falloir envisager l’ensemble P_{G} des ordres parfaits sur la famille C des cliques maximales du graphe triangulé G.

Examinons maintenant les propriétés de H_{G}. D’abord, la Proposition 9.7 implique

H_{G}(p, p; x) = (det x̂)^{p}, H_{G}(−p, −p; φ(y)) = (det ŷ)^{p}

(Rappelons qu’on note toujours φ : P_{G} → G_{G} la fonction réciproque x = φ(y) de x ↦ x̂^{−1}). Supposons maintenant que P = (C_{1}, …, C_{k}) soit un ordre parfait entre les cliques (et notons α(C_{q}) = α_{q} et β(S_{q}) = β_{q}). Pour simplifier les notations, nous écrivons M = C_{1} ∪ … ∪ C_{k−1} plutôt que H_{k−1}, K = C_{k}. Donc S_{k} = M ∩ K. L’ordre parfait (C_{1}, …, C_{k−1}) induit sur les cliques maximales de M est noté P_{M}.

Si x ∈ Q_{G} notons x_{1} = (x)_{M\K}, x_{3} = (x)_{K\M} et x_{2} = (x)_{M∩K}. On écrit donc

x = [ \begin{matrix}x_{1} & x_{12} \\ x_{21} & x_{2} & x_{23} \\ & x_{32} & x_{3} \end{matrix} ] .  (10.48)

Par conséquent

x_{M} = [ \begin{matrix}x_{1} & x_{12} \\ x_{21} & x_{2} \end{matrix} ] , x_{K} = [ \begin{matrix}x_{2} & x_{23} \\ x_{32} & x_{3} \end{matrix} ] .

Notez que x_{M} est une matrice incomplète du cône Q_{G_{M}} , alors que x_{K} est une matrice symétrique définie positive ordinaire.

Avec ces notations, on voit donc que

H_{G}(α, β; x) = H_{G_{M}} (α_{M}, β_{M}; x_{M})(det x_{K})^{α_{k}}(det x_{2})^{−β_{k}},

en convenant que α_{M} et β_{M} sont les restrictions de α et β aux cliques et séparateurs de G_{M}. En fait, puisque suivant une formule cent fois utilisée on a det x_{K} = det x_{2} det(x_{3} − x_{32}x_{2}^{−1}x_{23}), il est encore plus utile d’écrire

H_{G}(α, β; x) = H_{G_{M}} (α_{M}, β_{M}; x_{M})(det(x_{3} − x_{32}x_{2}^{−1}x_{23}))^{α_{k}}(det x_{2})^{α_{k}−β_{k}}.

(10.49)

Parmi les fonctions α et β on aura à utiliser les fonctions −(c + 1)/2 et −(s + 1)/2 qui signifient α(C) = −(|C|+1)/2 et β(S) = −(|S|+1)/2. En cas d’ordre parfait, c_{q} et s_{q} sont les tailles de C_{q} et S_{q}.

Nous allons maintenant considérer deux remarquables intégrales, qui utilisent la bijection x ↦ x̂^{−1} entre Q_{G} et P_{G} du Théorème 9.6, et définies pour θ ∈ Q_{G}. Pour simplifier leur présentation, nous considérons la mesure sur Q_{G} suivante^{2} :

2La mesure ν_{G}(dy) sur P_{G}, image de μ_{G}(dx) par x ↦ y = x̂^{−1} sera de même considérée au Corollaire 11.3.

μ_{G}(dx) = H_{G}(−\frac{1}{2}(c + 1), −\frac{1}{2}(s + 1); x)1_{Q_{G}}dx  (10.50)

où dx = ∏_{i≤j;(i,j)∈Ẽ} dx_{ij} est la mesure de Lebesgue sur l’espace des matrices incomplètes associées à G. Notons que si x est écrit comme dans 10.48) on a le droit d’écrire

dx = dx_{M}dx_{23}dx_{3}

avec les normalisations pour les mesures de Lebesgue faites aux Propositions 10.2 et 10.3. Cette précaution a son importance pour la signification et la valeur des intégrales suivantes :

I_{1}(α, β, θ) = ∫_{Q_{G}} e^{−tr (xθ̂^{−1})}H_{G}(α, β, x)μ_{G}(dx)  (10.51)
I_{2}(α, β, θ) = ∫_{Q_{G}} e^{−tr (θx̂^{−1})}H_{G}(α, β, x)μ_{G}(dx)  (10.52)

où α et β sont choisis pour qu’elles convergent. Nous allons nous intéresser (Théorèmes 10.4 et 10.5) aux cas où ces intégrales sont proportionnelles à H_{G}(α, β; θ). En d’autres termes, si on considère les deux opérateurs K_{1} et K_{2} sur l’espace de Hilbert L^{2}(μ_{G}) définis par

K_{1}(f)(θ) = ∫_{Q_{G}} e^{−tr (xθ̂^{−1})}f(x)μ_{G}(dx), K_{2}(f)(θ) = ∫_{Q_{G}} e^{−tr (θx̂^{−1})}f(x)μ_{G}(dx),

nous allons étudier certaines valeurs de (α, β) telles que H_{G}(α, β; .) soit une fonction propre pour K_{1} ou K_{2}. La Proposition 10.3 donnait une illustration de ce phénomène dans le cas k = 1 en montrant qu’alors y ↦ (det y)^{p} et x ↦ (det x)^{−p} sont des fonctions propres de K_{1} et K_{2} pour la même valeur propre Γ_{r}(p), avec p > (r − 1)/2.

Pour k ≥ 2 la situation est plus compliquée. En fait, à chaque ordre parfait P ∈ P_{G} nous allons associer deux ouverts A_{P} et B_{P} de IR^{k+1} formés de (α, β) tels que H_{G}(α, β; .) soit vecteur propre pour K_{1} ou K_{2} respectivement, et nous allons calculer les valeurs propres Γ_{1}(α, β) et Γ_{2}(α, β) correspondantes. Nous allons exclure le cas k = 1 (c’est à dire supposer G non complet), d’abord parce que il est traité par la Proposition 10.3, ensuite parce qu’il est radicalement différent du cas k ≥ 2, puisque la variété des vecteurs propres passe de la dimension 1 à la dimension k + 1.

Théorème 10.4. Soit G un graphe triangulé connexe non complet, soit P = (C_{1}, …, C_{k}) un ordre parfait de C et soit (S_{2}, …, S_{k}) la suite des séparateurs minimaux associée. On note J(P, S) l’ensemble des j = 2, …, k tels que S_{j} = S. Soit A_{P} l’ensemble des (α, β), fonctions sur C et S, telles que pour tout S différent de S_{2} on ait

ν(S)β(S) = ∑_{j∈J(P,S)} α_{j},

telles que α(C) > \frac{|C|−1}{2} pour tout C ∈ C, et telles que

α_{1} + ∑_{j∈J(P,S_{2})} α_{j} > ν(S_{2})β_{2} + \frac{s_{2} − 1}{2}.

Alors pour θ ∈ Q_{G} et pour (α, β) ∈ A_{P} l’intégrale I_{1}(α, β; θ) converge et la fonction H_{G}(α, β; .) est une fonction propre de K_{1} pour la valeur propre

Γ_{1}(α, β) = π^{\frac{1}{2} ((c_{1}−s_{2})s_{2}+∑_{j=2}^{k}(c_{j}−s_{j})s_{j})}Γ_{s_{2}} (−ν(S_{2})β_{2} + α_{1} + ∑_{j∈J(P,S_{2})} α_{j})

Γ_{c_{1}−s_{2}}(α_{1} − \frac{s_{2}}{2} ) ∏_{j=2}^{k} Γ_{c_{j}−s_{j}}(α_{j} − \frac{s_{j}}{2} )

= Γ_{s_{2}} (−ν(S_{2})β_{2} + α_{1} + ∑_{j∈J(P,S_{2})} α_{j}) \frac{Γ_{c_{1}}(α_{1})}{Γ_{s_{2}}(α_{1})} ∏_{q=2}^{k} \frac{Γ_{c_{q}}(α_{q})}{Γ_{s_{q}}(α_{q})}

Remarques. En utilisant la fonction réciproque θ = φ(y) de y = θ̂^{−1} on reformule le théorème en disant que pour y ∈ P_{G} et pour (α, β) ∈ A_{P} on a

∫_{Q_{G}} e^{−tr xy}H(α, β; x)μ_{G}(dx) = Γ_{1}(α, β)H_{G}(α, β; φ(y)).  (10.53)

Il peut être plus agréable d’introduire les quantités

γ(P, S) = −ν(S)β(S) + ∑_{j∈J(P,S)} α_{j} pour S ≠ S_{2}
γ(P, S_{2}) = −ν(S_{2})β_{2} + α_{1} + ∑_{j∈J(P,S)} α_{j}

La description de A_{P} se fait alors par α_{j} > (c_{j}−1)/2 pour tout j = 1, …, k, γ(P, S) = 0 si S ≠ 2 et γ(P, S_{2}) > (s_{2} − 1)/2.

Insistons sur le fait que par définition la fonction Γ_{1} dépend apparemment de l’ordre parfait ambiant P. Toutefois la formule 10.53 montre que si (α, β) ∈ A_{P} ∩ A_{P′} alors les définitions P et P′ pour Γ_{1}(α, β) coincident. Donc Γ_{1} est une fonction bien définie sur ∪_{P ∈P_{G}}A_{P} . Notons aussi que les deux expressions données de Γ_{1} coincident bien : la formule 10.46 appliquée à m = c_{q} − s_{q} et n = s_{q} explique la disparition de la puissance de π. En particulier, si les α_{q} et β_{q} sont tous égaux à un même nombre p > max_{q} \frac{c_{q}−1}{2}, le nombre

Γ_{1}(p, p) = \frac{∏_{q=1}^{k} Γ_{c_{q}}(p)}{∏_{q=2}^{k} Γ_{s_{q}}(p)}  (10.54)

ne dépend pas de l’ordre parfait P. Nous utiliserons cela à la section 13. Ce théorème est assez étrange pour que nous l’illustrions d’un exemple.

Exemple 10.1. Considérons G triangulé à 6 sommets dont les cliques maximales sont respectivement

A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4}, C = {1, 2, 5}, D = {2, 6}.

On voit que les séparateurs minimaux sont U = {1, 2} et V = {2} avec ν(U) = 2 et ν(V) = 1. On voit aussi que les 24 ordres possibles des 4 cliques sont tous parfaits. Comme A, B, C jouent des rôles symétriques nous n’allons considérer que 4 des ordres parfaits, à savoir

P_{1} = (A, B, C, D), P_{2} = (A, B, D, C), P_{3} = (A, D, B, C), P_{4} = (D, A, B, C)

On écrit alors pour chacun l’ordre correspondant des séparateurs et une description des ensembles A_{P_{i}} (à laquelle il faut ajouter α(A), α(B), α(C) > 1 et α(D) > 1/2)

\begin{aligned}A & B & C & D \\ & U & U & V \end{aligned}  α(D) = β(V)  α(A) + α(B) + α(C) > 2β(U) + 1
\begin{aligned}A & B & D & C \\ & U & V & U \end{aligned}  α(D) = β(V)  α(A) + α(B) + α(C) > 2β(U) + 1
\begin{aligned}A & D & B & C \\ & V & U & U \end{aligned} α(B) + α(C) = 2β(U) α(A) + α(D) > β(V) + \frac{1}{2}
\begin{aligned}D & A & B & C \\ & V & U & U \end{aligned} α(B) + α(C) = 2β(U) α(D) + α(A) > β(V) + \frac{1}{2}

Démonstration du Théorème 10.4. Celle ci se fait en plusieurs étapes. Pour simplifier les notations nous écrivons toujours M = C_{1} ∪ … ∪ C_{k−1}, K = C_{k} et donc M ∩ K = S_{k}. On paramètre alors les éléments de Q_{G} comme expliqué en 10.48.

étape 1. Si x_{2} est fixé défini positif, considérons l’intégrale

F (x_{2}) = ∫ e^{−tr (x_{K}θ_{K}^{−1})}(det x_{K})^{α_{k}−(c_{k}+1)/2}dx_{23}dx_{3}

où le domaine d’intégration est l’ensemble des (x_{23}, x_{3}) tels que x′_{3} = x_{3} − x_{32}x_{2}^{−1}x_{23} soit défini positif (la notation x′_{3} est plus commode ici que la notation x_{(33)2} de la démonstration de la Proposition 9.7).

Calculons alors F (x_{2}). Pour quelques instants, nous écrivons θ_{K}^{−1} = [ \begin{matrix}t_{2} & t_{23} \\ t_{32} & t_{3} \end{matrix} ] .

On fait le changement de variable (x_{23}, x_{3}) ↦ (x_{23}, x′_{3}) et donc dx_{23}dx_{3}) = dx_{23}dx′_{3}. Le domaine d’intégration est alors un produit d’ensembles. De plus

e^{−tr (x_{K}θ_{K}^{−1})}(det x_{K})^{α_{k}−(c_{k}+1)/2} = e^{−tr (x_{2}t_{2})}(det x_{2})^{α_{k}−(c_{k}+1)/2}
×e^{−2tr t_{32}x_{23}−tr (x_{32}x_{2}^{−1}x_{23}t_{3})}
×e^{−tr (x′_{3}t_{3})}(det x′_{3})^{α_{k}−(c_{k}+1)/2}

donc F (x_{2}) est un produit de deux intégrales. La première se calcule à l’aide de la Proposition 10.2 appliquée à a = t_{3} b = x_{2}^{−1}, à y = t_{23} et la seconde à l’aide de la Proposition 10.3 appliquée à r = c_{k}−s_{k} à p = α_{k}− \frac{1}{2}(c_{k}+1)+ \frac{1}{2}(c_{k}−s_{k}+1) et en remplacant θ par t_{3}. On obtient ainsi

F (x_{2}) = Ce^{−tr (x_{2}t_{2})}(det x_{2})^{α_{k}− \frac{1}{2} (c_{k}+1)}
×e^{tr (t_{32}x_{2}t_{23}t_{3}^{−1})}(det x_{2})^{\frac{1}{2} (c_{k}−s_{k})}(det t_{3})^{\frac{s_{k}}{2}}
×(det t_{3})^{−α_{k}+ \frac{1}{2} (c_{k}+1)− \frac{1}{2} (c_{k}−s_{k}+1)}
= Ce^{−tr (x_{2}(t_{2}−t_{23}t_{3}^{−1}t_{32}))}(det x_{2})^{α_{k}− \frac{1}{2} (s_{k}+1)}(det t_{3})^{−α_{k}}
= Ce^{−tr (x_{2}θ_{2}^{−1})}(det x_{2})^{α_{k}− \frac{1}{2} (s_{k}+1)}(det θ_{3} − θ_{32}θ_{2}^{−1}θ_{23})^{α_{k}}
= Ce^{−tr (x_{2}θ_{2}^{−1})}(det x_{2})^{α_{k}− \frac{1}{2} (s_{k}+1)}(det θ_{K})^{α_{k}}(det θ_{2})^{−α_{k}}

où

C = π^{\frac{1}{2} s_{k}(c_{k}−s_{k})}Γ_{c_{k}−s_{k}}(α_{k} − \frac{s_{k}}{2} ) = \frac{Γ_{c_{k}}(α_{k})}{Γ_{s_{k}}(α_{k})}.  (10.55)

Notons que l’intégrale F (x_{2}) converge si et seulement si α_{k} > \frac{c_{k}−1}{2}.

étape 2. Le lien entre I_{1} et F (x_{2}) est fourni par

I_{1}(α, β; θ) =

∫_{Q_{G_{M}}} e^{−tr (x_{M} θ_{M}^{−1})+tr (x_{2}θ_{2}^{−1})}H_{G_{M}} (α_{M}, β_{M}; x_{M})(det x_{2})^{−β_{k}+ \frac{1}{2} (s_{k}+1)}F (x_{2})μ_{G_{M}} (dx_{M}).

Donc d’après la première étape :

I_{1}(α, β; θ) = C(det θ_{K})^{α_{k}}(det θ_{2})^{−α_{k}}
× ∫_{Q_{G_{M}}} e^{−tr (x_{M} θ_{M}^{−1})}H_{G_{M}} (α_{M}, β_{M}; x_{M})(det x_{2})^{α_{k}−β_{k}}μ_{G_{M}} (dx_{M}).(10.56)

étape 3. Nous montrons dans cette étape le résultat du théorème dans le cas k = 2. On suppose donc que M est aussi une clique maximale. Pour quelques

instants, nous écrivons θ_{M}^{−1} = [ \begin{matrix}s_{1} & s_{12} \\ s_{21} & s_{2} \end{matrix} ] . Alors 10.56 devient

(det θ_{K})^{α_{k}}(det θ_{2})^{−α_{k}}C ∫_{Q_{G_{M}}} e^{−tr (x_{1}s_{1})−2tr (x_{21}s_{12})−tr s_{2}x_{2}}(det x_{2})^{α_{2}−β_{2}}(det x_{M})^{α_{1}− \frac{c_{1}+1}{2}} dx_{M}.

En posant x′_{1} = x_{1} − x_{12}x_{2}^{−1}x_{21}, en exploitant det x_{M} = det x_{2} det x′_{1} et en faisant le changement de variable (x_{12}, x_{1}) ↦ (x_{12}, x′_{1}) des calculs entièrement analogues à ceux qui ont donné l’expression explicite de F (x_{2}) plus haut fournissent le résultat voulu, avec la valeur propre

Γ_{1}(α_{1}, α_{2}, β_{2}) = π^{\frac{s_{2}}{2} (c_{1}+c_{2}−2s_{2})}Γ_{c_{1}−s_{2}}(α_{1} − \frac{s_{2}}{2} )Γ_{c_{2}−s_{2}}(α_{2} − \frac{s_{2}}{2} )Γ_{s_{2}}(α_{1} + α_{2} − β_{2})
= \frac{Γ_{s_{2}}(α_{1} + α_{2} − β_{2})Γ_{c_{1}}(α_{1})Γ_{c_{2}}(α_{2})}{Γ_{s_{2}}(α_{1})Γ_{s_{2}}(α_{2})}.

Notons que l’intégrale converge si et seulement si α_{i} > \frac{c_{i}−1}{2} et α_{1} + α_{2} − β_{2} > \frac{s_{2}−1}{2}. Le cas k = 2 est donc terminé.

étape 4. Nous montrons enfin le résultat général par récurrence sur k. C’est vrai pour k = 2 par la troisième étape, et supposons le résultat vrai pour k −1. On distingue alors les trois cas ν(S_{k}) = 1; ν(S_{k}) > 1 et S_{k} ≠ S_{2} ; ν(S_{k}) > 1 et S_{k} = S_{2}.

Le cas ν(S_{k}) = 1 est facile : puisque que k > 2, on a donc S_{k} ≠ S_{2}. L’hypothèse entraîne α_{k} = β_{k} et l’intégrale 10.56 ramène au cas k − 1 et l’hypothèse de récurrence permet de conclure.

Si ν(S_{k}) > 1 et S_{k} ≠ S_{2} l’intégrale 10.56 montre que

I_{1}(α, β; θ) = C \frac{(det θ_{K})^{α_{k}}}{(det θ_{2})^{α_{k}}} I_{G_{M}} (α_{M}, β′; θ)  (10.57)

avec β′(S) = β(S) si S ≠ S_{k} et (ν(S_{k}) − 1)β′(S_{k}) = β_{k} − α_{k}. Comme par hypothèse ν(S_{k})β_{k} = ∑_{j∈J(P,S_{k})} α_{j} on a donc

(ν(S) − 1)β′(S) = ∑_{j∈J(P_{M} ,S)} α_{j}

pour l’ordre parfait P_{M} = (C_{1}, …, C_{k−1}) du graphe G_{M}. La récurrence est donc étendue.

Si ν(S_{k}) > 1 et S_{k} = S_{2} la formule 10.57 est encore valable, mais comme S_{k} = S_{2} on n’a pas à se soucier de contrainte du type ν(S_{k})β_{k} = ∑_{j∈J(P,S_{k})} α_{j}. Le Théorème 10.4 est montré.

Nous faisons maintenant la même chose avec l’intégrale de deuxième espèce I_{2}(α, β; θ).

Théorème 10.5. Soit G un graphe triangulé connexe non complet, soit P = (C_{1}, …, C_{k}) un ordre parfait de C et soit (S_{2}, …, S_{k}) la suite des séparateurs minimaux associée. Si S ∈ S on note J(P, S) l’ensemble des j = 2, …, k tels que S_{j} = S. Soit B_{P} l’ensemble des (α, β), fonctions sur C et S, telles que pour tout S différent de S_{2} on ait

ν(S)(β(S) + \frac{1}{2}(|S| + 1)) = ∑_{j∈J(P,S)}(α_{j} + \frac{1}{2}(c_{j} + 1)),

telles que −α_{q} > \frac{1}{2}(c_{q} − s_{q} − 1) pour tout q = 2, …, k ainsi que −α_{1} > \frac{1}{2}(c_{1} − s_{q} − 1), et telles que

−α_{1} − \frac{1}{2}(c_{1} + 1) + ∑_{j∈J(P,S_{2})}(−α_{j} − \frac{1}{2}(c_{j} + 1)) + ν(S_{2})(β_{2} + \frac{1}{2}(s_{2} + 1)) > 0.

Alors pour θ ∈ Q_{G} et pour (α, β) ∈ B_{P} l’intégrale I_{2}(α, β; θ) converge et la fonction H_{G}(α, β; .) est une fonction propre de K_{2} pour la valeur propre

Γ_{2}(α, β) = π^{\frac{1}{2} ((c_{1}−s_{2})s_{2}+∑_{j=2}^{k}(c_{j}−s_{j})s_{j})}

Γ_{s_{2}}(ν(S_{2})(β_{2} + \frac{1}{2}(s_{2} + 1)) + \frac{s_{2} + 1}{2} − α_{1} − \frac{1}{2}(c_{1} + 1) + ∑_{j∈J(P,S_{2})}(−α_{j} − \frac{1}{2}(c_{j} + 1)))

Γ_{c_{1}−s_{2}}(−α_{1}) ∏_{j=2}^{k} Γ_{c_{j}−s_{j}}(−α_{j})

Remarques. On reformule le théorème en disant que pour x ∈ Q_{G} et pour (α, β) ∈ B_{P} on a

∫_{P_{G}} e^{−tr xy}H(α, β; φ(y))ν_{G}(dy) = Γ_{2}(α, β)H_{G}(α, β; x),  (10.58)

où ν_{G}(dy) est l’image de μ_{G}(dx) par x ↦ y = x̂^{−1} et est calculée au Corollaire 11.3 ci dessous. Par souci de symétrie avec 10.53 on a remplacé θ par x dans 10.58. Comme au Théorème 10.4, on observe que Γ_{2} est une fonction bien définie sur ∪_{P ∈P_{G}}B_{P} .

Il peut être plus agréable d’introduire les quantités

α̃_{j} = −α_{j} − \frac{1}{2}(c_{j} + 1)
β̃_{j} = −β_{j} − \frac{1}{2}(s_{j} + 1)
γ̃(P, S) = −ν(S)β̃(S) + ∑_{j∈J(P,S)} α̃_{j} pour S ≠ S_{2}
γ̃(P, S_{2}) = −ν(S_{2})β̃_{2} + α̃_{1} + ∑_{j∈J(P,S)} α̃_{j}

La description de B_{P} se fait alors par α̃_{j} > −1−s_{j}/2 pour tout j = 2, …, k, α̃_{1} > −1 − s_{2}/2, γ̃(P, S) = 0 si S ≠ 2 et γ̃(P, S_{2}) > 0. Notez que la symétrie (α, β) ↦ (α̃, β̃) ne transforme pas B_{P} en A_{P} et que Γ_{1}(α̃, β̃) ≠ Γ_{2}(α, β). On peut trouver que Γ_{2}(α, β) est moins intimidant quand il est écrit

Γ_{2}(α, β) = Γ_{s_{2}}(\frac{1}{2}(s_{2}+1)+γ̃(P, S_{2}))π^{\frac{1}{2} ((c_{1}−s_{2})s_{2}}Γ_{c_{1}−s_{2}}(−α_{1}) ∏_{j=2}^{k} π^{\frac{1}{2} (c_{j}−s_{j})s_{j})}Γ_{c_{j}−s_{j}}(−α_{j})

Utiliser comme au Théorème 10.4 que π^{\frac{1}{2} ((c−s)s}Γ_{c−s}(p− \frac{s}{2}) = Γ_{c}(p)/Γ_{s}(p) n’apporte pas grand simplification.

Finalement, le cas où il existe p > 0 tel que pour tous j on a α̃_{j} = β̃_{j} = p va s’avérer important à la section 13. Dans ce cas, en convenant s_{1} = s_{2}

Γ_{2}(α, β) = Γ_{s_{2}}(p + \frac{1}{2}(s_{2} + 1)) ∏_{j=1}^{k} π^{\frac{1}{2} (c_{j}−s_{j})s_{j})}Γ_{c_{j}−s_{j}}(p + \frac{1}{2}(c_{j} + 1)) (10.59)

Démonstration du Théorème 10.5. Parallèlement au théorème précédent nous le montrons en 4 étapes. On paramètre toujours les éléments de Q_{G} comme en 10.48.

étape 1. Si x_{2} est fixé défini positif, considérons l’intégrale

G(x_{2}) = ∫ e^{−tr (θ_{K}x_{K}^{−1})}(det x_{K})^{α_{k}−(c_{k}+1)/2}dx_{23}dx_{3}

où, comme au Théorème 10.4, le domaine d’intégration est l’ensemble des (x_{23}, x_{3}) tels que x′_{3} = x_{3} − x_{32}x_{2}^{−1}x_{23} soit défini positif. On posera aussi x′_{32} = x_{32}x_{2}^{−1}.

Calculons alors G(x_{2}). Nous écrivons

x_{K} = [ \begin{matrix}x_{2} & x_{23} \\ x_{32} & x_{3} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ x′_{32} & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{2} & 0 \\ 0 & x′_{3} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & x′_{23} \\ 0 & 1 \end{matrix} ] ,

et donc

x_{K}^{−1} = [ \begin{matrix}1 & −x′_{23} \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{2}^{−1} & 0 \\ 0 & (x′_{3})^{−1} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 0 \\ −x′_{32} & 1 \end{matrix} ]
= [ \begin{matrix}x_{2}^{−1} + x′_{23}(x′_{3})^{−1}x′_{32} & −x′_{23}(x′_{3})^{−1} \\ −(x′_{3})^{−1}x′_{32} & (x′_{3})^{−1} \end{matrix} ] .  (10.60)

On fait le changement de variable (x_{23}, x_{3}) ↦ (x′_{23}, x′_{3}). En appliquant la Proposition 10.2 partie 1, on voit que

dx_{23}dx_{3} = (det x_{2})^{c_{k}−s_{k}}dx′_{23}dx′_{3}.

Le domaine d’intégration est alors un produit d’ensembles. De plus

e^{−tr θ_{K}x_{K}^{−1}}(det x_{K})^{α_{k}−(c_{k}+1)/2} = e^{−tr (θ_{2}x_{2}^{−1})}(det x_{2})^{α_{k}−(c_{k}+1)/2}
×e^{2tr (θ_{32}x′_{23}(x′_{3})^{−1})−tr (θ_{2}x′_{23}(x′_{3})^{−1}x′_{32})}
×e^{−tr (θ_{3}(x′_{3})^{−1})}(det x′_{3})^{α_{k}−(c_{k}+1)/2}.

A la différence du calcul de F (x_{2}) dans l’intégrale de première espèce du Théorème 10.4, G(x_{2}) n’est pas l’intégrale d’un produit de deux fonctions de x′_{23} seul et de x′_{3} seul. Mais on commence par intégrer par rapport à x′_{23} à l’aide de la Proposition 10.2 appliquée à a = θ_{2}, b = (x′_{3})^{−1}, y = θ_{23}(x′_{3})^{−1}. On intègre ensuite par rapport à x′_{3} à l’aide de la Proposition 10.3 appliquée à r = c_{k} −s_{k}, et à −p = α_{k} et en remplacant θ par θ_{3} − θ_{32}θ_{2}^{−1}θ_{23}. On obtient ainsi

G(x_{2}) = Ce^{−tr (θ_{2}x_{2}^{−1})}(det x_{2})^{α_{k}− \frac{1}{2} (c_{k}+1)+c_{k}−s_{k}}
×(det θ_{2})^{− \frac{1}{2} (c_{k}−s_{k})}(det(θ_{3} − θ_{32}θ_{2}^{−1}θ_{23}))^{α_{k}}

où C est une fonction de α et β. Exploitant le fait que (det θ_{2})(det(θ_{3} − θ_{32}θ_{2}^{−1}θ_{23}) = det θ_{K}, on obtient

G(x_{2}) = Ce^{−tr (θ_{2}x_{2}^{−1})}(det x_{2})^{α_{k}− \frac{1}{2} (c_{k}+1)+c_{k}−s_{k}}(det θ_{K})^{α_{k}}(det θ_{2})^{−α_{k}− \frac{1}{2} (c_{k}−s_{k})},

avec C = π^{\frac{1}{2} s_{k}(c_{k}−s_{k})}Γ_{c_{k}−s_{k}}(−α_{k}). L’intégrale G(x_{2}) converge si et seulement si −α_{k} > \frac{c_{k}−s_{k}−1}{2}.

étape 2. On peut écrire en appliquant le Théorème 9.6 et l’identité 10.49 :

I_{2}(α, β; θ) =

∫_{Q_{G_{M}}} e^{−tr (θ_{M} x_{M}^{−1})+tr (θ_{2}x_{2}^{−1})}H_{G_{M}} (α_{M}, β_{M}; x_{M})(det x_{2})^{−β_{k}+ \frac{1}{2} (s_{k}+1)}G(x_{2})μ_{G_{M}} (dx_{M}).

Nous transportons alors le résultat pour G(x_{2}) dans I_{2}(α, β; θ). On obtient

I_{2}(α, β; θ) = C(det θ_{K})^{α_{k}}(det θ_{2})^{−α_{k}+ \frac{1}{2} (c_{k}−s_{k})}

∫_{Q_{G_{M}}} e^{−tr (θ_{M} x_{M}^{−1})}H_{G_{M}} (α_{M}, β_{M}; x_{M})(det x_{2})^{α_{k}−β_{k}− \frac{1}{2} (c_{k}−s_{k})}μ_{G_{M}} (dx_{M}). (10.61)

étape 3. On montre le résultat pour k = 2. On suppose donc que M est aussi une clique maximale. On posera x′_{1} = x_{1} − x_{12}x_{2}^{−1}x_{21} et x′_{21} = x_{2}^{−1}x_{21}. Comme on l’a fait pour x_{K} on écrit maintenant

x_{M}^{−1} = [ \begin{matrix}(x′_{1})^{−1} & −(x′_{1})^{−1}x′_{12} \\ −x′_{21}(x′_{1})^{−1} & x_{2}^{−1} + x′_{21}(x′_{1})^{−1}x′_{12} \end{matrix} ] .

On fait alors le changement de variables (x_{1}, x_{12}, x_{2}) ↦ (x′_{1}, x′_{12}, x_{2}) dans 10.61, qui devient une intégrale triple qu’on calcule en intégrant d’abord par rapport à x′_{12}, puis x′_{1} puis x_{2}. On a par la Proposition 10.2 partie 1 que dx_{1}dx_{12}dx_{2} = (det x_{2})^{c_{1}−s_{2}}dx′_{1}dx′_{12}dx_{2}.

L’intégrale par rapport à x′_{12} se calcule à l’aide de la Proposition 10.2 appliquée à a = (x′_{1})^{−1}, b = θ_{2} et y = (x′_{1})^{−1}θ_{12}.

I_{2}(α, β; θ) = C(det θ_{K})^{α_{k}}(det θ_{2})^{−α_{2}− \frac{c_{2}}{2}}
∫ ∫ e^{−tr ((x′_{1})^{−1}(θ_{1}−θ_{12}θ_{2}^{−1}θ_{21})−tr θ_{2}x_{2}^{−1}}

(det x′_{1})^{α_{1}− \frac{1}{2} (c_{1}+s_{2}+1)}(det x_{2})^{α_{1}+α_{2}−β_{2}+ \frac{1}{2} (c_{1}+c_{2}−3s_{2}−1)}dx_{2}dx′_{1}.

On applique ensuite la Proposition 10.3 pour faire l’intégration suivant dx′_{1} et dx_{2}. Les calculs fournissent le résultat voulu, à savoir

I_{2}(α_{1}, α_{2}, β_{2}; θ) = Γ_{2}(α_{1}, α_{2}, β_{2})\frac{(det θ_{M})^{α_{1}}(det θ_{K})^{α_{2}}}{(det θ_{S})^{β_{2}}} ,

avec

Γ_{2}(α_{1}, α_{2}, β_{2}) = π^{\frac{s_{2}}{2} (c_{1}+c_{2}−2s_{2})}

Γ_{c_{1}−s_{2}}(−α_{1})Γ_{c_{2}−s_{2}}(−α_{2})Γ_{s_{2}}(−α_{1} − α_{2} + β_{2} − \frac{1}{2}(c_{1} + c_{2} − 2s_{2})).

Il y a convergence si −α_{i} > \frac{1}{2}(c_{i} − s_{2} − 1) pour i = 1, 2 et −α_{1} − α_{2} + β_{2} − \frac{1}{2}(c_{1} + c_{2} − 2s_{2}) > \frac{1}{2}(s_{2} − 1).

étape 4. On montre enfin le résultat général en procédant par récurrence sur k ≥ 2. C’est entièrement analogue au Théorème 4 et nous ne le faisons pas.

11 Lois de Wishart pour un graphe triangulé

Dans cette section, nous introduisons certaines familles exponentielles sur les cônes P_{G} et Q_{G}, nous examinons leurs objets classiques et des propriétés de composition (Proposition 11.4). Les cas particuliers des G Wishart s’appliquant aux les modèles graphiques gaussiens seront détaillés dans la section 13. Cette section 11 contient aussi un intéressant point technique : le calcul du jacobien de x ↦ x̂^{−1} entre Q_{G} et P_{G} (Proposition 11.2).

Définition 11.1. Soit G un graphe triangulé, P un ordre parfait de ses cliques maximales et (α, β) dans l’ensemble A_{P} défini au Théorème 10.4. Soit enfin σ ∈ Q_{G}. On appelle loi de Wishart de première espèce, de paramètre de forme (α, β) et de paramètre d’échelle σ la loi de probabilité sur Q_{G} suivante

γ_{α,β;σ}(dx) = e^{−tr (xσ̂^{−1})} \frac{H_{G}(α, β; x)}{Γ_{1}(α, β)H_{G}(α, β; σ)}μ_{G}(dx).  (11.62)

On voit que pour (α, β) fixé dans A_{P} la famille {γ_{α,β;σ}; σ ∈ Q_{G}} n’est autre que la famille exponentielle naturelle (FEN) engendrée par la mesure sur Q_{G} égale à

μ(dx) = \frac{H_{G}(α, β; x)}{Γ_{1}(α, β)}μ_{G}(dx)

dont la transformée de Laplace est définie pour −θ ∈ P_{G} par

L_{μ}(θ) = ∫_{Q_{G}} e^{tr (xθ)}μ(dx) = H_{G}(α, β; −φ(θ)) :

c’est une reformulation du Théorème 10.4. Ceci entraîne que la transformée de Laplace de γ_{α,β;σ} est définie pour −θ + σ̂^{−1} ∈ P_{G} par

\frac{H_{G}(α, β; φ(σ̂^{−1} − θ))}{H_{G}(α, β; σ)}.

On voit déjà que si (α, β) ∈ A_{P} et (α′, β′) ∈ A_{P}, alors comme A_{P} est fermé pour l’addition on a la convolution

γ_{α,β;σ} ∗ γ_{α′,β′;σ} = γ_{α+α′,β+β′;σ}.

Pour dire quelque chose des objets classiques de cette famille exponentielle (moyenne en fonction de θ, inverse ψ_{μ}, fonction variance etc) qui ne sont pas toujours explicitables nous avons besoin d’une proposition.

Proposition 11.1. Soit P_{r} le cône des matrices symétriques réelles (r, r) inversibles et −θ ∈ P_{r}. Soit C ⊂ {1, …, r} et notons σ_{C}(θ) = ((−θ)^{−1})_{C}. Si on écrit θ par blocs correspondant à C et son complémentaire

θ = [ \begin{matrix}θ_{1} & θ_{12} \\ θ_{21} & θ_{2} \end{matrix} ] ,

on écrit θ′_{12} = θ_{12}θ_{2}^{−1}. Avec ces notations, alors la différentielle de θ ↦ σ_{C}(θ) est

h = [ \begin{matrix}h_{1} & h_{12} \\ h_{21} & h_{2} \end{matrix} ] ↦ [ σ_{C} −σ_{C}θ′_{12} ] [ \begin{matrix}h_{1} & h_{12} \\ h_{21} & h_{2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}σ_{C} \\ θ′_{21}σ_{C} \end{matrix} ] .

De plus, la différentielle de θ ↦ κ_{C}(θ) = − log det σ_{C}(θ) est

h ↦ tr [ \begin{matrix}h_{1} & h_{12} \\ h_{21} & h_{2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}σ_{C} & −σ_{C}θ′_{12} \\ −θ′_{21}σ_{C} & θ′_{21}σ_{C}θ′_{12} \end{matrix} ] .

Démonstration. Standard.

Nous appliquons cette proposition en restreignant θ à P_{G} et en prenant C comme clique maximale ou séparateur minimal. Puisque la fonction de cumulants est

log L_{μ}(θ) = k_{μ}(θ) = ∑_{C∈C} α(C)κ_{C}(θ) − ∑_{S∈S} ν(S)β(S)κ_{S}(θ),  (11.63)

alors sa différentielle est en principe calculable. Nous laissons le lecteur le faire dans le cas où k = 2.

Toutefois, il faut noter que dans le cas α = β = p on a k′_{μ}(θ) = pσ donc σ = m/p. Ce ci se montre d’une manière beaucoup plus simple. En effet, puisque d’après la Proposition 9.7 on a H_{G}(p, p, x) = (det x̂)^{p} alors L_{μ}(θ) = (det(−θ))^{−p}, k_{μ}(θ) = −p log det(−θ), k′_{μ}(θ)(h) = ptr (h(−θ)^{−1}), avec h dans l’espace F des matrices incomplètes gouvernées par G. Comme −θ = σ̂^{−1} on a bien k′_{μ}(θ) = pσ.

Définition 11.2. Soit G un graphe triangulé, P un ordre parfait de ses cliques maximales et (α, β) dans l’ensemble B_{P} défini au Théorème 10.5. Soit enfin θ ∈ Q_{G}. On appelle loi de Wishart inverse, ou loi inverse-Wishart, de paramètres de forme et d’échelle (α, β) et θ la loi de probabilité sur Q_{G} suivante

IW_{α,β;θ}(dx) = e^{−tr (θx̂^{−1})} \frac{H_{G}(α, β; x)}{Γ_{2}(α, β)H_{G}(α, β; θ)}μ_{G}(dx).  (11.64)

On appelle loi de Wishart de deuxième espèce de paramètres de forme et d’échelle (α, β) et θ la loi de probabilité W_{α,β;σ}(dy) sur P_{G} image de la loi IW_{α,β;θ}(dx) par l’application x ↦ y = x̂^{−1}.

Le fait que IW_{α,β;θ} soit une probabilité découle du Théorème 10.5. La famille {IW_{α,β;θ}; θ ∈ P_{G}} est une famille exponentielle générale engendrée par la mesure \frac{H_{G}(α,β;x)}{Γ_{2}(α,β)}μ_{G}(dx) et la fonction t(x) = x̂^{−1}. La famille \{W_{α,β;θ}, θ ∈ P_{G}} est sa famille exponentielle naturelle associée. Pour calculer la densité de la loi W_{α,β;θ}(dy) nous montrons la proposition suivante. Elle est due à Roverato (2002), avec une démonstration différente. On rappelle que φ(y) = x est défini par y = x̂^{−1}.

Proposition 11.2. La valeur absolue du jacobien de l’application x ↦ y = x̂^{−1} est H_{G}(−c − 1, s − 1; x). La valeur absolue du jacobien de y ↦ φ(y) est H_{G}(c + 1, s + 1; φ(y)).

Démonstration. On procède par récurrence sur le nombre k de cliques maximales. Si k = 1, c’est un résultat classique rappelé à la Proposition 10.3 que la différentielle de x ↦ x^{−1} est l’endomorphisme de l’espace des matrices symétriques (n, n) défini par h ↦ −x^{−1}hx^{−1}, dont le déterminant est (−1)^{n}(det x)^{−n−1} (ce calcul du déterminant se fait à la manière de la Proposition 9.2). Pour k = 1 donc, le jacobien a bien la forme indiquée. Supposons alors la proposition montrée pour k − 1. Soit (C_{1}, …, C_{k}) un ordre parfait entre les cliques maximales et notons comme d’habitude pour simplifier M = C_{1} ∪ … ∪ C_{k−1}, K = C_{k} et S = M ∩ K. Si x ∈ Q_{G} nous adoptons la notation 10.48).

On écrit x̂^{−1} sous la forme

y = x̂^{−1} = (x_{C_{k}}^{−1})_{0} − (x_{S_{k}}^{−1})_{0} + ∑_{q=1}^{k−1}(x_{C_{q}}^{−1})_{0} − ∑_{q=2}^{k−1}(x_{S_{q}}^{−1})_{0}
= (x_{K}^{−1})_{0} − (x_{2}^{−1})_{0} + ((x̂_{M})^{−1})_{0}  (11.65)
= [ \begin{matrix}y_{1} & y_{12} & 0 \\ y_{21} & y_{2} & y_{23} \\ 0 & y_{32} & y_{3} \end{matrix} ] .

Ensuite on introduit les nouvelles variables x′_{3} = x_{3} − x_{32}x_{2}^{−1}x_{23} et x′_{32} = x_{32}x_{2}^{−1} (avec x′_{23} = x_{2}^{−1}x_{23} naturellement). En effet, (x_{K}^{−1})_{0} − (x_{2}^{−1})_{0} ne dépend que de (x′_{3}, x′_{32}) car comme on l’a vu à 10.60)

[ \begin{matrix}x_{2} & x_{23} \\ x_{32} & x_{3} \end{matrix} ]^{−1} − [ \begin{matrix}x_{2}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}x′_{23}(x′_{3})^{−1}x′_{32} & −x′_{23}(x′_{3})^{−1} \\ −(x′_{3})^{−1}x′_{32} & (x′_{3})^{−1} \end{matrix} ] . (11.66)

Notons aussi que \frac{det x_{K}}{det x_{2}} = det x′_{3}.

D’après la Proposition 10.2 l’endomorphisme de L(IR^{S}, IR^{K\S}) défini par x_{23} ↦ x′_{23} = (x_{2})^{−1}x_{23} a pour déterminant (det x_{2})^{|S|−|K|}. Il est à peu près clair que l’étude du jacobien de (x_{M}, x_{23}, x_{3}) ↦ (x_{M}, x′_{23}, x′_{3}) fournit

dx = dx_{M}dx_{23}dx_{3} = (det x_{2})^{−|S|+|K|}dx_{M}dx′_{23}dx′_{3}.  (11.67)

On fait maintenant le changement de variable

y_{M} = (x̂_{M})^{−1}, y_{23} = −x′_{23}(x′_{3})^{−1}, y_{3} = (x′_{3})^{−1}.

Alors on a dy_{3} = (det x′_{3})^{−|K|+|S|−1}dx′_{3} d’après la formule rappelée au début de la démonstration pour k = 1. Ensuite, d’après la Proposition 10.2 l’endomorphisme de L(IR^{K\S}, IR^{S}), défini par x′_{23} ↦ x′_{23}(x′_{3})^{−1} a pour déterminant (det x′_{3})^{−|S|} et donc

dy_{23}dy_{3} = (det x′_{3})^{−|K|−1}dx′_{23}dx′_{3}.

Comme d’après l’hypothèse de récurrence on avait

dy_{M} = H_{G_{M}} (−c_{M} − 1, −s_{M} − 1; x_{M})dx_{M},

on obtient

dy = dy_{M}dy_{23}dy_{2} = H_{G_{M}} (−c_{M} − 1, −s_{M} − 1; x_{M})\frac{(det x_{2})^{|S|+1}}{(det x_{K})^{|K|+1}} dx_{M}dx_{23}dx_{3}
= H_{G}(−c − 1, −s − 1; x)dx,

et la récurrence est étendue. Le jacobien de y ↦ φ(y) s’en déduit immédiatement et la Proposition 11.2 est montrée.

Corollaire 11.3. Soit ν_{G}(dy) l’image de μ_{G}(dx) par x ↦ y = x̂^{−1}. Alors ν_{G}(dy) = H_{G}(\frac{1}{2}(c + 1), \frac{1}{2}(s + 1); φ(y))1_{P_{G}}(y)dy et

W_{α,β;θ}(dy) = e^{−tr (θy)} \frac{H_{G}(α, β; φ(y))}{Γ_{2}(α, β)H_{G}(α, β; θ)}ν_{G}(dy)  (11.68)

Démonstration. Immédiate.

12. LE GRAPHE DE LA MARGUERITE, LE GRAPHE A_{N} 63

Par conséquent, la FEN {W_{α,β;θ}, θ ∈ P_{G}} est engendrée par la mesure sur P_{G}

ν(dy) = \frac{H_{G}(α, β; φ(y))}{Γ_{2}(α, β)}ν_{G}(dy)

dont la transformée de Laplace est définie pour −θ ∈ Q_{G} par H(α, β; −θ).

On peut chercher à déterminer ses objets classiques. Auparavant, nous faisons une remarque utile :

Proposition 11.4. Soit P un ordre parfait des cliques maximales du graphe triangulé connexe non complet G. Soit (α, β) ∈ A_{P} et (α′, β′) ∈ B_{P} comme aux Théorèmes 10.4 et 10.5. Considérons la loi jointe de (X, Σ) sur Q_{G}×Q_{G} définie par γ_{α,β;σ}(dx)IW_{α′,β′;θ}(dσ). Alors la loi conditionnelle de Σ sachant X = x est IW_{α′−α,β′−β;θ+x}.

Remarques. Cette proposition dit donc que si on rend aléatoire le paramètre d’échelle σ de la loi de Wishart de première espèce γ_{α,β;σ}(dx) en lui donnant une loi inverse-Wishart comme loi a priori IW_{α′,β′;θ}(dσ) dont les paramètres de forme α′, β′ sont adaptés au même ordre parfait P que α, β, alors la loi a posteriori est encore une loi inverse Wishart, dont les paramètres de forme α′ − α, β′ − β sont encore dans B_{P} . Autrement dit, si (α, β) ∈ A_{P} alors la famille

{IW_{α′,β′;θ}, θ ∈ P_{G}, (α′, β′) ∈ B_{P} }

est une famille conjuguée au sens bayésien de la FEN {γ_{α,β;σ}; ∈ Q_{G}}. C’est plus grand que la famille conjuguée classique (aussi dite conjuguée standard, conjuguée naturelle ou encore dite conjuguée au sens de Diaconis et Ylvisaker) qui se réduirait à

{IW_{p−α,p−β;θ}; θ ∈ P_{G}, p < 0}.

Démonstration de la Proposition 11.4. On écrit γ_{α,β;σ}(dx)IW_{α′,β′;θ}(dσ) =

\frac{Γ_{2}(α′ − α, β′ − β)}{Γ_{1}(α, β)Γ_{2}(α′, β′)}H(α, β; x)H(α′ −α, β′ −β; θ+x)μ_{G}(dx)IW_{α′−α,β′−β;θ+x}(dσ).

12 Le graphe de la marguerite, le graphe A_{n}

Dans cette section nous illustrons les résultats des trois sections précédentes pour deux graphes particuliers. Leur utilité statistique est modeste, mais ils ont assez de régularité pour produire des formules explicites inspiratrices de généralisaions (ainsi les auteurs sont ils passés des formules d’Andersson-Vinberg ci dessous (Théorème 12.1) aux Théorèmes 10.4 et 10.5.

Le graphe de la marguerite à k+1 sommets a pour sommets {0, 1, …, k} et pour uniques arêtes les C_{q} = {0, q} avec q = 1, …, k. C’est donc un arbre, les arêtes sont les cliques maximales et c’est un graphe triangulé. L’unique séparateur minimal est {0} et il est de multiplicité k−1. Notons par F l’espace des matrices symétriques d’ordre k + 1 de la forme

y [ \begin{matrix}y_{0} & y_{01} & ⋯ & y_{0k} \\ y_{01} & y_{1} & ⋯ & 0 \\ ⋯ & 0 & ⋯ & 0 \\ y_{0k} & 0 & ⋯ & y_{k} \end{matrix} ] .  (12.69)

Alors si y_{1} … y_{k} ≠ 0 c’est un exercice classique que de vérifier par récurrence sur k que

det y = y_{1} … y_{k}(y_{0} − ∑_{q=1}^{k} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}}).

A partir de là on montre facilement, à l’aide de la caractérisation des matrices définies positives par la positivité des déterminants principaux, que si P_{G} est l’ensemble des y ∈ F qui sont définis positifs, alors

y ∈ P_{G} ⇔ y_{q} > 0 ∀ q = 1, …, k; y_{0} − ∑_{q=1}^{k} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}} > 0.

On peut ajouter que le cône \overline{P_{G}} des éléments positifs de F est caractérisé par

y ∈ \overline{P_{G}} ⇔ y_{q} ≥ 0 ∀ q = 1, …, k; y_{0} − ∑_{q=1}^{k} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}} ≥ 0.

D’après le Théorème 10.1, les demi droites extrémales de \overline{P_{G}} sont engendrées par les y de la forme suivante : ou bien y_{0} > 0 et tous les autres y_{q} et y_{0q} sont nuls ; ou bien il existe j tel que y_{0}y_{j} = y_{0j}^{2} avec y_{0} > 0 et et tous les autres y_{q} et y_{0q} sont nuls.

De même le cône Q_{G} des matrices incomplètes est l’ensemble des

x = [ \begin{matrix}x_{0} & x_{01} & ⋯ & x_{0k} \\ x_{01} & x_{1} & ⋯ \\ ⋯ & & ⋯ \\ x_{0k} & & ⋯ & x_{k} \end{matrix} ]  (12.70)

tels que x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2} > 0 pour tous q = 1, …, k et x_{0} > 0. Le cône \overline{Q_{G}} est caractérisé par x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2} ≥ 0 et x_{q} ≥ 0 pour tous q = 1, …, k, et x_{0} ≥ 0. D’après le Théorème 10.1, les demi droites extrémales de \overline{Q_{G}} sont engendrées par les x de la forme suivante : ou bien x_{0} > 0 et tous les autres x_{q} et x_{0q} sont nuls ; ou bien x_{0}x_{q} = x_{0q}^{2} tous q = 1, …, k et x_{0} > 0. Les résultats précédents concernant les cônes P_{G} et Q_{G} du graphe de la marguerite sont en appendice de la thèse de M. Casalis (1990), où il est aussi montré que P_{G} et Q_{G} sont homogènes. Maintenant

– Pour x défini par 12.70) dans Q_{G}, nous calculons x̂^{−1}, x̂ et det x̂.

– Pour y défini par 12.69) dans P_{G}, nous calculons φ(y) et φ̂(y).

– Nous calculons les fonctions H_{G}(α, β; x) et H_{G}(α, β; φ(y)) pour x ∈ Q_{G} et y ∈ P_{G} ainsi que les mesures μ_{G}(dx) et ν_{G}(dy).

– Nous calculons les ensembles A_{P} et B_{P} et les fonctions Γ_{1}(α, β) et Γ_{2}(α, β).

Comme x_{C_{q}} = [ \begin{matrix}x_{0} & x_{0q} \\ x_{0q} & x_{q} \end{matrix} ] alors

x_{C_{q}}^{−1} = \frac{1}{x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2}} [ \begin{matrix}x_{q} & −x_{0q} \\ −x_{0q} & x_{0} \end{matrix} ] .

Comme le séparateur {0} a pour multiplicité k −1 on obtient par le Théorème 10.6

x̂^{−1} = [ \begin{matrix}\frac{−k+1}{x_{0}} + ∑_{i=1}^{k} \frac{x_{i}}{x_{0}x_{i}−x_{0i}^{2}} & \frac{−x_{01}}{x_{0}x_{1}−x_{01}^{2}} & ⋯ & \frac{−x_{0k}}{x_{0}x_{k}−x_{0k}^{2}} \\ \frac{−x_{01}}{x_{0}x_{1}−x_{01}^{2}} & \frac{x_{0}}{x_{0}x_{1}−x_{01}^{2}} & ⋯ & 0 \\ ⋯ & 0 & ⋯ & 0 \\ \frac{−x_{0k}}{x_{0}x_{k}−x_{0k}^{2}} & 0 & ⋯ & \frac{x_{0}}{x_{0}x_{k}−x_{0k}^{2}} \end{matrix} ] .

Pour calculer x̂ = (x_{ij})_{0≤i,j≤k} le plus simple est d’utiliser la remarque de la fin de la section 9. L’ordre (C_{1}, …, C_{k}) est évidemment un ordre parfait puisqu’il n’y a qu’un séparateur. Donc x_{12} = x_{01}x_{02}/x_{0}, en général x_{ij} = x_{0i}x_{0j}/x_{0}, et donc :

x̂ = [ \begin{matrix}x_{0} & x_{01} & ⋯ & x_{0k} \\ x_{01} & x_{1} & ⋯ & \frac{x_{01}x_{0k}}{x_{0}} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ x_{0k} & \frac{x_{0k}x_{01}}{x_{0}} & ⋯ & x_{k} \end{matrix} ]

Quant à det x̂ il est donné par la Proposition 9.7 et est égal à

det x̂ = H_{G}(1, 1; x) = \frac{1}{x_{0}^{k−1}} ∏_{q=1}^{k}(x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2}).

Pour calculer x = φ(y), il nous faut bravement résoudre les équations en x :

y_{0} = \frac{−k + 1}{x_{0}} + ∑_{q=1}^{k} \frac{x_{q}}{x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2}} ,
y_{0q} = \frac{−x_{0q}}{x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2}} , q = 1, …, k,
y_{q} = \frac{x_{0}}{x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2}} , q = 1, …, k.

L’astuce est simplement de calculer y_{0} − ∑_{q=1}^{k} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}} et de constater que c’est 1/x_{0}. Ensuite, on écrit x_{0q} = −y_{0q}x_{0}/y_{q} puis, comme x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2} = x_{0}/y_{q}, on écrit

x_{q} = \frac{1}{y_{q}} + \frac{x_{0q}^{2}}{x_{0}} = \frac{1}{y_{q}} + \frac{y_{0q}^{2}x_{0}}{y_{q}^{2}} = \frac{x_{0}}{y_{q}} (y_{0} − ∑_{i≠q} \frac{y_{0i}^{2}}{y_{i}}).

x = φ(y) est donc calculé. Le coefficient x_{ij} de x̂ est alors x_{ij} = x_{0} \frac{y_{0i}y_{0j}}{y_{i}y_{j}} .

Pour calculer les prochaines quantités il va être commode d’utiliser l’abréviation (en accord avec les remarques suivant le Théorème 10.4)

γ(α, β) = −(k − 1)β + ∑_{q=1}^{k} α_{q}.

On écrit d’abord

H_{G}(α, β; x) = x_{0}^{−(k−1)β} ∏_{q=1}^{k}(x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2})^{α_{q}}.

Le calcul fait de φ(y) permet alors d’écrire

H_{G}(α, β; φ(y)) = (y_{0} − ∑_{q=1}^{k} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}} )^{−γ(α,β)} ∏_{q=1}^{k} y_{q}^{−α_{q}}

(On rappelle que si x = φ(y) alors x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2} = x_{0}/y_{q}). Quant aux mesures de référence ce sont

μ_{G}(dx) = x_{0}^{k−1} ∏_{q=1}^{k}(x_{0}x_{q} − x_{0q}^{2})^{−3/2}1_{Q_{G}}(x)dx  (12.71)

ν_{G}(dy) = (y_{0} − ∑_{q=1}^{k} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}} )^{1+ \frac{k}{2}} ∏_{q=1}^{k} y_{q}^{3/2}1_{P_{G}}(y)dy  (12.72)

Pour le graphe de la marguerite tous les ordres de cliques maximales sont parfaits, et comme il n’y a qu’un séparateur, tous les ensembles A_{P} coincident. Il en va de même pour les B_{P} . On obtient, d’après les Théorèmes 10.4 et 10.5 :

A_{P} = {(α_{1}, …, α_{k}, β); γ(α, β) > 0 et α_{q} > 1/2 ∀q = 1, …, k},
B_{P} = \{(α_{1}, …, α_{k}, β); γ(α, β) < \frac{k}{2} et α_{q} < 0 ∀q = 1, …, k\}
Γ_{1}(α, β) = π^{k/2}Γ(γ(α, β)) ∏_{q=1}^{k} Γ(α_{q} − \frac{1}{2})

Γ_{2}(α, β) = π^{k/2}Γ(−γ(α, β) + \frac{k}{2}) ∏_{q=1}^{k} Γ(−α_{q}).

L’application des Théorèmes 10.4 et 10.5 au graphe de la marguerite fournit alors les deux remarquables formules d’Andersson-Vinberg suivantes

Théorème 12.1. Avec x ∈ Q_{G} et y ∈ P_{G} où G est le graphe de la marguerite à k + 1 sommets, on a pour (α, β) ∈ A_{P}

∫_{Q_{G}} e^{−tr xy}H(α, β; x)μ_{G}(dx) = Γ_{1}(α, β)H_{G}(α, β; φ(y)),

et pour (α, β) ∈ B_{P} on a

∫_{P_{G}} e^{−tr xy}H(α, β; φ(y))ν_{G}(dy) = Γ_{2}(α, β)H_{G}(α, β; x).

Démonstration. Il y en a trois possibles : soit appliquer les Théorèmes 10.4 et 10.5, soit faire le calcul direct (pour la première, faire l’intégration d’abord par rapport àux x_{q}, puis par rapport aux x_{0q}, puis par rapport à x_{0}; pour la deuxième, utiliser l’ordre y_{0}, y_{0q}, y_{q}), soit utiliser la méthode d’Andersson (1999), que nous n’allons pas détailler ici, et qui est basée sur le fait que dans le cas du graphe de la marguerite, alors les cônes Q_{G} et P_{G} sont homogènes et que la structure peut être considérée à la lumière des algèbres de Vinberg (voir Andersson et Vojnar (2001) pour un exposé récent sur le sujet). Dans ce contexte, les fonctions H(α, β; .) sont des produits de caractères réels du groupe des automorphismes de Q_{G} ou de P_{G}. Rappelons que pour un graphe triangulé, Q_{G} et P_{G} ne sont pas en général homogènes (exemple G = A_{4}). Les deux approches "graphes triangulés" et "algèbres de Vinberg" fournissent les mêmes formules pour la marguerite, mais l’enveloppe commune des deux théories, dont aucune ne recouvre l’autre, reste donc à découvrir.

Calcul de la fonction variance pour une Wishart de première espèce pour la marguerite. On sait qu’alors la famille exponentielle est engendrée par une mesure μ dont la transformée de Laplace version physicienne est S_{μ}(y) = ∫_{Q_{G}} e^{−tr (yx)}μ(dx) = H_{G}(α, β, φ(y). Attention, on est dans le cas dit non classique, car

xQy^{T} = tr (xy) = ∑_{q=0}^{k} x_{q}y_{q} + 2 ∑_{q=1}^{k} x_{0q}y_{0q}.

Notons pour simplifier γ = −(k − 1)β + ∑_{q=1}^{k} α_{q} et \frac{1}{x_{0}} = y_{0} − ∑_{q=1}^{k} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}} , alors

s_{μ}(y) = −γ log x_{0} + ∑_{q=1}^{k} α_{q} log y_{q}.

Compte tenu de la méthode décrite dans la section 4, nous avons à calculer – s′_{μ}(y) = m = Q^{−1}(\frac{∂}{∂y}s_{μ}(y)).

– La fonction réciproque y = ρ_{μ}(m).

– La matrice hessienne H(y) des dérivées secondes de s_{μ}(y).

– Et enfin la fonction variance V (m) = −Q^{−1}H(ρ_{μ}(m)Q^{−1}.

On obtient d’abord

\frac{∂}{∂y_{0}} x_{0} = −x_{0}^{2}  \frac{∂}{∂y_{q}} x_{0} = −x_{0}^{2} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}^{2}}  \frac{∂}{∂y_{0q}} x_{0} = 2x_{0}^{2} \frac{y_{0q}}{y_{q}}
\frac{∂}{∂y_{0}} log x_{0} = −x_{0}  \frac{∂}{∂y_{q}} log x_{0} = −x_{0} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}^{2}}  \frac{∂}{∂y_{0q}} log x_{0} = 2x_{0} \frac{y_{0q}}{y_{q}}
\frac{∂}{∂y_{0}} s_{μ}(y) = γx_{0} = m_{0} \frac{∂}{∂y_{q}} s_{μ}(y) = γx_{0} \frac{y_{0q}^{2}}{y_{q}^{2}} + \frac{α_{q}}{y_{q}} = m_{q} \frac{∂}{∂y_{0q}} s_{μ}(y) = −2γx_{0} \frac{y_{0q}}{y_{q}} = 2m_{0q}.

Introduisons alors les quantités Δ_{q} = m_{q}m_{0}−m_{0q}^{2}. On les utilise pour simplifier la présentation de y = ρ_{μ}(m) : après calculs on obtient

y_{0} = \frac{1}{m_{0}} (γ + ∑_{q=1}^{k} α_{q} \frac{m_{0q}^{2}}{Δ_{q}} ) , y_{q} = α_{q} \frac{m_{0}}{Δ_{q}} , y_{0q} = −α_{q} \frac{m_{0q}}{Δ_{q}} .

Il est ensuite assez fastidieux de décrire le calcul de H(ρ_{μ}(m)). Nous allons nous contenter de donner le résultat pour V (m). Et encore, pour simplifier, nous prenons k = 2. Mais ceci n’est pas vraiment une restriction. Pour passer à k quelconque, il suffit de remplacer (q, q′) par (1, 2) si q ≠ q′ et par (1, 1) si q = q′. On obtient que V_{F} (m) égale

\frac{m_{0}^{2}}{γ}  \frac{m_{01}^{2}}{γ}  \frac{m_{02}^{2}}{γ}  \frac{m_{0}m_{01}}{γ}  \frac{m_{0}m_{02}}{γ}
\frac{m_{01}^{2}}{γ}  \frac{m_{01}^{4}}{γm_{0}^{2}} + \frac{2m_{01}^{2}Δ_{1}}{α_{1}m_{0}^{2}} + \frac{Δ_{1}^{2}}{α_{1}m_{0}^{2}}  \frac{m_{01}^{2}m_{02}^{2}}{γm_{0}^{2}}  \frac{m_{01}^{3}}{γm_{0}} + \frac{m_{01}Δ_{1}}{α_{1}m_{0}}  \frac{m_{01}^{2}m_{02}}{γm_{0}}
\frac{m_{02}^{2}}{γ}  \frac{m_{01}^{2}m_{02}^{2}}{γm_{0}^{2}}  \frac{m_{02}^{4}}{γm_{0}^{2}} + \frac{2m_{02}^{2}Δ_{2}}{α_{2}m_{0}^{2}} + \frac{Δ_{2}^{2}}{α_{2}m_{0}^{2}}  \frac{m_{01}m_{02}^{2}}{γm_{0}}  \frac{m_{02}^{3}}{γm_{0}} + \frac{m_{02}Δ_{2}}{α_{2}m_{0}}
\frac{m_{0}m_{01}}{γ} \frac{m_{01}^{3}}{γm_{0}} + \frac{m_{01}Δ_{1}}{α_{1}m_{0}}  \frac{m_{01}m_{02}^{2}}{γm_{0}}  \frac{m_{01}^{2}}{γ} + \frac{Δ_{1}}{2α_{1}}  \frac{m_{0}m_{01}}{γ}
\frac{m_{0}m_{02}}{γ} \frac{m_{01}^{2}m_{02}}{γm_{0}}  \frac{m_{02}^{3}}{γm_{0}} + \frac{m_{02}Δ_{2}}{α_{2}m_{0}}  \frac{m_{0}m_{01}}{γ}  \frac{m_{02}^{2}}{γ} + \frac{Δ_{2}}{2α_{2}}

Le graphe A_{k+1} à k + 1 sommets.

Il a pour sommets

{1, …, k + 1} et pour uniques arêtes les C_{q} = {q, q + 1} avec q = 1, …, k. C’est donc un arbre, les arêtes sont les cliques maximales et c’est un graphe triangulé. Les séparateurs sont les S_{q} = {q} avec q = 2, …, k et sont tous de multiplicité 1. Notons par F l’espace des matrices symétriques d’ordre k + 1 qui sont tridiagonales, c’est à dire donc les matrices y = (y_{ij})_{1≤i,j≤k+1} telles que y_{ij} = 0 si |i−j| > 1 et y_{ij} = y_{ji}. Pour simplifier, on note comme d’habitude y_{qq} = y_{q}. Le cône P_{G} est donc l’ensemble des y ∈ F qui sont définis positifs, le cône Q_{G} est l’ensemble des matrices symétriques incomplètes x = (x_{ij})_{(i,j)∈Ẽ} telles que x_{q} > 0 pour tout q = 1, …, k + 1 et Δ_{q} = x_{q}x_{q+1} − x_{q,q+1}^{2} > 0.

La problématique est la même que pour la marguerite, il faut calculer y = x̂^{−1}, x̂, φ(y), H_{G}(α, β; x), H_{G}(α, β; φ(y)), μ_{G}, ν_{G}, A_{P} , B_{P} , Γ_{1}(α, β) et Γ_{2}(α, β). La réalisation de la totalité de ce programme est toutefois subordonnée à la solution d’un problème difficile, le calcul de φ(y). Nous commencons donc par les choses faisables. On a donc d’après le Théorème 9.6, si y = x̂^{−1}

y_{1} = \frac{x_{2}}{Δ_{1}} y_{q} = \frac{x_{q−1}}{Δ_{q−1}} + \frac{x_{q+1}}{Δ_{q}} y_{q,q+1} = \frac{−x_{q,q+1}}{Δ_{q}} q = 2, …, k, y_{k+1} = \frac{x_{k}}{Δ_{k}} .

La méthode de la remarque qui termine la section 9 permet de calculer x̂ = (x_{ij}) et on obtient pour 1 ≤ i < j ≤ k + 1

x_{ij} = \frac{∏_{q=i}^{j−1} x_{q,q+1}}{∏_{q=i+1}^{j−1} x_{q}} .

Ensuite on a

H_{G}(α, β; x) = \frac{∏_{q=1}^{k} Δ_{q}^{α_{q}}}{∏_{q=2}^{k} x_{q}^{β_{q}}} , μ_{G}(dx) = \frac{∏_{q=2}^{k} x_{q}}{∏_{q=1}^{k} Δ_{q}^{3/2}} 1_{Q_{G}}(x)dx.

Quant aux ensembles A_{P} et B_{P} pour l’ordre parfait P = (C_{1}, …, C_{k}) ce sont

A_{P} = {(α, β); α_{1} + α_{2} > β_{2}, α_{q} > 1/2 q = 1, …, k, α_{q} = β_{q}, q = 3, …, k},
B_{P} = \{(α, β); α_{1} + α_{2} − β_{2} < 2, α_{q} < 0 q = 1, …, k, α_{q} = β_{q} + \frac{1}{2}, q = 3, …, k\}.

Enfin voici les fonctions gamma

Γ_{1}(α, β) = π^{\frac{k+1}{2}} Γ(α_{1} + α_{2} − β_{2}) ∏_{q=1}^{k} Γ(α_{q} − \frac{1}{2})

Γ_{2}(α, β) = π^{\frac{k+1}{2}} Γ(−α_{1} − α_{2} + β_{2} + \frac{3}{2}) ∏_{q=1}^{k} Γ(−α_{q}).

Nous nous embarquons maintenant pour le calcul de φ(y). Les matrices y ∈ P_{G}, c’est à dire les matrices tridiagonales et définies positives ont été fort étudiées dans la littérature à propos des fractions continues analytiques (voir par exemple Wall (1948) page 46 et suivantes). On va d’abord calculer φ(y) dans le cas où la diagonale de y est formée de 1. L’idée inspirée de Wall (et de ses prédécesseurs Pringsheim et Van Vleck) est alors de paramétrer les y_{q,q+1} par des nombres h_{1}, …, h_{k+1} tels que

y_{q,q+1}^{2} = h_{q}(1 − h_{q+1}).

(En fait ces auteurs écrivent plutôt y_{q,q+1}^{2} = (1 − g_{q−1})q_{g}). Avant de donner les détails voici une proposition technique :

Proposition 12.2. Soit h_{1}, …, h_{k+1} des nombres de [0, 1] soit ϵ = (ϵ_{1}, …, ϵ_{k}) ∈ {−1, 1}^{k} et soit la matrice M_{ϵ}(h_{1}, …, h_{k+1}) symétrique d’ordre k + 1 :

[ \begin{matrix}1 & ϵ_{1}(h_{1}(1 − h_{2}))^{1/2} & 0 & … & 0 & 0 \\ ϵ_{1}(h_{1}(1 − h_{2}))^{1/2} & 1 & ϵ_{2}(h_{2}(1 − h_{3}))^{1/2} & … & 0 & 0 \\ 0 & ϵ_{2}(h_{2}(1 − h_{3}))^{1/2} & 1 … & 0 & 0 \\ … & … & … & … & … & … \\ 0 & 0 & 0 & … & ϵ_{k}(h_{k}(1 − h_{k+1}))^{1/2} & 1 \end{matrix} ] .

(12.73)

Alors elle est positive et son déterminant D(h_{1}, …, h_{k+1}) ne dépend pas de ϵ. De plus, si 0 ≤ h_{j} < 1 pour tout j = 1, …, k + 1 et si p_{j} = h_{j}/(1 − h_{j}) alors la matrice est définie positive et

\frac{D(h_{1}, …, h_{k+1})}{(1 − h_{1})(1 − h_{2}) … (1 − h_{k+1})} = ∑_{j=0}^{k+1} ∏_{i=j+1}^{k+1} p_{i}.  (12.74)

Finalement, si de plus h_{k+1} = 0 notons par x_{q} et x_{q,q+1} les entrées (q, q) et (q, q + 1) de (M_{ϵ}(h_{1}, …, h_{k+1}))^{−1}. Alors

D(h_{1}, …, h_{k}, 0) = (1 − h_{1}) … (1 − h_{k})  (12.75)
x_{q} = \frac{D(h_{1}, …, h_{q−1})}{(1 − h_{1})(1 − h_{2}) … (1 − h_{q})}
= \frac{1}{1 − h_{q}} [1 + p_{q−1} + p_{q−1}p_{q−2} + … + p_{q−1}p_{q−2} … p_{1}]  (12.76)
x_{q,q+1} = −\frac{ϵ_{q}(h_{q}(1 − h_{q+1}))^{1/2}}{(1 − h_{q})(1 − h_{q+1})} [1 + p_{q−1} + p_{q−1}p_{q−2} + … + p_{q−1}p_{q−2} … p_{1}]
= −\frac{ϵ_{q}(h_{q}(1 − h_{q+1}))^{1/2}}{1 − h_{q+1}} x_{q}  (12.77)
x_{q}x_{q+1} − x_{q,q+1}^{2} = \frac{D(h_{1}, …, h_{q−1})D(h_{1}, …, h_{q+1})}{(1 − h_{1})^{2} … (1 − h_{q})^{2}(1 − h_{q+1})}  (12.78)

Démonstration. En développant le déterminant par rapport à la dernière ligne on a immédiatement la relation de récurrence

D(h_{1}, …, h_{k+1}) = D(h_{1}, …, h_{k}) − h_{k}(1 − h_{k+1})D(h_{1}, …, h_{k−1}). (12.79)

Comme D(h_{1}) = 1 et D(h_{1}, h_{2}) = 1 − h_{1} + h_{1}h_{2} l’indépendance vis à vis de ϵ est claire. Supposons maintenant 0 ≤ h_{j} < 1 pour tout j = 1, …, k + 1. Alors 12.79 permet facilement de montrer par récurrence la formule 12.74. En particulier dans ce cas 12.74 montre D(h_{1}, …, h_{k+1}) > 0. Comme c’est vrai pour tout k, le critère classique des déterminants principaux montre que M_{ϵ}(h_{1}, …, h_{k+1}) est définie positive. Par densité on voit que M_{ϵ}(h_{1}, …, h_{k+1}) est positive si certains h_{j} sont égaux à 1.

Supposons enfin h_{k+1} = 0. Alors 12.79 montre par récurrence la formule 12.75. Ensuite, pour calculer x_{q} on prend le mineur de l’entrée (q, q) de la matrice M_{ϵ}(h_{1}, …, h_{k+1}) et on voit qu’il est égal à D(h_{1}, …, h_{q−1})D(h_{q+1}, …, h_{k+1}). Le nombre x_{q} est le quotient de ce nombre par D(h_{1}, …, h_{k+1}). Maintenant, nous avons supposé h_{k+1} = 0 et donc d’après 12.75 on a

D(h_{1}, …, h_{k+1})/D(h_{j+1}, …, h_{k+1}) = (1 − h_{1}) … (1 − h_{j}).

Mettant ensemble cette dernière formule et 12.74 on a bien 12.76. On procède de même par quotient de mineur et déterminant pour avoir 12.77 puis 12.78 et la proposition est complètement montrée.

13. LES LOIS G-WISHART ET LEUR APPLICATION À L’ESTIMATION.71

Cette proposition calculait essentiellement x = φ(y) dans le cas particulier où les y_{q} = 1 pour tout q. En effet pour un tel y ∈ P_{G} notons plutôt z_{q,q+1} = y_{q,q+1}. Supposons de plus que z_{q,q+1} ≠ 0 pour tout q = 1, …, k. On définit ϵ_{q} comme le signe de z_{q,q+1} et on peut trouver des (h_{1}, …, h_{k}) ∈ (0, 1) tels que z_{q,q+1}^{2} = h_{q}(1 − h_{q+1}) avec h_{k+1} = 0. Il suffit pour cela de prendre

h_{k} = z_{k,k+1}^{2}, h_{k−1} = \frac{z_{k−1,k}^{2}}{1 − z_{k,k+1}^{2}} , h_{k−1} = \frac{z_{k−2,k−1}^{2}}{1 − \frac{z_{k−1,k}^{2}}{1−z_{k,k+1}^{2}}} …

Nous renvoyons à Wall (1948) pages 67 -69 pour la vérification du fait que les h_{q} sont effectivement dans (0, 1). Quand on remplace ces h_{q} par leur expression en fonction des z_{q,q+1} dans 12.76 et 12.77 on a l’expression explicite de φ(y) voulue (toujours sous l’hypothèse où les y_{q} = 1).

Reste à passer au cas où les y_{q} sont > 0 quelconques. Il suffit alors d’observer qu’alors si D = diag((y_{1})^{1/2}, …, (y_{k+1})^{1/2}) alors le passage de y à D^{−1}yD^{−1} ramène au cas précédent avec

z_{q,q+1} = \frac{y_{q,q+1}}{(y_{q}y_{q+1})^{1/2}} .

On calcule les h_{q} en fonction de ces z_{q,q+1} et on a

x_{q} = \frac{1}{y_{q}} × \frac{1}{1 − h_{q}} [1 + p_{q−1} + p_{q−1}p_{q−2} + … + p_{q−1}p_{q−2} … p_{1}] (12.80)
x_{q,q+1} = −\frac{1}{(y_{q}y_{q+1})^{1/2}} × ϵ_{q}(h_{q}(1 − h_{q+1}))^{1/2} \frac{D(h_{1}, …, h_{q−1})}{(1 − h_{1}) … (1 − h_{q+1})}(12.81)
Δ_{q} = x_{q}x_{q+1} − x_{q,q+1}^{2} = \frac{1}{y_{q}y_{q+1}} × \frac{D(h_{1}, …, h_{q−1})D(h_{1}, …, h_{q+1})}{(1 − h_{1})^{2} … (1 − h_{q})^{2}(1 − h_{q+1})}. (12.82)

Nous avons ignoré le cas où certains y_{q,q+1} = 0. Dans ce cas, la matrice y est formée d’un certain nombre de blocs tridiagonaux auxquels on applique la méthode précédente.

13 Les Lois G-Wishart et leur application à l’estimation.

Dans cette section, nous allons réexaminer les lois de Wishart et inverse Wishart associées à un graphe triangulé G introduites à la section 11 pour les considérer dans le cas particulier où (α, β) est une constante p (pour la première espèce) et le cas particulier où (α + \frac{c+1}{2}, β + \frac{s+1}{2}) est une constante −p < 0 (pour la deuxième espèce). Ces cas particuliers ont des propriétés statistiques fort intéressantes.

Définition 13.1. Soit G = (V, E) un graphe triangulé connexe sur V = {1, …, n}, soit P = (C_{1}, …, C_{k}) un ordre parfait des cliques maximales et (S_{2}, …, S_{k}) les séparateurs correspondants, soit c_{q} et s_{q} les tailles de C_{q} et S_{q}, soit p > max_{q} \frac{c_{q}−1}{2} et soit σ ∈ Q_{G}. Alors la loi G-Wishart de première espèce sur le cône de matrices incomplètes Q_{G}, de paramètres p et σ est la loi γ_{p,p;σ}(dx)

Propriétés de la G Wishart, 1ère espèce On a donc

γ_{p,p;σ}(dx) = e^{−tr (xσ̂^{−1})} \frac{(det x̂)^{p}}{Γ_{1}(p, p)(det σ̂)^{p}} μ_{G}(dx)  (13.83)

= e^{−tr (xσ̂^{−1})} \frac{∏_{q=1}^{k}(det x_{C_{q}})^{p− \frac{cq+1}{2}}}{∏_{q=2}^{k}(det x_{S_{q}})^{p− \frac{sq+1}{2}}} \frac{∏_{q=2}^{k} Γ_{s_{q}}(p)}{(det σ̂)^{p} ∏_{q=1}^{k} Γ_{s_{q}}(p)}1_{Q_{G}}(x)dx. (13.84)

Les présentations 13.83 et 13.84 de γ_{p,p;σ}(dx) résultent de l’aspect particulier que prennent les fonctions H_{G}(α, β; x) et Γ_{1}(α, β) quand α et β sont constants sur les cliques et les séparateurs. On peut même remarquer que si pour une partie complète S de taille s de G on note

f_{S}(x_{S}) = e^{−tr (x_{S}σ_{S}^{−1})} (\frac{det x_{S}}{det σ_{S}} )^{p− \frac{s+1}{2}} \frac{1}{Γ_{s}(p)}

qui est après tout la densité d’une loi de Wishart ordinaire sur le cône P_{s} alors on a l’étonnante expression

γ_{p,p;σ}(dx) = \frac{∏_{q=1}^{k} f_{C_{q}}(x_{C_{q}})}{∏_{q=2}^{k} f_{S_{q}}(x_{S_{q}})}1_{Q_{G}}(x)dx.  (13.85)

La tranformée de Laplace de la G Wishart de première espèce γ_{p,p;σ} pour σ̂^{−1} − θ ∈ P_{G} et d’après la section 11 est H_{G}(p, p, φ(σ̂^{−1} − θ)/H_{G}(p, p, σ) ou

L_{γ_{p,p;σ}}(θ) = \frac{(det σ̂)^{p}}{(det(σ̂^{−1} − θ))^{p}} = \frac{1}{(det(I_{n} − θσ̂))^{p}}  (13.86)

La loi G Wishart de première espèce est la loi de l’estimateur de la projection de la covariance inconnue dans le cas d’un modèle trangulé gaussien. Plus précisément

Théorème 13.2. Soit G = (V, E) un graphe triangulé connexe sur V = {1, …, n}, soit F l’espace des matrices symétriques incomplètes gouvernées par G. Soit N un entier supérieur ou égal à la taille de la plus grande clique maximale. Soit Z_{1}, …, Z_{N} des variables aléatoires de IR^{n} gaussiennes indépendantes centrées de variance inconnue Σ telle que Σ^{−1} ∈ P_{G}. Alors l’estimateur du maximum de vraisemblance de Σ est X̂ où X est l’élément de Q_{G} obtenu par projection sur F de

\frac{1}{N} ∑_{j=1}^{N} Z_{i}Z_{i}^{T} .

De plus, si Σ_{0} est la vraie valeur de Σ, avec Σ_{0}^{−1} ∈ P_{G} , la loi de X/2 est alors γ_{N/2,N/2;σ}, où σ est la projection sur F de 2Σ_{0}.

Nous allons maintenant enoncer les proprietes d’independance de l’hyper Wishart (alias G-Wishart de premiere espece).

Proposition 13.3. Soit G un graphe triangulé et soit C = {C_{1}, …, C_{k}} un ordre parfait des cliquesmaximùales . Soit S = {S_{2}, …, S_{k}} l’ ensemble correspondants des séparateurs minimaux. Soit X ∈ Q_{G} une variable aléatoire qui suit une loi de densité

HW(x; σ, N) = \frac{∏_{i=1}^{k} w_{c_{i}}(x_{C_{i}}; σ_{C_{i}}, N)}{∏_{i=2}^{k} w_{s_{i}}(x_{S_{i}}; σ_{S_{i}}, N},  (13.87)

où pour tout sous ensemble complet C ⊂ V de cardinalité c

w_{c}(x_{C}; σ_{C}, N) = \frac{(det x_{C})^{\frac{N}{2} − \frac{c+1}{2}}}{Γ_{c}(\frac{N}{2} )(det σ_{C})^{\frac{N}{2}}} exp⟨x_{C}, σ_{C}^{−1}⟩ .  (13.88)

Alors

1. X_{R_{k}·S_{k}} ⊥ (X_{R_{k},S_{k}}X_{S_{k}}^{−1}, X_{H_{k−1}}),

2. X_{R_{k}·S_{k}} ∼ w_{r_{k}}(\frac{N−s_{k}}{2} , σ_{2·1})

3. X_{R_{k},S_{k}}X_{S_{k}}^{−1}|X_{H_{k−1}} ∼ N(σ_{R_{k},S_{k}}σ_{S_{k}}^{−1}, B_{k}) où B_{k} est l’opérateur bilinéaire

(u, v) ∈ IR^{R_{k},S_{k}} ⊗ IR^{S_{k},R_{k}} ↦ u X_{S_{k}} v σ_{R_{k}·S_{k}}^{−1}.

Démonstration Comme les σ_{C_{j}}, j = 1 …, k sont définies positives et que le graphe G est decomposable, il en résulte que σ̂^{−1} est dans P_{G}. Nous avons donc

σ̂^{−1} = ∑_{i=1}^{k} σ_{C_{i}}^{−1} − ∑_{i=2}^{k} σ_{S_{i}}^{−1}.

et

\frac{∏_{i=1}^{k} exp −\frac{1}{2}⟨x_{C_{i}}, σ_{C_{i}}^{−1}⟩}{∏_{i=2}^{k} exp −\frac{1}{2}⟨x_{S_{i}}, σ_{S_{i}}^{−1}⟩} = exp −\frac{1}{2} (⟨x_{H_{k−1}}, σ_{H_{k−1}}^{−1}⟩ + ⟨x_{C_{k}}, σ_{C_{k}}^{−1}⟩ − ⟨x_{S_{k}}, σ_{S_{k}}^{−1}⟩) .

(13.89)

Nous decomposons maintenant les matrices x_{C_{k}} and σ_{C_{k}} en blocks correspondant a S_{k} and R_{k} = C_{k} \ S_{k} et que nous notons respectivement “1” and “2” pour alleger les notations. Nous utilisons la decomposition de Cholesky pour chacune de ces matrices et nous avons donc

x = ( \begin{matrix}x_{1} & x_{12} \\ x_{21} & x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ x_{21}x_{1}^{−1} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} & 0 \\ 0 & x_{2·1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & x_{1}^{−1}x_{12} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

et nous avons une decomposition similaire pour Σ. De simples multiplications de matrices donnent alors

⟨x_{C_{k}}, σ_{C_{k}}^{−1}⟩−⟨x_{S_{k}}, σ_{S_{k}}^{−1}⟩ = ⟨x_{2·1}, σ_{2·1}^{−1}⟩+⟨(x_{21}x_{1}^{−1}−σ_{21}σ_{1}^{−1}), x_{1}(x_{1}^{−1}x_{12}−σ_{1}^{−1}σ_{12})σ_{2·1}^{−1}⟩ (13.90)

Nous decomposons aussi les determinants de la facon suivante

\frac{∏_{i=1}^{k}(det x_{C_{i}})^{\frac{N}{2} − \frac{c_{i}+1}{2}}}{∏_{i=2}^{k}(det x_{S_{i}})^{\frac{N}{2} − \frac{s_{i}+1}{2}}}

= \frac{∏_{i=1}^{k−1}(det x_{C_{i}})^{\frac{N}{2} − \frac{c_{i}+1}{2}}}{∏_{i=2}^{k−1}(det x_{S_{i}})^{\frac{N}{2} − \frac{s_{i}+1}{2}}} \frac{(det x_{C_{k}})^{\frac{N}{2} − \frac{c_{k}+1}{2}}}{(det x_{S_{k}})^{\frac{N}{2} − \frac{c_{k}+1}{2}}}

= \frac{∏_{i=1}^{k−1}(det x_{C_{i}})^{\frac{N}{2} − \frac{c_{i}+1}{2}}}{∏_{i=2}^{k−1}(det x_{S_{i}})^{\frac{N}{2} − \frac{s_{i}+1}{2}}} (det x_{2·1})^{\frac{N−s_{k}}{2} − \frac{r_{k}+1}{2}} (det x_{1})^{− \frac{c_{k}−s_{k}}{2}} (13.91)

Nous decomposons maintenant la constante de normalisation.

\frac{∏_{i=1}^{k} Γ_{c_{i}}(\frac{N}{2} )(det σ_{C_{i}})^{\frac{N}{2}}}{∏_{i=2}^{k} Γ_{s_{i}}(\frac{N}{2} )(det σ_{S_{i}})^{\frac{N}{2}}}

= \frac{∏_{i=1}^{k−1} Γ_{c_{i}}(\frac{N}{2} )(det σ_{C_{i}})^{\frac{N}{2}}}{∏_{i=2}^{k−1} Γ_{s_{i}}(\frac{N}{2} )(det σ_{S_{i}})^{\frac{N}{2}}} \frac{1}{π^{\frac{r_{k}s_{k}N}{2}} Γ_{c_{k}}(\frac{N−s_{k}}{2} )σ2·1^{\frac{N−s_{k}}{2}} σ2·1^{\frac{s_{k}}{2}}}  (13.92)

Faisons maintenant le changement de variable

x ∈ Q_{G} ↦ (x_{H_{k−1}}, x_{2·1}x_{1}^{−1}, x_{1}

dont le Jacobien est (det x_{1})^{c_{k}−s_{k}}. En utilisant 13.89, 13.90, 13.92, 13.91 et le Jacobien ci dessus, nous obtenons

HW(x; σ, N)dx = \frac{∏_{i=1}^{k} w_{c_{i}}(x_{C_{i}}; σ_{C_{i}}, N)}{∏_{i=2}^{k} w_{s_{i}}(x_{S_{i}}; σ_{S_{i}}, N)}

×HW(x_{H_{k−1}}; σ_{H_{k−1}}, N)\frac{(det x_{2·1})^{\frac{N−s_{k}}{2} − \frac{r_{k}+1}{2}}}{Γ_{c_{k}}(\frac{N−s_{k}}{2} )σ2·1^{\frac{N−s_{k}}{2}}} exp −⟨x_{2·1}, σ_{2·1}^{−1}⟩

×\frac{(det x_{1})^{\frac{c_{k}−s_{k}}{2}}}{π^{\frac{r_{k}s_{k}N}{2}} σ2·1^{\frac{s_{k}}{2}}} exp −⟨(x_{21}x_{1}^{−1} − σ_{21}σ_{1}^{−1}), x_{1}(x_{1}^{−1}x_{12} − σ_{1}^{−1}σ_{12})σ_{2·1}^{−1})⟩

×dx_{H_{k−1}}dx_{1}dx_{2·1} .  (13.93)

Nous voyons donc clairement que x_{2·1} = x_{R_{k}·S_{k}} et x_{21}x_{1}^{−1} = x_{R_{k}S_{k}}x_{S_{k}}^{−1} etant donne x_{H_{k−1}} suivent bien les distributions indiquees dans l’enonce et que x_{R_{k}·S_{k}} est independant de (x_{R_{k}S_{k}}x_{S_{k}}^{−1}, x_{H_{k−1}}). Nous pouvons evidemment repeter pour n’importe quel j = 2, … k − 1 l’argument que nous avons donne pour k et il s’en suit que pour tout j = 2, …, k, nous avons que x_{R_{j}·S_{j}} est independant de (x_{R_{j}S_{j}}x_{S_{j}}^{−1}, x_{H_{j−1}}).

Proposition 13.4. Soit P = (C_{1}, …, C_{k}) un ordre parfait des cliques maximales du graphe triangulé G, soit p > 0 et soit (α, β) = (−p − \frac{c+1}{2}, −δ − \frac{s+1}{2}).

Soit θ ∈ Q_{G} et soit X une variable aléatoire sur Q_{G} de loi inverse Wishart IW_{α,β;θ}. On note par X_{2} la restriction de X au séparateur S = S_{k}, on note par

X_{K} = [ \begin{matrix}X_{2} & X_{23} \\ X_{32} & X_{3} \end{matrix} ] , X_{M} = [ \begin{matrix}X_{1} & X_{12} \\ X_{21} & X_{2} \end{matrix} ]

les restrictions respectives de X à K = C_{k} et M = C_{1}∪…∪C_{k−1}, on note X′_{3} = X_{3}−X_{32}X_{2}^{−1}X_{23} et X′_{32} = X_{32}X_{2}^{−1}. Alors X_{M} et (X′_{32}, X′_{3}) sont indépendantes. De plus, X_{M} suit une loi inverse Wishart de paramètres (α_{M}, β_{M}; θ_{M}). En convenant θ′_{3} = θ_{3} − θ_{32}θ_{2}^{−1}θ_{23} on a que X′_{3} suit la loi inverse Wishart ordinaire sur le cône P_{c_{k}−s_{k}} des matrices symétriques définies positives d’ordre |K| − |S| = c_{k} − s_{k}

\frac{1}{Γ_{c_{k}−s_{k}}(p + \frac{c_{k}+1}{2})}(det x′_{3})^{−p− \frac{c_{k}+1}{2} − \frac{c_{k}−s_{k}+1}{2}} e^{−tr (θ′_{3}(x′_{3})^{−1})}1_{P_{c_{k}−s_{k}}} (x′_{3})dx′_{3}.

Enfin, la loi de X′_{32} conditionnée par X′_{3} est une loi normale sur L = L(IR^{S}, IR^{K\S}) de covariance x′_{23} ↦ \frac{1}{2}θ_{2}^{−1}x′_{23} et de moyenne θ_{2}^{−1}θ_{23}(X′_{3})^{−1}.

Démonstration. Elle est très proche de celle de la Proposition 11.2, puisqu’il suffit de calculer la loi de (X_{M}, X′_{32}, X′_{3}). Nous conservons à dessein la notation (α, β) pour que le lecteur réalise exactement à quel moment l’hypothèse (−p− \frac{c+1}{2}, −p − \frac{s+1}{2}) = (α, β) devient nécessaire. La loi de (X_{M}, X′_{32}, X′_{3}) est, avec une constante multiplicative K

Ke^{−tr (θ_{M} (x̂_{M})^{−1})}H_{G_{M}} (α_{M}, β_{M}; x_{M})μ_{G_{M}} (dx_{M})
e^{−tr (θ_{2}x′_{23}(x′_{3})^{−1}x′32−tr (θ_{3}(x′_{3})^{−1})+2tr (θ_{32}x′_{23}(x′_{3})^{−1})}
(det x′_{3})^{α_{k}− \frac{c_{k}+1}{2}} (det x_{2})^{α_{k}−β_{k}+ \frac{c_{k}−s_{k}}{2}} dx′_{23}dx′_{3}.  (13.94)

Pour écrire cela nous avons utilisé les formules 10.49, 11.64, 11.65, 11.66 et 11.67. Ensuite, le choix particulier de (α, β) permet de tuer l’exposant de det x_{2} et d’obtenir l’indépendance de X_{M} avec (X′_{32}, X′_{3}). Pour trouver la loi marginale de X′_{3} il suffit d’intégrer par rapport à x′_{23} sur tout IR^{|K|−|S|} la densité de la loi jointe de (X′_{32}, X′_{3}) (proportionnelle au produit des deux dernières lignes de 13.94) en s’aidant de la Proposition 10.2, et nous sautons ce calcul fastidieux. Les constantes d’intégration sont données par la Proposition 10.3. On en déduit alors facilement que la loi conditionnelle de X′_{23} sachant X′_{3} est une loi gaussienne, dont les paramètres se calculent à l’aide de la troisième partie de la Proposition 10.2.

Corollaire 13.5. Sous les hypothèses de la Proposition 13.4, pour q = 2, … k notons R_{q} = C_{q} \ S_{q}. Si A et B sont des ensembles complets de sommets on note X_{A} et X_{A,B} les restrictions de X à A × A et à A × B. Notons aussi

X′_{R_{q}} = X_{R_{q}} − X_{R_{q},S_{q}}X_{S_{q}}^{−1}X_{S_{q},R_{q}}, X′_{R_{q},S_{q}} = X_{R_{q},S_{q}}X_{S_{q}}^{−1}.

Alors les variables aléatoires

X_{C_{1}}, (X′_{R_{2}}, X′_{R_{2},S_{2}}), (X′_{R_{3}}, X′_{R_{3},S_{3}}), …, (X′_{R_{k}}, X′_{R_{k},S_{k}})

sont indépendantes. De plus en convenant θ′_{R_{q}} = θ_{R_{q}} −θ_{R_{q},S_{q}}θ_{S_{q}}^{−1}θ_{S_{q},R_{q}} alors X′_{R_{q}} suit une loi inverse Wishart ordinaire de paramètres θ′_{R_{q}} et c_{q} − s_{q} et X_{C_{q}} suit une loi inverse Wishart ordinaire de paramètres θ_{C_{q}} et c_{q}. Enfin, conditionnée par X′_{R_{q}}, la loi de X′_{S_{q},Rq} est gaussienne de covariance x_{S_{q},R_{q}} ↦ \frac{1}{2}θ_{S_{q}}^{−1}x_{S_{q},R_{q}} et de moyenne θ_{S_{q}}^{−1}θ_{S_{q},R_{q}}(X′_{R_{q}})^{−1}.

Démonstration. Par récurrence sur k à partir de la Proposition 13.4. Remarquons que cette récurrence part de k = 1 et fournit que X_{C_{1}} suit une loi inverse Wishart ordinaire de paramètres θ_{C_{1}} et c_{1}. Pour obtenir que X_{C_{q}} suit une loi inverse Wishart ordinaire de paramètres θ_{C_{q}} et c_{q}, il faut se rappeler un détail concernant les ordres parfaits sur C : n’importe quel élément de C peut être pris comme élément initial d’un ordre parfait (voir fin du Théorème 7.2).

.................................................................................

14 Estimation pour un modèle discret triangulé.

Rappelons qu’un modèle graphique discret est la donnée d’un graphe (V, E) (fini, et non orienté), et d’une famille d’ensembles finis (A_{v})_{v∈V} . On note par C l’ensemble des cliques maximales de ce graphe : c’est toujours une famille de Sperner. Le modèle est alors l’ensemble des probabilités p = (p(a))_{a∈A} sur A = ×_{v∈V} A_{v} telles que pour tout a ∈ A on ait p(a) > 0 et telles que log p est une combinaison linéaire de fonctions f_{C} indexées par C où a = (a_{v})_{v∈V} ↦ f_{C}(a) ne dépend que des a_{v} tels que v ∈ C. Il s’agit d’une famille exponentielle générale. Comme on le sait, l’estimation de p par maximum de vraisemblance est standard dans le cas d’un modèle saturé, c’est à dire si le graphe était complet. Elle n’est pas résoluble explicitement en général, mais nous aurons une solution explicite si le graphe est triangulé.

Commencons par réviser l’estimation des paramètres dans les cas d’une loi binomiale ou multinomiale sous l’angle des familles exponentielles.

Loi binomiale. Soit

B(N, p) = ∑_{k=0}^{N} C_{N}^{k}p^{k}(1 − p)^{N−k}δ_{k}

la loi binomiale où N est fixé et où p est inconnu. Si on pose e^{θ} = \frac{p}{1−p} on en déduit que p = \frac{e^{θ}}{1+e^{θ}} , que 1 − p = \frac{1}{1+e^{θ}} et donc que

C_{N}^{k}p^{k}(1 − p)^{N−k} = e^{kθ−N log(1+e^{θ})}.

Autrement dit, le modèle (B(N, p); p ∈]0, 1[) est une famille exponentielle naturelle engendrée par la mesure μ = ∑_{k=0}^{N} C_{N}^{k}δ_{k} dont la fonction de cumulants est k_{μ}(θ) = N log(1+e^{θ}) et où Θ(μ) = IR. Si k est l’observation et si 0 < k < N, le maximum de vraisemblance est atteint pour p̂ = \frac{eθ̂}{1+eθ̂} = \frac{k}{N} .

Loi multinomiale. Soit A un entier > 0. On se donne d’abord une probabilité p = (p_{0}, …, p_{A}) sur {0, …, A}. Soit (e_{0}, …, e_{A}) la base canonique de IR^{1+A}. Soit X une variable aléatoire de IR^{1+A} telle que Pr(X = e_{a}) = p_{a}. Soit X_{1}, …, X_{N} des v.a. indépendantes et de même loi que X et soit S_{N} = X_{1} + ⋯ + X_{N}. Si S_{N} = (s_{a})_{a=0}^{A}, avec s_{0} + ⋯ + s_{A} = N et s_{a} ∈ N, c’est dire que en N expériences, on a obtenu s_{a} fois le résultat a. S_{N} suit alors la loi multinomiale

Pr(S_{N} = (s_{a})_{a=0}^{A}) = \frac{N!}{∏_{a=0}^{A} s_{a}!} ∏_{a=0}^{A} p_{a}^{s_{a}}.

Le vocabulaire traditionnel recèle un piège, car la loi binomiale n’est pas le cas particulier de la loi multinomiale correspondant à A = 1, du moins pas tout à fait : si A = 1 la loi multinomiale est concentrée sur un segment de IR^{2} et la loi binomiale sera sa projection sur IR. L’inconvénient de la loi multinomiale telle que nous l’avons définie est qu’elle est concentrée sur l’hyperplan affine de IR^{1+A} défini par s_{0} + ⋯ + s_{A} = N ce qui gêne l’application des théorèmes standard sur les familles exponentielles naturelles. Pour pallier cet inconvénient, on fait la projection π sur IR^{A} définie par π : (s_{a})_{a=0}^{A} ↦ (s_{a})_{a=1}^{A}. Aucune information n’est perdue, mais on a quand même dissymétrisé les observations en faisant jouer un rôle particulier à celle qui est numérotée par 0. La loi de π(S_{N}) est alors

Pr(π(S_{N}) = (s_{a})_{a=1}^{A}) = \frac{N!}{∏_{a=0}^{A} s_{a}!}p_{1}^{s_{1}} ⋯ p_{A}^{s_{A}}(1 − p_{1} − ⋯ − p_{A})^{N−s_{1}−···−s_{N}} .

Posons alors e^{θ_{j}} = \frac{p_{j}}{1−p_{1}−···−p_{A}} pour j = 1, …, A. Alors

p_{j} = \frac{e^{θ_{j}}}{1 + e^{θ_{1}} + ⋯ + e^{θ_{A}}} ,  (14.95)

1 − p_{1} − ⋯ − p_{A} = \frac{1}{1 + e^{θ_{1}} + ⋯ + e^{θ_{A}}} .

La loi de π(S_{N}) prend alors la forme d’une famille exponentielle naturelle, ce qui était peu apparent avant :

Pr(π(S_{N}) = (s_{a})_{a=1}^{A}) = \frac{N!}{∏_{a=0}^{A} s_{a}!}e^{θ_{1}s_{1}+···+θ_{A}s_{A}−N log(1+e^{θ_{1}}+···+e^{θ_{A}})}.

Nous laissons au lecteur le soin de décrire une mesure génératrice μ correspondant à la fonction de cumulants k_{μ}(θ) = N log(1 + e^{θ_{1}} + ⋯ + e^{θ_{A}}) qui est définie sur Θ(μ) = IR^{A}. Si maintenant N est fixé et si p est inconnu, on applique facilement la méthode du maximum de vraisemblance pour estimer les θ et p : si (s_{a})_{a=1}^{A} est l’observation, alors le maximum de vraisemblance est atteint pour

p̂_{a} = \frac{eθ̂_{a}}{1 + eθ̂_{1} + ⋯ + eθ̂_{A}} = \frac{s_{a}}{N} .

Modèle de Poisson et modèle multinomial. Il est parfois commode pour réaliser une loi multinomiale d’utiliser la proposition classique, qu’il est facile de montrer :

Proposition 14.1. Soit λ(a) > 0 pour a = 0, …, A. On note λ = ∑_{a=0}^{A} λ(a) et p_{a} = λ(a)/λ. Soit (N_{a})_{a=0}^{A} une suite de variables aléatoires indépendantes de Poisson de moyennes respectives λ(a) et soit N = ∑_{a=0}^{A} N_{a}. Alors la loi conditionnelle du vecteur (N_{a})_{a=0}^{A} sachant N = n est une loi multinomiale de paramètres n et p = (p_{a})_{a=0}^{A}.

Theorème 14.2. Soit A un ensemble fini et la mesure μ sur IR^{A} définie par

μ(dx) = ∑_{x∈N^{A}} \frac{1}{∏_{a∈A} x_{a}!}δ_{x}.

Soit F = F (μ) la famille exponentielle naturelle engendée des lois de Poisson. Soit H un sous espace affine de IR^{A}. Alors le maximum de vraisemblance pour la famille restreinte

F_{H} = {P (θ, μ); θ ∈ H}

existe et est unique pour une observation (s_{a})_{a∈A} telle que s_{a} > 0 pour tout a de A.

Démonstration L’unicité découle de la théorie faite à la section 5, Proposition 5.1. Pour l’existence, il est évident que k_{μ}(θ) = ∑_{a} e^{θ_{a}}. Il s’agit donc de montrer que la fonction suivante

θ ↦ F (θ) = ∑_{a}(s_{a}θ_{a} − e^{θ_{a}}),

restreinte à la variété affine H, y atteint son maximum. Pour cela, si s > 0, on trace d’abord le graphe de la fonction sur IR définie par f_{s}(x) = sx − e^{x} et on constate qu’elle tend vers −∞ si |x| → ∞. On en déduit que la fonction continue

F (θ) = ∑_{a} f_{s_{a}}(θ_{a})

tend vers −∞ si ∥θ∥ = ∑_{a} |θ_{a}| → ∞. Il en est de même quand on la restreint à H et elle atteint donc son maximum sur H et le théorème est montré.

Analysons en les conséquences à la lumière de la section 5. Pour simplifier, supposons que l’espace affine H ci dessus soit un sous espace vectoriel. Notons par m_{a} la moyenne inconnue de la variable de Poisson X_{a}. Comme la famille exponentielle des (X_{a}) est gouvernée par la fonction de cumulant k_{μ}(θ) = ∑_{a∈A} e^{θ_{a}}, de différentielle

k′_{μ}(θ) = (e^{θ_{a}})_{a∈A} = (m_{a})_{a∈A},

on voit que si t est la projection de IR^{A} sur H et si q = t(s), où s = (s_{a})_{a∈A} est l’observation, alors l’égalité k′_{μ}(θ) = q + u_{q} de 5.17) entraîne que t(m) = t(s), ce qu’on résume par :

Pour le modèle de Poisson restreint au sous espace H, Projection sur H de l’estimé des moyennes= Projection sur H du vecteur des observations.

Attirons maintenant l’attention sur le fait que dans le modèle multinomial surveillé sur un sous espace affine des θ (baptisé modèle log affine dans la littérature) la même formule a lieu si on change un peu le paramètre inconnu p = (p_{a})_{a∈A} pour m_{a} = Np_{a}. En effet, on a vu que la famille exponentielle des (X_{a}) est gouvernée par la fonction de cumulant k_{μ}(θ) = N log(1 + ∑_{a∈A} e^{θ_{a}}), de différentielle

k′_{μ}(θ) = \frac{N}{1 + ∑_{a∈A} e^{θ_{a}}} (e^{θ_{a}})_{a∈A} = (m_{a})_{a∈A} = (m_{a})_{a∈A}.

Si q = t(s), où s = (s_{a})_{a∈A} est l’observation, alors l’égalité k′_{μ}(θ) = q + u_{q} de 5.17) entraîne que t(s) = t(m) d’où :

Pour le modèle multinomial logaffine, N fois Projection sur H de l’estimé des p= Projection sur H de l’estimé des m= Projection sur H du vecteur des observations.

Modèle hiérarchique. On se rappelle qu’un modèle hiérarchique est gouverné par un produit d’ensembles finis A = ×_{v∈V} A_{v} et par une famille de Sperner {V_{1}, …, V_{k}}, c’est à dire des parties non vides de V telles que V_{i} ⊂ V_{j} entraîne i = j. Notons par M l’espace vectoriel M = E_{V_{1}} +⋯+E_{V_{k}} défini à la proposition 3.1, 3.10). Le modèle hiérarchique est l’ensemble des probabilités p sur A telles que log p ∈ M (voir 3.8). C’est donc un sous modèle du modèle multinomial. On a vu que celui ci est un modèle exponentiel, pourvu qu’on y distingue un point 0 particulier. On a vu aussi que les modèles exponentiels, si on les surveille sur une variété affine, ou mieux, un sous espace vectoriel, peuvent parfois encore se prêter au calcul du maximum de vraisemblance.

Il y a toutefois un point à éclaircir : le lien entre le point particulier et la variété affine. Dans l’ensemble A fixons un point noté 0, et soit A^{∗} = A \ {0}. Notons par H le sous espace vectoriel de M formé par les f tels que f(0) = 0. On paramètre par les (θ(a))_{a∈A^{∗}} et il est commode de convenir θ(0) = 0. Alors 14.95) s’écrit pour tout a ∈ A^{∗}

p(a) = \frac{e^{θ(a)}}{∑_{b∈A} e^{θ(b)}} ,

θ(a) = log p(a) − log(1 − ∑_{b∈A^{∗}} p(b) = log p(a) − log p(0).

Il est donc clair que log p ∈ M ⇔ (θ(a))_{a∈A} ∈ H.

Compte tenu de la théorie développée à la section 5, l’estimation de p ou de θ après N observations se fait ainsi :

– Nous observons le tableau de contingence (s(a))_{a∈A} ou (s(a))_{a∈A^{∗}}.

– Nous le projetons orthogonalement sur H, obtenant ainsi un point q = (q(a))_{a∈A} (rappel q(0) = 0).

– Nous recherchons u(q) ∈ H^{⊥} tel que k′_{μ}(θ) = q + u(q) ait une solution dans H, c’est à dire telle que pour tout a ∈ A^{∗} on ait

\frac{N}{∑_{b∈A} e^{θ(b)}} e^{θ(a)} = q(a) + u(q)(a).  (14.96)

Je laisse de côté la question de l’existence et du domaine des moyennes de la famille exponentielle associée concentrée sur H. La difficulté est dans le troisième point du programme ci dessus. Le cas du modèle hiérarchique, ou même du modèle graphique général relève de l’analyse numérique (algorithme de Deming et Stefan : voir Lauritzen (1996)). Seul le cas triangulé est susceptible d’une solution explicite.

Pour cela, nous démontrons un résultat important sur les modèles hiérarchiques . Il exige encore quelques définitions.

Définitions. Soit V un ensemble fini et X et Y des familles de Sperner de V.

– Si A est une famille de parties de A alors Sperner(A) est la famille de ses éléments maximaux.

– X ∨ Y est Sperner (X ∪ Y).

– X ∧ Y est Sperner {X ∩ Y; X ∈ X , Y ∈ Y}.

– On dit que X et Y sont en somme directe si X ∧ Y est réduit à un seul élément.

Proposition 14.3 Si les familles de Sperner X et Y sont en somme directe, alors

X ∧ Y = {(∪_{X∈X} X) ∩ (∪_{Y ∈Y}Y)}.

Démonstration : exercice.

Théorème 14.4 Soit deux modèles híerarchiques sur A = ×_{v∈V} A_{v} gouvernés par les familles de Sperner sur V notés X et Y. On suppose que ces familles de Sperner sont en somme directe. On note par s = (s_{a})_{a∈A} le vecteur des N observations et m_{a} = Np_{a} où p est la probabilité inconnue sur A. On note par m̂, m̂_{1} et m̂_{2} les estimés respectifs de m suivant les modèles hiérarchiques gouvernés par X ∨ Y, X et Y respectivement. On note V_{1} = ∪_{X∈X} X, V_{2} = ∪_{Y ∈YY} et V_{3} = V_{1} ∩ V_{2}. Alors

m̂_{a} = \frac{m̂_{1}(a_{V_{1}})m̂_{2}(a_{V_{2})}}{s(a_{V_{3}})} .

14. ESTIMATION POUR UN MODÈLE DISCRET TRIANGULÉ. 81 (notation : si C ⊂ V et a ∈ A, s(a_{C}) = ∑{s_{b}; b_{v} = a_{v}∀v ∈ C}).

Modèle graphique discret triangulé. Nous allons d’abord examiner le graphe suivant

∘^{1} − − −− ∘^{2} − − −− ∘^{3}

Appendice 1. Examen du cours de DEA "Modèles graphiques, 8 février 2001

Exercice A. Soient X_{1}, Y_{1}, …, X_{N}, Y_{N} des variables aléatoires indépendantes, de lois respectives pour les X et les Y :

ae^{−ax}1_{]0,∞[}(x)dx, be^{−by}1_{]0,∞[}(y)dy.

On suppose que a et b sont des paramètres inconnus positifs contraints par a + b = 1, et on dispose pour les estimer des observations X_{1}, Y_{1}, …, X_{N}, Y_{N}. On posera pour simplifier \overline{X} = \frac{1}{N} (X_{1} + ⋯ + X_{N}), \overline{Y} = \frac{1}{N} (Y_{1} + ⋯ + Y_{N}) et \overline{Z} = \frac{1}{2}(\overline{X} − \overline{Y}).

1. Calculer le maximum de vraisemblance de a en utilisant simplement sa définition (on obtiendra une équation du second degré dont on choisira la racine convenable).

2. On reprend le problème précédent en posant a = \frac{1}{2}(1+θ) et b = \frac{1}{2}(1−θ). Interpréter le problème à l’aide d’une famille exponentielle naturelle sur IR^{2} euclidien, où le paramètre est restreint au sous espace H = {(θ_{1}, θ_{2}) ∈ IR^{2}; θ_{1} +θ_{2} = 0}. Précisez les objets classiques de la famille exponentielle générale induite (soit Ω, ν, t, E, μ).

3. On identifie la famille exponentielle naturelle associée sur H à une famille sur IR (par (x, y) ↦ x si x + y = 0). Précisez ses objets classiques : μ, Θ(μ), k_{μ}, M_{F} , ψ_{μ}. A l’aide de ces résultats et du cours, retrouver les résultats de 1).

Exercice B. (Il est préférable d’étudier l’exercice A avant) Soient X_{1}, Y_{1}, Z_{1}, …, X_{N}, Y_{N}, Z_{N} des variables aléatoires indépendantes, de lois respectives :

ae^{−ax}1_{]0,∞[}(x)dx, be^{−by}1_{]0,∞[}(y)dy, ce^{−cz}1_{]0,∞[}(z)dz.

On suppose que a, b et c sont des paramètres inconnus positifs contraints par a+b+c = 1, qu’on veut estimer par la méthode du maximum de vraisemblance. Pour cela on pose a = \frac{1}{3}(1 + θ_{1}) b = \frac{1}{3}(1 + θ_{2}) et c = \frac{1}{3}(1 + θ_{3}) et on introduit le plan vectoriel

H = {(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) ∈ IR^{3}; θ_{1} + θ_{2} + θ_{3} = 0}

de l’espace euclidien canonique IR^{3}.

1. Donner un vecteur n⃗ orthogonal à H qui soit de norme 1 et en déduire la projection orthogonale sur H d’un vecteur v⃗ = (x, y, z), soit v⃗ − ⟨v⃗, n⃗⟩n⃗.

2. Si q⃗ = (q_{1}, q_{2}, q_{3}) ∈ H, montrer que l’ensemble des u ∈ IR tels qu’on puisse trouver (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) ∈ H avec

(q_{1} + u, q_{2} + u, q_{3} + u) = (\frac{1}{1 − θ_{1}} , \frac{1}{1 − θ_{2}} , \frac{1}{1 − θ_{3}} )

est l’ensemble des solutions d’une équation de degré 3 qu’on ne cherchera pas à résoudre explicitement.

3. A l’aide du cours et des questions qui précèdent, expliquer comment procéder à l’estimation des paramètres (a, b, c) (plus les détails sur les objets classiques des familles exponentielles impliquées sont fournis, meilleure est la note donnée à cette question).

Exercice C. Soit le graphe :

∘^{0} − − −− ∘^{1} − − −− ∘^{2} − − −− ∘^{3}

Est il triangulé ? Quelles sont ses cliques maximales, ses séparateurs et leurs multiplicités ? Trouver un arbre binaire de décomposition. On considère ensuite un modèle graphique discret (multinomial) sur A = A_{0} × A_{1} × A_{2} × A_{3}, avec A_{j} = {0, 1}, gouverné par le graphe précédent. On fait 50 expériences qui donnent les observations suivantes (s(a))_{a∈A}, avec s(a) = s(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) et a_{j} = 0 ou 1, résumées en 4 tableaux :

Si a_{0} = a_{3} = 0 : \begin{matrix}a_{2} \ a_{1} & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} , si a_{0} = 1, a_{3} = 0 : \begin{matrix}a_{2} \ a_{1} & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 9 & 2 \end{matrix} ,

si a_{0} = 0, a_{3} = 1 : \begin{matrix}a_{2} \ a_{1} & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} , si a_{0} = a_{3} = 1 : \begin{matrix}a_{2} \ a_{1} & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} .

Estimer par maximum de vraisemblance la valeur de la probabilité inconnue p(a) sur A pour les 3 valeurs suivantes de a : 0000, 0110 et 1111.

Exercice D. (Il est préférable d’étudier l’exercice C avant) Soit (X_{0}, X_{1}, X_{2}, X_{3}) une variable aléatoire gaussienne de IR^{4}, possédant une densité, centrée, de matrice de covariance inconnue Σ. On suppose que

– X_{0} et X_{3} sont conditionnellement indépendantes sachant (X_{1}, X_{2});

– X_{0} et X_{2} sont conditionnellement indépendantes sachant (X_{1}, X_{3});

– X_{1} et X_{3} sont conditionnellement indépendantes sachant (X_{0}, X_{2}). On fait 10 observations qui donnent la covariance empirique suivante

S_{10} = \frac{1}{10} ∑_{j=1}^{10} X^{j}(X^{j})^{T} = [ \begin{matrix}5, 2 & −0, 4 & 1, 3 & 1, 2 \\ −0, 4 & 6 & −0, 6 & 1, 4 \\ 1, 3 & −0, 6 & 4, 2 & 0, 8 \\ 1, 2 & 1, 4 & 0, 8 & 3, 2 \end{matrix} ] .

Expliquer comment calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de Σ.

Exercice E. Soit a > 0 fixé. On considère la fonction sur ] − 1, 1[ définie par f(z) = e^{a arcsin z} Montrer que (1 − z^{2})f′′(z) − zf′(z) − a^{2}f(z) = 0 et en déduire que les nombres p_{k}(a) définis par

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{p_{k}(a)}{k!}z^{k}

sont positifs. On considère alors la mesure sur IR définie par

μ(dx) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{p_{k}(a)}{k!}δ_{k}(dx).

Calculer les objets classiques de la famille exponentielle naturelle F (μ).

Appendice 3 : Droites extrémales de certains cones convexes

On note par S l’ensemble des matrices symétriques réelles d’ordre 4, et par Z l’ensemble des éléments de S de la forme

[ \begin{matrix}x_{1} & a & 0 & d \\ a & x_{2} & b & 0 \\ 0 & b & x_{3} & c \\ d & 0 & c & x_{4} \end{matrix} ] .

On note par I l’ensemble des matrices symétriques incomplètes de la forme

[ \begin{matrix}x_{1} & a & & d \\ a & x_{2} & b \\ & b & x_{3} & c \\ d & & c & x_{4} \end{matrix} ] .

On note par p la projection canonique de S sur sur I. On note par P_{4} le cône convexe ouvert des éléments de S qui sont définis positifs. On note P = P_{4} ∩Z et Q = p(P_{4}). On note par \overline{P_{4}} le cône convexe fermé des éléments de S qui sont positifs. On note \overline{P} = \overline{P_{4}} ∩ Z et \overline{Q} = p(\overline{P_{4}}). Nous voulons trouver les droites extrémales des deux cônes fermés \overline{P} et \overline{Q}.

Il est utile pour cela de considérer les sous ensembles P_{1} et Q_{1} de \overline{P} et \overline{Q} de diagonale (1, 1, 1, 1) en les paramétrant avec 4 nombres α, β, γ, δ ≥ 0 et 4 signes ϵ = (ϵ_{a}, …, ϵ_{d}) de la facon suivante

x = x(ϵ; α, β, γ, δ) = [ \begin{matrix}1 & ϵ_{a}\sqrt{α} & & ϵ_{d}\sqrt{δ} \\ ϵ_{a}\sqrt{α} & 1 & ϵ_{b}\sqrt{β} \\ & ϵ_{b}\sqrt{β} & 1 & ϵ_{c}\sqrt{γ} \\ ϵ_{d}\sqrt{δ} & & ϵ_{c}\sqrt{γ} & 1 \end{matrix} ] , (14.97)

y = y(ϵ; α, β, γ, δ) = [ \begin{matrix}1 & ϵ_{a}\sqrt{α} & 0 & ϵ_{d}\sqrt{δ} \\ ϵ_{a}\sqrt{α} & 1 & ϵ_{b}\sqrt{β} & 0 \\ 0 & ϵ_{b}\sqrt{β} & 1 & ϵ_{c}\sqrt{γ} \\ ϵ_{d}\sqrt{δ} & 0 & ϵ_{c}\sqrt{γ} & 1 \end{matrix} ] . (14.98)

On utilisera souvent la notation α′ = 1 − α, …, δ′ = 1 − δ. On peut remarquer que

1 − α − β − γ − δ + αγ + βδ = α′γ′ + β′δ′ − 1.

Avec ces notations on voit facilement avec les déterminants que y ∈ P_{1} si et seulement si

α + β ≤ 1, β + γ ≤ 1, γ + δ ≤ 1, δ + α ≤ 1  (14.99)
α′γ′ + β′δ′ − 1 ≥ 2ϵ_{a}ϵ_{b}ϵ_{c}ϵ_{d}\sqrt{αβγδ}.  (14.100)

Les inégalités de 14.99 s’obtiennent avec les déterminants d’ordre 3, celles de 14.100 avec le déterminant de y. On considèrera en particulier pour 0 < α < 1 l’élément suivant de P_{1} :

y_{α} = y(1, 1, 1, −1; α, α′, α, α′) = [ \begin{matrix}1 & \sqrt{α} & 0 & −\sqrt{α′} \\ \sqrt{α} & 1 & \sqrt{α′} & 0 \\ 0 & \sqrt{α′} & 1 & \sqrt{α} \\ −\sqrt{α′} & 0 & \sqrt{α} & 1 \end{matrix} ] . (14.101)

Le lecteur peut vérifier que pour y_{α}, les 5 inégalités 14.99 et 14.100 sont des égalités, et donc que y_{α} est de rang 2.

Fiedler a démontré que x ∈ Q_{1} si et seulement si 0 ≤ α, …, δ ≤ 1 et si

α + β + γ + δ ≤ 2(1 + \sqrt{αβγδ} + \sqrt{α′β′γ′δ′}).

Cette dernière condition pourrait être réécrite

αγ + βδ − α′γ′ − β′δ′ ≤ 2\sqrt{αβγδ} + 2\sqrt{α′β′γ′δ′}.

Il est intéressant de rechercher les génératrices extrémales des cônes \overline{P} et \overline{Q}, car cela permettrait sans doute de montrer que P et Q sont des cônes duaux, et donc de clarifier la question du domaine d’existence des transformées de Laplace des lois de Wishart liées au modèle graphique non triangulé du carré.

Lemme 1. Soit E un espace euclidien et soit \overline{P} (E) le cône fermé de ses endomorphismes symétriques positifs. Soit C ⊂ \overline{P} (E) un cône convexe fermé et y ∈ C de rang 1. Alors y est sur une génératrice extrémale de C.

Démonstration du lemme. Soit y′ et y′′ dans C tels que y = y′ + y′′. Soit e une bon de diagonalisation de y. Alors il existe λ > 0 tel que

diag(λ, 0, …, 0) = [y]_{e}^{e} = [y′]_{e}^{e} + [y′′]_{e}^{e}.

Puisque [y′]_{e}^{e} et [y′′]_{e}^{e} sont des matrices symétriques positives cela entraine qu’elles sont proportionnelles à [y]_{e}^{e} ce qui entraine le résultat.

Théorème 2, conjecturé. Les génératrices extrémales de \overline{P} sont les matrices de rang 1 et les matrices proportionnelles aux éléments de P_{1} de la forme y(ϵ; α, α′, α, α′) avec 0 < α < 1 et ϵ_{a}ϵ_{b}ϵ_{c}ϵ_{d} = −1.

Démonstration. Ce résultat est plausible. Voici plusieurs étapes de sa démonstration.

1) Montrons que y_{α} est sur une génératrice extrémale. Pour cela on introduit

A_{α} = [ \begin{matrix}1 & \sqrt{α} \\ \sqrt{α} & 1 \end{matrix} ] , B_{α} = [ \begin{matrix}0 & −\sqrt{α′} \\ \sqrt{α′} & 0 \end{matrix} ]

ce qui fait que y_{α} = [ \begin{matrix}A_{α} & B_{α} \\ B_{α}^{T} & A_{α} \end{matrix} ] . Une remarque essentielle est que B_{α}A_{α}^{−1}B_{α} =

A_{α} ce qui fait qu’en posant U = [ \begin{matrix}I_{2} & A_{α}^{−1}B_{α} \\ 0 & I_{2} \end{matrix} ] on a y_{α} = U^{T} [ \begin{matrix}A_{α} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] U.

Attention, U n’est nullement orthogonale, et les valeurs propres de [ \begin{matrix}A_{α} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ],

soit (1 + \sqrt{α}, 1 − \sqrt{α}, 0, 0), ne sont nullement celles de y_{α}, soit (2, 2, 0, 0).

Supposons maintenant que y_{α} = y + y′ avec y et y′ dans \overline{P} . Pour montrer que y_{α} est sur une génératrice extrémale, il nous faut montrer que y et y′ sont proportionnels à y_{α}. Pour cela, on écrit y et y′ par blocs :

y = [ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ] , y′ = [ \begin{matrix}A′ & B′ \\ (B′)^{T} & C′ \end{matrix} ]

avec les notations

A = [ \begin{matrix}x_{1} & a\sqrt{α} \\ a\sqrt{α} & x_{2} \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}0 & −d\sqrt{α′} \\ b\sqrt{α′} & 0 \end{matrix} ] , C = [ \begin{matrix}x_{3} & c\sqrt{α} \\ c\sqrt{α} & x_{4} \end{matrix} ] ,

et une notation analogue pour y′. L’astuce est alors de multiplier l’égalité y_{α} = y + y′ de chaque coté par U^{−1} et (U^{−1})^{T}. On obtient ainsi

[ \begin{matrix}A_{α} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] = (U^{−1})^{T} [ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ] U^{−1} + (U^{−1})^{T} [ \begin{matrix}A′ & B′ \\ (B′)^{T} & C′ \end{matrix} ] U^{−1}.

On écrit alors

(U^{−1})^{T} [ \begin{matrix}A & B \\ B^{T} & C \end{matrix} ] U^{−1} = [ \begin{matrix}A & B_{1} \\ B_{1}^{T} & C_{1} \end{matrix} ] , (U^{−1})^{T} [ \begin{matrix}A′ & B′ \\ (B′)^{T} & C′ \end{matrix} ] U^{−1} = [ \begin{matrix}A′ & B′_{1} \\ (B′_{1})^{T} & C′_{1} \end{matrix} ]

avec B_{1} = B − AA_{α}^{−1}B_{α} et C_{1} = C − AA_{α}^{−1}B_{α} − (AA_{α}^{−1}B_{α})^{T} + B_{α}^{T} A_{α}^{−1}AA_{α}^{−1}B_{α}

avec des expressions analogues pour y′. Puisque les matrices [ \begin{matrix}A & B_{1} \\ B_{1}^{T} & C_{1} \end{matrix} ] et

[ \begin{matrix}A′ & B′_{1} \\ (B′_{1})^{T} & C′_{1} \end{matrix} ] sont positives et de somme [ \begin{matrix}A_{α} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] cela entraine que C_{1} =

C′_{1} = 0, puis que B_{1} = B′_{1} = 0. En écrivant les équations correspondantes à ces 4 égalités matricielles, on obtient que y = ay_{α} et y′ = a′y_{α} avec 0 ≤ a = 1 − a′ ≤ 1, ce qui montre l’extrémalité.

2) Montrons que y(ϵ; α, α′, α, α′) avec 0 < α < 1 et ϵ_{a}ϵ_{b}ϵ_{c}ϵ_{d} = −1 est sur une génératrice extrémale. On pourrait imiter la démonstration du 1), mais il est plus élégant d’observer que si D = diag(η_{1}, η_{2}, η_{3}, η_{4}) avec η_{j} = ±1 alors l’application y ↦ DyD est un automorphisme du cône \overline{P} . Cela entraîne que DyD est sur une génératrice extrémale si y l’est. Comme ϵ_{a}ϵ_{b}ϵ_{c}ϵ_{d} = −1 par hypothèse et que (η_{1}η_{2}η_{3}η_{4})^{2} = 1 il existe D tel que y(ϵ; α, α′, α, α′) = Dy_{α}D et l’extrémalité de y(ϵ; α, α′, α, α′) est montrée.

3) Les matrices de rang 1 situées dans \overline{P} sont extrémales d’après le Lemme 1.

4) Examinons quelles matrices y de \overline{P} sont sommes de matrices de rang 1. Bien entendu, à cause du 1) et 2) on sait que tous les éléments de \overline{P} ne sont pas de ce type.

On sait que toute matrice symétrique positive est somme de matrices symétriques positives de rang 1. C’est vrai en particulier pour les matrices d’ordre 2. Il s’agit donc d’étudier quels y dans \overline{P} sont telles qu’il existe 4 matrices A, B, C, D dans \overline{P} telles que y = A + B + C + D et telles que A, B, C, D soient de la forme

A = [ \begin{matrix}a_{1} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{12} & a_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] , …, D = [ \begin{matrix}d_{1} & 0 & 0 & d_{41} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ d_{41} & 0 & 0 & d_{4} \end{matrix} ] .

Si (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) est la diagonale de y, alors y est somme de matrices de rang 1 dans le cas particulier où cette suite a un ou plusieurs zéros. A cause des symétries, il suffit de discuter les cas où les seuls zéros sont les suivants

1. Si tous les x_{j} sont nuls, alors y = 0 et c’est trivial.

2. Si x_{2} = x_{3} = x_{4} = 0 c’est trivial avec B = C = D = 0 et A = diag(x_{1}, 0, 0, 0).

3. Si x_{3} = x_{4} = 0, prendre A = y et B = C = D = O.

4. Si x_{2} = x_{4} = 0 prendre A = diag(x_{1}, 0, 0, 0) et B = diag(0, 0, x_{3}, 0) et C = D = 0.

5. Si x_{4} = 0 on prend D = 0 et l’existence de A, B, C découle d’un théorème

du cours sur les graphes triangulés. Donc sans perte de généralité on suppose maintenant x_{j} > 0. En considérant

Δ = diag(x_{1}^{−1/2}, x_{2}^{−1/2}, x_{3}^{−1/2}, x_{4}^{−1/2})

la matrice ΔyΔ est dans P_{1} et il suffit de trouver A, B, C, D avec l’hypothèse supplémentaire que y ∈ P_{1}. On adopte la notation 14.97. Une discussion du même genre que la précédente sur les zéros de la suite (α, …, δ) permet de se ramener sans perte de généralité au cas difficile où ces 4 nombres sont > 0. Les 4 matrices A, …, D doivent donc satisfaire aux équations

d_{1} + a_{1} = a_{2} + b_{2} = b_{3} + c_{3} = c_{4} + d_{4} = 1, a_{12} = ϵ_{a}\sqrt{α}, …, d_{41} = ϵ_{d}\sqrt{δ}.

y est somme de matrices de rang 1 si on peut trouver des solutions à ce système linéaire telles que de plus les a_{1}, …, d_{4} soient ≥ 0 et tels que a_{12}^{2} ≤ a_{1}a_{2}, …, d_{41}^{2} ≤ d_{1}d_{4} lorsque les α, …, δ et les ϵ satisfont 14.99 et 14.100.

Lemme 3. Les éléments de P_{1} tels que α > 0, …, δ > 0 et qui sont sommes de matrices de rang 1 sont ceux qui satisfont une des 4 inégalités

δ ≤ (1 − \frac{α}{β′})1 − \frac{γ}{β′})  (14.102)

et les 3 autres analogues obtenues par symétrie.

Démonstration. Supposons que y = y(ϵ; α, …, δ) ∈ P_{1} satisfasse 14.102. Je dis qu’alors on peut trouver d ∈]δ, 1[ tel que

y′ = [ \begin{matrix}1 − d & ϵ_{a}\sqrt{α} & 0 & 0 \\ ϵ_{a}\sqrt{α} & 1 & ϵ_{b}\sqrt{β} & 0 \\ 0 & ϵ_{b}\sqrt{β} & 1 & ϵ_{c}\sqrt{γ} \\ 0 & 0 & ϵ_{c}\sqrt{γ} & 1 − \frac{δ}{d} \end{matrix} ]

soit une matrice positive. Pour cela en multipliant y′ par deux matrice diagonale convenable on se ramene à l’examen de

y(ϵ; \frac{α}{1 − d}, β, fracγ1 − \frac{δ}{d}

qui satisfait les conditions 14.99 et 14.100 si ....

Inversement, supposons que y ∈ P_{1} soit somme de matrices de P_{1} de rang 1. Donc y = A + B + C + D avec les notations ci dessus. Comme on a supposé que α, …, δ sont tous non nuls, il existe donc un des A, B, C, D qui est non diagonal. Supposons que ce soit

5) Au vu de la discussion du 4) qui ramène au cas de la diagonale sans zéros, pour montrer le théorème, il suffirait de montrer que tout élément de P_{1} est combinaison convexe des y(ϵ; α, α′, α, α′) et des huit matrices symétriques de la forme

[ \begin{matrix}1 & ±1 & 0 & 0 \\ ±1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ±1 \\ 0 & 0 & ±1 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & ±1 \\ 0 & 1 & ±1 & 0 \\ 0 & ±1 & 1 & 0 \\ ±1 & 0 & O & 1 \end{matrix} ] .  (14.103)

Autrement dit, il suffit de résoudre le problème auxilliaire de la recherche des points extrémaux du convexe compact P_{1} (ou si on veut, des génératrices extrémales du cône convexe ferme des éléments de \overline{P} de diagonale constante). Le fait que y_{α} soit sur une génératrice extrémale de \overline{P} entraine que c’est un point extrémal de P_{1}. Les matrices de 14.103 ne sont évidemment pas sur des génératrices extrémales de \overline{P} puisque somme de deux matrices de rang 1. Par conséquent le fait qu’elles soient néammoins des points extrémaux de P_{1} demande démonstration. Contentons nous de montrer que

y(1, 1, 1, 1; 1, 0, 1, 0) = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ]

est un point extrémal de P_{1}. Les 7 autres s’en déduisent par application d’un automorphisme de P_{1} convenable. Supposons donc que y(1, 1, 1, 1; 1, 0, 1, 0) = y + y′ avec y et y′ positivement proportionnels à des éléments de P_{1}. Ecrivons alors

y = [ \begin{matrix}x & a & 0 & d \\ a & x & b & 0 \\ 0 & b & x & c \\ d & 0 & c & x \end{matrix} ] , y′ = [ \begin{matrix}x′ & a′ & 0 & −d \\ a′ & x′ & b & 0 \\ 0 & −b & x′ & c′ \\ −d & 0 & c′ & x′ \end{matrix} ]

avec x = 1 − x′, a = 1 − a′ et c = 1 − c′. L’égalité y(1, 1, 1, 1; 1, 0, 1, 0) = y + y′ entraine en particulier

[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}x & a \\ a & x \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}x′ & a′ \\ a′ & x′ \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}x & c \\ c & x \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}x′ & c′ \\ c′ & x′ \end{matrix} ] .  (14.104)

On a vu au lemme 1 que [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] est sur une génératrice extrémale de \overline{P_{2}}.

Comme les 4 autres matrices de 14.104 sont dans \overline{P_{2}} elles lui sont proportionnelles et donc a = c = x. Sans perte de généralité à cause de la symétrie entre y et y′ on peut supposer a > 0. Pour voir que b = 0 on écrit que le déterminant de

[ \begin{matrix}a & a & 0 \\ a & a & b \\ 0 & b & a \end{matrix} ]

doit être ≥ 0. Ce déterminant est −ab^{2} et donc b = 0. On procède de même pour montrer que d = 0.

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