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Le Tore éversé.

Le but c'est de se débrouiller pour que la face interne de l'objet devienne sa face externe et vice-versa, en respectant les règles suivantes : l'objet est fantomatique, i.e. il peut se traverser lui même, l'objet est déformable à volonté mais on n'a pas le droit de le plier, i.e. sa courbure ne doit devenir infinie en un point, d'autre part, il est interdit de le déchirer. Essayez avec une sphère : c'est possible mais je n'ai jamais réussi moi-même !
Joli dessin


Update: Le dessin ci-dessus date de 1995. J'ai fini par en faire une vidéo en images de synthèse avec POV-ray, en 2008, que j'ai déposée sur Youtube:


Preuve de Pi=4 par une méthode asymptotique

Un autre dessin Il existe un methode géométrique pour estimer Pi: Compter le nombre de cases de Z^2 qui sont entièrement incluses dans la boule de rayon R et de centre 0, puis diviser par R^2. Alors le quotient tend vers Pi quand R tends vers l'infini. (Cela vient de Volume=Pi*R^2) Et si on remplacait la boule par le cercle ? On calcule le nombre de cases que traverse le cercle de Rayon R et on divise par 2*R (avec dans l'idée que circonference=2*Pi*R). Considérons le quart de ces cases, celles qui sont dans le quadrant x>0 et y>0: voir l'image ci contre, les cases concernées forment un chemin de la case de coordonnées (0,R) vers celle de coordonées (R,0). On remarque que ce chemin ne fait qu'aller à droite ou en bas. (on ne va en diagonale que pour R^2 entier, quand le cercle rencontre les points du réseau Z^2. Pour simplifier, on prendra les valeurs de R telles que R^2 est non entier ; de toutes facons, meme si R^2 peut etre entier, on démontre que le nombre d'intersections du cercle avec Z^2 divisé par R tend vers 0 quand R tend vers l'infini) donc il y a autant de cases que de déplacements: et il y en a R vers la droite, R vers le bas. Soit, en comptant les quatre quadrants: 8*R au total. Donc Pi= limite de 8R/2R quand R tend par valeurs entières vers l'infini =4 C.Q.F.D.

(Cherchez l'erreur ...)

Plus sérieusement, ce genre de résultat se généralise a une sphère en dimension quelconque (à vous de trouver les constantes si ça vous amuse, j'ai une méthode élémentaire non probabiliste): le nb de cases qu'intersecte la sphère de dimension n-1 dans |R^n est équivalent à K_n * R^(n-1). On peut même généraliser à une portion d'hypersurface quelconque (C^1 quand-même, il faut pas pousser ...) en position générique (i.e. qui ne rencontre pas les sommets des cases de Z^n) ...


Aliassage

Dessin 'Space', comme on dit le même, grisé Voici un sujet amusant: si vous avez Windows 95, mettez l'image ci-à droite, constituée de cercles concentriques, comme fond d'écran. Puis dans le menu Démarrer, cliquez sur Arrêter. L'écran se grise, et ô surprise apparaît sous vos yeux (ébahis) de nouveaux cercles. Dingue, non ? C'est le même effet qui produit des moirures quand des chemises à rayures sont filmées par des caméras, (celles dont les pixels détecteurs ont une taille petite comparée à l'intervalle entre deux pixels), ou lors d'un lancer de rayons (raytracing) sant l'option antialias. Il se produit un phénomène d'aliassage (aliasing), qu'on appelle aussi interférence.
Je vais vous raconter comment je suis venu à cette image : J'ai voulu tracer des cercles concentriques de plus en plus serrés. Avec une fonction particulière : round(frac(x^2+y^2)), l'entier le plus proche de la partie fractionnaire de x^2+y^2. c'est soit 0 soit 1. Je colorie en noir la partie (l'ensemble des points de coordonnées x,y) où cet entier vaut 1. Théoriquement, on obtient des bandes noires et blanches, délimitées par des cercles de rayon sqrt(n/2), (racine de n/2, où n est un entier). En particulier ces cercles sont de plus en plus serrés. Mais comme je n'affiche qu'un nombre limité de pixels, une fois que la distance entre deux cercles est en gros inférieure à la distance entre deux pixels, des moirures apparaissent (ici, ce sont des cercles fantômes).

Dans mes images ci-contre l'origine est en bas à gauche, on y voit les cercles concentriques initiaux. Mais on peut voir aussi 8 familles de cercles concentriques, qu'au départ nous n'avions pas invitées, dont 3 très nettes et 5 fantômatiques.

Là où les choses deviennent amusantes, c'est que, pourvu que je me restreigne aux x,y du type n/q, où q est un entier fixé, le motif ainsi créé est PERIODIQUE ! (De période P=q*q/2 si q est pair). Mieux : on peut y voir des cercles fantômes disposés selon des périodes de P/2, P/3, P/4, P/5, ... Cliquez ICI pour voir une grande image (38KO). Dans cette image les résonnances d'ordre impair sont contrastées, contrairement aux résonnances d'ordre pair qui sont donc plus difficile à voir.
L'image ci-dessus utilise plutôt une suite continue de couleurs : sin(Pi*frac(x^2+y^2))^2. Ce qui fait qu'on voit mieux la première résonnance, mais beacoup moins bien les autres.

Enfin, qu'arrive-t-il quand Windows grise l'image ? Et bien il noircit une case sur deux, comme sur un échiquier, et laisse les autres à leur valeur. Le réseau de périodicité est remplacé par un autre, qui est plus petit, dont la direction est à 45 degrés du réseau de départ, et dont les points sont ceux de l'ancien réseau plus les milieux des carrés que ce réseau dessinait.


Image attendue Image vue

Résonnance et inversion de contraste

Voici un phénomène non moins amusant, que vous avez peut-être remarqué si vous êtes myopes (ou hypermétropes). Quand vous ne voyez pas net, (comme moi) et que vous regardez une chemise rayée, vous avez parfois la surprise d'en voir les bandes alors que vous vous attenderiez plutôt à ne pas les voir.

Cliquez sur l'image ou sur la flèche ci-dessous pour une page sur la résonnance de contraste, contenant 10 images pour un total de 56 KO.

contraste