La notion de conjugaison

Revoici l'applet montrant f².

La première idée pour comparer les graphes est de remettre les deux carrés à la même échelle et de les superposer. On constate alors que les graphes sont différents. Donc a priori les fonctions n'ont pas la même dynamique. Les images suivantes illustrent le phénomène pour une valeur particulière de a : celle pour laquelle, le sous graphe s'étend verticalement sur tout le carré. Cette valeur est a = 3.6785735… (Dans ce cas particulier, on sait démontrer que les dynamiques se ressemblent, malgré la non coïncidence des graphes; cependant en règle générale ce n'est pas le cas si les graphes sont moins hauts)

Le graphe en rouge dans le dernier cadre est le graphe de la renormalisée g de f². Nous avons indiqué en bleu le graphe de la fonction de la famille initiale qui lui ressemble le plus (comme on l'a déjà fait remarquer, il se trouve qu'elle a la même dynamique dans ce cas particulier).

On pense ensuite à effectuer un changement de variable. En effet, le changement d'échelle consistait à remplacer la variable x par une nouvelle variable : w = b·x + c ; b est un facteur d'échelle et c un décalage. Peut-être qu'un changement de variable plus compliqué pourrait permettre de superposer les deux graphes ? Oui mais attention. Pourquoi veut-on superposer les graphes ? Parce que l'on espère que la dynamique de f² dans le petit carré sera semblable à la dynamique de g. Pour qu'un changement de variable fasse correspondre deux dynamiques, il faut bien faire attention à l'appliquer à la fois à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées, plus précisément aux deux coordonnées en même temps.

Les images suivantes montrent le graphe d'une fonction de la famille, le graphe d'un changement de variable, et le graphe obtenu après ce changement de variable.

Notez que la diagonale (en vert) est inchangée : les points de la diagonale ont certes bougé, mais tout en restant dessus.

Pourquoi faut-il changer les deux coordonnées à la fois ? Rappelons-nous que nous étudions une suite de nombres :

Si on change de coordonnées (par exemple si on passe d'une représentation par l'altitude x à une représentation par la pression atmosphérique moyenne w; ou bien de la hauteur d'eau c dans un verre à la quantité d'eau w) on aura une autre suite : Définie par w₀=h(x₀), w₁=h(x₁), w₂=h(x₂), w₃=h(x₃), … On a noté h : x ↦ w le changement de variable. Nous noterons k la fonction qui fait passer d'un nombre w = h(x) au suivant w' dans la seconde suite, d'où w' = k(w). Cette fonction k fait donc passer h(x) à h(x') où x' est le nombre suivant c dans la première suite. Le graphe de cette fonction a donc un point aux coordonnées (h(x),h(x')) pour chaque point (x,x') du graphe de f. Autrement dit h(f(x)) = k(h(x)). On dit que f et k sont conjuguées, et h est la conjugaison. Deux fonctions conjuguées ont des dynamiques similaires.

Le lien suivant montre un montage de graphes, illustrant la conjugaison d'une façon graphique.

Quand on cherche une sous-dynamique de celle de f, on essaye de trouver un intervalle I qui est envoyé dans lui-même par f (on dit que cet intervalle est stable). Le sous graphe correspondant est le graphe d'une fonction de I dans I. C'est pourquoi les domaines dessinés sont carrés et possèdent deux sommets sur la diagonale.

Par curiosité, voici le graphe de la fonction conjuguant l'exemple f² où a = 3.6785735… à la f où a = 4.

L'équivalence

Une notion similaire mais insuffisante est celle d'équivalence.

Deux fonctions f et g sont équivalentes si on peut trouver deux changements de variable x ↦ u et y ↦ v tels que f(x) = y si et seulement si g(u) = v. Dans la notion d'équivalence les variables c et y sont considérées comme étant de nature différences et on note f : x ↦ y, alors que dans la notion de conjugaison, f : x ↦ x' envoie c sur une variable de même nature. Ici le mot nature a volontairement un sens vague.

L'équivalence n'est pas une notion adaptée au problème : deux fonctions équivalentes n'ont pas nécessairement des dynamiques similaires. Par exemple, toutes les fonctions de la famille pour 0 < a < 4 sont équivalentes ; on a pourtant vu qu'elles n'avaient pas la même dynamique.

Note : l'auteur de ces pages ne connaît pas la raison du choix des dénominations "conjugaison" et "équivalence" par la communauté mathématique.