Notes de cours d'André Legrand et Eric Tournier.
---cours de la semaine du 12 septembre:
Présentation générale du cours.
Coefficients de Fourier, propriétés, lemme de Riemann-Lebesgue, Noyau
de Dirichlet, premières propriétés de la convolution, convergence
simple, convergence uniforme.
---cours de la
semaine
du 19 septembre:
notes (photocopies de notes manuscrites).
Suites régularisantes, approximation uniforme des fonctions continues
périodiques par les polynômes périodiques, noyau de Fejer, convergence
en moyenne quadratique des séries de Fourier, relation de Parseval.
--- cours de la semaine du 3 octobre:
Théorème de Parseval (isométrie entre Lp2([0,T]) et lp2(Z)):
notes.
Transition des coefficients (resp. des séries) de Fourier à la
transformée (resp. à la transformée inverse) de Fourier en
échantillonnant de manière périodique une fonction non périodique et en
faisant tendre la période vers +infini. Définition de Lp1(R), de la
transformée de Fourier. Premières propriétés. Calculs
de transformées: fonction indicatrice, fonction créneau, retard,
exponentielle, exponentielle complexe.
--- cours de la semaine du 24 octobre: (prévision)
Propriétés analytiques de la transformée de Fourier. Convolution. Applications.
NB: les notes de cours (poly ou notes manuscrites)
peuvent contenir
contiennent quelques erreurs.
Annales d'examens:
partiels et
terminaux.
Questions posées par les
étudiants:
-
Qu'est-ce que l'espace Lp2([0,T])
?
Dans le cours, c'est l'espace des fonctions T-périodiques de carré
intégrables considérées à un ensemble de mesure nulle près. Deux
fonctions T-périodiques de carré intégrable sont identifiées dans
Lp2([0,T]) si elles sont égales presque partout (ce qui veut dire
qu'elles ne diffèrent que sur un ensemble de mesure nulle). Par
exemple, deux fonctions qui ne diffèrent qu'en un nombre fini de points
sont égales presque partout.
Du point de vue physique, si l'on pense aux fonctions périodiques
comme à des signaux périodiques, il est rare que l'on connaisse
parfaitement
un signal. On peut en revanche connaître l'énergie associée à ce
signal, ce qui est essentiellement le carré de la norme L2 du signal,
ou l'énergie des composantes harmoniques. Il est logique du point de
vue physique d'identifier deux signaux qui ont ces memes
caractéristiques. Si l'on modifie un signal sur un ensemble de mesure
nulle, on ne modifiera pas ses caractéristiques. L'espace Lp2([0,T])
est donc approprié du point de vue physique.
Du point de vue algébrique, cet espace est un espace préhilbertien
(et même un espace de Hilbert), donc muni d'un produit "scalaire"
défini positif.
La subtilité "à un ensemble de mesure nulle près" est ce qui permet de
garantir que le produit a la bonne propriété <f,f> = 0 implique f
= 0.
-
Vous avez dit dans le cours que
Lp2([0,T]) est inclus dans Lp1([0,T])... Mais ce n'est pas vrai en
général des espaces L^1, L^2 ?
Non, ce n'est pas vrai en général, cela dépend de l'espace sur lequel
les fonctions vivent. Par exemple, l'espace des fonctions de carré
intégrables sur R (noté L2(R) dans le cours) n'est pas inclus dans
l'espace L1(R) des fonctions intégrables sur R: la fonction f(t) =
1/(1+|t|) est de carré intégrable sur R (par comparaison avec la
fonction de référence 1/(1+|t|)^2 de Riemann) alors qu'elle-même n'est
pas intégrable sur R (encore d'après le critère de Riemann).
La démonstration de l'inclusion du cours utilisait crucialement le fait
que 1 (la fonction constante périodique égale à 1) est de carré
intégrable sur l'intervalle
borné
[0,T].